Що входить до шкільної програми з математики

Дізнайтеся, які теми та розділи входять до шкільної програми з математики у початковій, основній та старшій школі. Стандарти навчання та методи викладання математики для учнів різного віку. Математика - це один з найбільш важливих та шанованих предметів у школі. Цей предмет необхідний всім майбутніх професій: від інженерів і вчених до бухгалтерів і економістів. Крім того, математичні знання дозволяють розвивати логічне мислення та вміння вирішувати складні завдання. У цій статті ми розповімо про те, що входить до шкільної програми з математики та який рівень математичних знань необхідний для успішного навчання. Шкільна програма з математики починається з базових понять: цифри, числа, операції із нею. Учні вивчають основні арифметичні дії - додавання, віднімання, множення та поділ. Вони також знайомляться з основами геометрії - геометричними фігурами та їх властивостями. Поступово рівень складності математичних завдань та понять збільшується. У старших класах учні вивчають алгебру, геометрію та тригонометрію. Вони дізнаються про функції, рівняння, нерівності. Також вони вивчають основи статистики та ймовірності. Все це дозволяє учням вирішувати складніші завдання та готує їх до вступу до вузів та коледжів. Шкільна програма з математики – це лише початок навчання цьому важливому предмету. Якщо ви зацікавлені в математиці, то є безліч можливостей для додаткового вивчення та поглибленого аналізу різних тем. Все залежить від вашої мотивації та бажання розвиватися.

Що вивчають у школі з математики?

У школі з математики вивчають різні теми, які залежать від рівня складності та вікової групи учнів. Основи математики починають вивчати в молодших класах, де діти вчаться рахувати, складати, віднімати та множити числа. Вони також знайомляться з поняттями геометрії, навчаються розпізнавати форми та малювати прості постаті.

У старших класах вивчають складніші теми, такі як алгебра, статистика, тригонометрія та геометрія. Учні навчаються вирішувати рівняння, працювати з функціями, проводити аналіз даних та складніші геометричні визначення.

Крім цього, учні також вивчають різні варіанти математичних завдань та навчаються вирішувати їх методами, вивченими в рамках програми. Вивчення математики також сприяє розвитку логічного мислення, аналітичних навичок, уміння працювати з даними та аналізувати інформацію. Вони також можуть вивчати математичну фізику та інші спеціалізовані курси, якщо школа пропонує такі програми.

Кожен навчальний рік у школі має свою програму вивчення математики. Учні вивчають віково-відповідні теми та рівень складності матеріалу поступово підвищується від класу до класу. Мета програми з математики в школі – підготувати учнів до подальшого навчання та дати стійку базу знань у цій науці.

Арифметика

Арифметика - це розділ математики, який займається вивченням чотирьох основних операцій: додавання, віднімання, множення та поділу. У шкільній програмі з математики арифметика вивчається з першого класу і є основою для складніших розділів, таких як алгебра та геометрія.У рамках вивчення арифметики школярі навчаються виконувати операції як на папері, так і на калькуляторі, вирішувати найпростіші рівняння та завдання на пропорційність. Крім того, в арифметиці важливу роль відіграє розуміння числових систем, дробів, відсотків та десяткових дробів. Всі ці знання та навички дають можливість школярам успішно справлятися зі шкільним курсом математики та підготуватися до більш складних розділів математики надалі.

Алгебра

• Арифметичні дії з числами
• Робота зі змінними та виразами
• Розв'язання рівнянь та нерівностей
• Робота із системами рівнянь
• Графіки лінійних та квадратичних функцій

Вивчення алгебри допомагає учням розвивати логічне мислення, вміння вирішувати складні завдання, і навіть розуміти базові концепції математики. Ці навички будуть корисні в будь-якій галузі життя, де потрібне аналітичне мислення та здатність вирішувати складні завдання.

У шкільній програмі математики, алгебра є одним з основних розділів, який вивчається протягом декількох років. Вивчення алгебри починається зі знайомства з основними математичними діями і поступово переходить до складніших тем, таких як системи рівнянь та квадратичні функції.

Геометрія

Геометрія – важливий розділ математики, що вивчає форми, розміри та властивості геометричних фігур та просторових тіл. Головними поняттями у геометрії є: точка, лінія, площина, кут, фігура та тіло.

У шкільній програмі з математики 5-9 класів геометрія вивчається докладно. Школярі вивчають основні фігури – трикутник, квадрат, прямокутник, трапеція, ромб, коло, куля, прямокутний паралелепіпед та ін.Вони також навчаються знаходити периметр, площу, об'єм та порівнювати фігури між собою. Крім цього, учні вивчають поняття подібності, симетрії та перетворення.

У 10-11 класах учні продовжують вивчення геометрії, але вже вищому рівні. Вони вивчають такі теми, як геометрія у просторі, планіметрія та стереометрія, тригонометрія, криві на площині тощо. Також у шкільній програмі є завдання на побудову фігур та на вирішення геометричних завдань.

• Труднощі, з якими можуть зіткнутися учні:
• Вивчення геометрії вимагає навичок та умінь у малюванні, знання геометричних теорем та формул, уміння працювати з лінійкою та циркулем.
• Учням можуть бути складними завдання на побудову фігур, оскільки вони вимагають точного написання алгоритму та ретельного виміру.
• Важливо, щоб школярі розуміли, що геометрія не лише абстрактні формули, а й реальні завдання, що виникають у житті.

Тригонометрія

Тригонометрія – це розділ математики, що вивчає зв'язки між кутами та сторонами трикутника. Цей розділ математики є основною частиною шкільної програми з математики у старших класах.

Основні поняття тригонометрії включають: синус, косинус і тангенс кута, а також зворотні функції - арксинус, арккосинус і арктангенс. Вони використовуються для вирішення різних завдань у геометрії та фізиці.

У програмі з тригонометрії також входять: тригонометричні тотожності, кути висот та кути з підвісом, кут січучої та інші складні завдання.

Навчання тригонометрії включає використання таблиць значень, рішення рівнянь і вправи на обчислення кутів без використання калькулятора.

• Основні поняття тригонометрії:
  • Синус, косинус та тангенс кута
  • Арксинус, арккосинус та арктангенс

  Математичний аналіз

  Математичний аналіз є одним із основних предметів, які вивчають старшокласники у школі. В рамках цього предмета учні вивчають математичні методи та інструменти, які дозволяють аналізувати та описувати функції та їх властивості, а також вирішувати різні математичні завдання.

  Основними темами, що навчаються у математичному аналізі, є диференціальне та інтегральне обчислення, а також диференціальні рівняння. У ході вивчення цих тем учні здобувають навички у вирішенні складних математичних проблем, а також дізнаються про різні додатки математичного аналізу в реальному світі.

  На уроках математичного аналізу учні також вивчають та практикуються у використанні математичної мови, розумінні математичних символів та позначень, а також різних методів доказу теорем та властивостей функцій.

  Відмінною особливістю математичного аналізу є його абстрактність та складність, тому щоб успішно засвоїти цей предмет, учням потрібно ретельне вивчення теоретичних основ, а також проведення регулярних тренувань та практичних завдань.

  Теорія ймовірності

  Теорія ймовірності – це розділ математики, вивчає випадкові процеси та явища, які можуть бути передбачені наперед. Вона знаходить застосування у різних галузях, таких як фізика, статистика, економіка, біологія та інші.

  У шкільній програмі з математики теорія ймовірності зазвичай вивчається середніх класах. Учні дізнаються про основні поняття, такі як ймовірність, випадковий експеримент, подія, досвід і т.д. Також вони навчаються вирішувати прості завдання на обчислення ймовірності простих подій, використовуючи формулу ймовірності.

  У старших класах учні вивчають складніші теми, такі як умовна ймовірність, незалежні та залежні події, біномний розподіл, геометричний розподіл та інші. Вони навчаються вирішувати складніші завдання на обчислення ймовірності, використовуючи відповідні формули та методи.

  Вивчення теорії ймовірності дозволяє учням розвивати логічне мислення, вміння аналізувати і вирішувати завдання, а також дає можливість зрозуміти, як працюють випадкові явища в реальному житті.

  Математична статистика

  Математична статистика – це розділ математики та статистики, який вивчає методи збору, обробки та аналізу статистичних даних з метою отримання інформації про властивості досліджуваної сукупності чи явища. У шкільній програмі математична статистика вивчається в 10-11 класах і включає наступні блоки:

  • Вивчення понять вибірки, генеральної сукупності, параметрів та статистик вибірки.
  • Описова статистика, що включає вивчення показників вибірки, таких як середнє значення, медіана, мода, дисперсія, стандартне відхилення.
  • Введення в теорію ймовірностей, вивчення законів розподілу випадкових величин, таких як нормальний, рівномірний, пуассонівський розподіл.
  • Основи математичної статистики, включаючи оцінку параметрів щодо вибірки, перевірку гіпотез про параметри генеральної сукупності та інтервальну оцінку параметрів.

  У процесі вивчення математичної статистики учні вирішують завдання з урахуванням реальних даних, проводять експерименти, порівнюють і аналізують результати.Це допомагає їм розвивати математичне мислення, аналітичні навички, основні компетенції в галузі інформаційних технологій та готує до подальшого навчання у галузі статистики, економіки, соціології, психології та інших наукових дисциплін.

  Дискретна математика

  Дискретна математика вивчається у шкільництві у межах курсу математики. Це розділ математики, який займається обробкою дискретних об'єктів, таких як цілі числа, символи, послідовності і т.д.

  Дискретна математика включає такі теми, як теорія графів, комбінаторика, теорія чисел, математична логіка та інших.

  Одна з найважливіших областей дискретної математики – теорія графів, яка вивчає властивості графів – математичних моделей, що становлять набір вершин і ребер. Графи знаходять своє застосування у багатьох областях, як-от телекомунікації, транспорт, комп'ютерні мережі тощо.

  Також дискретна математика включає комбінаторику – розділ математики, який займається вивченням різних способів вибору та розташування елементів, що знаходить застосування в задачах поєднання та розміщення.

  У цілому нині, дискретна математика є важливу область сучасної математики, що відіграє у багатьох галузях науку й техніки.

  Логіка

  Логіка – це наука про закони висновків, правила виведення та докази. У шкільній програмі логіка вивчається у межах курсу «Математика». Вона важлива для формування раціонального мислення, аналізу та вирішення завдань.

  Програма з логіки включає вивчення таких тем, як класифікація висновків (дедуктивний, індуктивний, абдуктивний), формальні системи (обчислення висловлювань), теорія множин і логічні функції.

  Вміння працювати з логічними операціями та правилами виведення необхідне вирішення завдань математичного аналізу, алгебри та інших розділів математики. Насправді логічні знання використовують у програмуванні, юриспруденції, філософії, науці і техніці.

  Вивчення логіки допомагає розвивати логічне мислення, підвищувати критичну обізнаність та здатність приймати обґрунтовані рішення.

  • Курс логіки включає:
  • Класифікація висновків;
  • Формальні системи та обчислення висловлювань;
  • Теорію множин та логічні функції.

  Комбінаторика

  Комбінаторика - розділ математики, що вивчає способи поєднання об'єктів. Цей розділ математики ґрунтується на теорії ймовірностей та комбінаторних методах вирішення завдань. До базових понять комбінаторики відносяться перестановки, поєднання, розміщення і безлічі.

  Перестановка — це розміщення різних об'єктів, у яких змінюється порядок. Наприклад, перестановки слова «мама» може бути: «мама», «амам», «ммаа» тощо. Кількість перестановок можна визначити за формулою n!, де n — кількість об'єктів.

  Поєднання – це розміщення об'єктів у визначеному порядку. Наприклад, із 4 молодих людей потрібно вибрати команду з 2 осіб. Кількість поєднань можна обчислити за формулою n!/k!(n-k)!, де n – кількість об'єктів, k – кількість вибраних об'єктів.

  Розміщення - це комбінація, за якої враховується і порядок, і кількість. Наприклад, із 4 молодих людей потрібно вибрати команду з 2 осіб, при цьому перше місце набагато важливіше, ніж друге. Кількість розміщень можна обчислити за формулою n!/(n-k)!, де n – кількість об'єктів, k – кількість вибраних об'єктів.

  Безліч у комбінаториці відіграють важливу роль.Наприклад, завдання про поєднання, коли необхідно вибрати з множини n елементів k елементів, відповідає кількості підмножин розміру k у множині з n елементів.

  Комбінаторика знаходиться у тісному зв'язку з іншими галузями математики, такими як алгебра та теорія графів. Вона знаходить застосування у різних галузях науки, як-от інформатика, економіка, біологія та інших.

  Питання-відповідь:

  Які теми вивчаються у шкільній програмі з математики?

  Шкільна програма з математики включає вивчення арифметики, алгебри, геометрії, теорії ймовірностей і математичного аналізу. У початковій школі навчають основ арифметики, потім на середніх класах учні вивчають алгебру та геометрію, а у старших класах теорію ймовірностей та математичний аналіз.

  Як улаштовані уроки з математики?

  Кожна тема вивчення математики має відповідний урок. Зазвичай урок починається з пояснення нового концепту, після чого учням пропонуються вправи закріплення теми. На наступному уроці перевіряються завдання, дається зворотний зв'язок, а також приступають до нового матеріалу.

  Які навички розвиваються у процесі вивчення математики?

  Вивчення математики допомагає розвивати логічне мислення, вміння розв'язувати завдання, абстрактне мислення, здатність аналізувати та міркувати, а також розуміти закономірності та вирішувати складні завдання.

  Як подолати важкі завдання з математики?

  Для того, щоб впоратися з важкими завданнями з математики, необхідно приділити більше часу на вивчення теорії, тренуватися на вирішенні можливої ​​кількості завдань, а також просити допомоги у вчителя або друзів.

  Як буде корисним знання математики в майбутньому?

  Знання математики буде корисним у багатьох сферах життя, таких як бізнес, наукові дослідження, інформаційні технології, економіка тощо. Математичні знання необхідні також для прийняття різних рішень та планування діяльності.

  Які методики використовуються для навчання математики?

  Для навчання математики використовуються різні методики, такі як інтерактивне навчання, уроки-ігри, групові заняття, вивчення реальних прикладів та багато інших методів, які допомагають учням засвоювати матеріал більш ефективно та цікаво.

  Як часто проводяться заняття з математики у шкільній програмі?

  Частота проведення занять з математики залежить від рівня класу та національного стандарту. Зазвичай у початковій школі урок з математики проводиться приблизно 2-3 рази на тиждень, у середній школі вже до 4-5 разів на тиждень, а на старших класах – 5-6 разів на тиждень.

  Математична фізика

  Математична фізика - це розділ математики, який займається вирішенням завдань, що виникають у фізиці, за допомогою математичних методів.

  Шкільна програма з математики включає основні поняття математичної фізики, такі як диференціальні рівняння і матриці. Учні навчаються вирішувати завдання на рух тіл, гравітаційну взаємодію, електромагнітні поля та інші фізичні явища.

  Взаємозв'язок математичної фізики з іншими науками стає помітнішою вже на університетському рівні. Разом про те, розуміння математичних основ фізики може допомогти учням як краще розуміти матеріал, а й розширити горизонти знань у інших предметах.

  Математична фізика також має важливе значення у наукових дослідженнях, наприклад, у галузі квантової фізики та фізики високих енергій.Перспективи розвитку цієї галузі науки у майбутньому залишають багато місця для нових відкриттів та досягнень.

  Від шкільної алгебри — до університетської

  У статті наведено короткий огляд курсу алгебри, покликаний допомогти тим, хто збирається вивчати її самостійно, з репетитором або на курсах.
  Університетський курс алгебри умовно можна розбити на три частини:
  • елементарна алгебра (комплексні числа, багаточлени, ділимість, відрахування, .);
  • лінійна алгебра (системи лінійних рівнянь, теорія розмірності, матриці, лінійні відображення, білінійні та квадратичні форми, тензори, . );
  • вища алгебра (алгебраїчні структури: групи, кільця, поля, .).

  Для більшості наук і додатків, у машинному навчанні, computer science передусім потрібна, звісно, ​​лінійна алгебра. Для її успішного освоєння необхідно впевнено володіти елементарною алгеброю. На шкільному рівні вона (не) проста і нудна. Але при переході до університету алгебра різко стає абстрактною і тому для багатьох складною та незрозумілою: дуже багато аксіоматичних визначень — приклади ледве встигають. Як історично стався цей стрибок? Що потрібно/корисно всім, хто вивчає математику, з вищої алгебри? Як краще освоїти ази лінійної алгебри з прицілом на додатки, machine learning, не проґавивши щось важливе, але й не переробившись даремно? Ці питання ми обговоримо у статті.

  Алгебра в школі зазвичай асоціюється з «розкриттям дужок» - так збірно ми назвали цілий пласт шкільної математики, що складається з нескінченних викладок і перетворень, найчастіше нудних і, на жаль, безглуздих. За зіпсоване дитинство школярі можуть сказати „дякую” Франсуа Вієту — саме він увів наприкінці XVI століття зручну математичну символіку, близьку до сучасної.Внесок Вієта в науку набагато більший. Зазначимо лише, що більшості він відомий своїми формулами, що зв'язують коріння та коефіцієнти квадратного рівняння. Насправді, він вивів аналогічні формулу для рівнянь будь-якого ступеня, причому горезвісним «розкриттям дужок». Наприклад, при маємо

  Взагалі, алгебра на той час до початку ХІХ століття була наукою про розв'язання рівнянь. Сумно і смішно, але змістовні завдання сучасної шкільної алгебри вміли вирішувати ще в Стародавньому Вавилоні в другому тисячолітті до нашої ери (квадратні рівняння та завдання, що до них зводяться). Зі шкільної програми давно прибрали комплексні числа, які з'явилися у XVI столітті та входили до радянських підручників першої половини XX століття. Без комплексних чисел неможливо уявити сучасну математику та фізику. Зараз їх вивчають у матшколах, на гуртках, факультативах тощо. д. Якщо вам потрібна алгебра, обов'язково вивчіть комплексні числа на базовому рівні (включаючи формули Муавра та формулювання основної алгебриної теореми). А якщо у вас є час і бажання, насолоджуйтеся багатством застосування комплексних чисел та дивовижними явищами, пов'язаними з ними. Ось лише один "шокуючий" приклад з [2]:

  Сучасна алгебра у сенсі слова — це наука про безлічі з певними ними операціями — про алгебраїчних структурах. Революцію в алгебрі зробив видатний французький математик Еваріст Галуа (1811-1832). Вирішивши давню проблему про розв'язання рівнянь у радикалах, він заклав основи теорії груп і полів - Основних алгебраїчних структур.Як і інші структури, вони визначаються формально аксіоматично, проте сформувалися поступово в результаті вивчення та узагальнення природних структур, які часто зустрічаються в математиці та природничих науках. Так, основне джерело груп - бієктивні (взаємно однозначні) перетворення. Групу утворюють перестановки кінцевої множини, руху площини або будь-якого евклідового простору, лінійні невироджені відображення векторного простору.

  Поля це дуже окремий випадок кілець. На відміну від груп - систем з однією операцією, в кільцях дві операції - додавання і множення, причому за складання всяке кільце - комутативна група. Клас кілець занадто різноманітний, так як на множення в загальному випадку не накладається інших обмежень, крім дистрибутивності щодо складання (те саме розкриття дужок). Грубо кажучи, поля — це безліч із чотирма арифметичними діями, що підкоряються звичайним правилам. Наприклад, раціональні, дійсні, комплексні числа утворюють ланцюжок полів: Цілі числа утворюють кільце, але не поле (не завжди можна ділити). Квадратні матриці над полем утворюють кільце, але множення у ньому не комутативно. Це пояснюється некомутативністю композиції відображень, адже правило множення матриць («рядок на стовпець») походить саме з композиції лінійних відображень, які задаються цими матрицями.

  Якщо вам не потрібна вища, надто абстрактна алгебра, а достатньо опанувати основи лінійної алгебри, то є сенс принаймні вивчити мову алгебри — розібратися з основними поняттями (групи, кільця, поля, векторні простори, алгебри), знати їх базові властивості та мати запас прикладів (групи перестановок, алгебра матриць, поле комплексних чисел, група оборотних матриць, ).

  Перейдемо до огляду курсу лінійної алгебри. За ним існує величезна кількість літератури різними мовами. Підходи у різних авторів різні навіть на самому початку курсу. викладки, де це можливо, замінені ідеями. В цілому виклад дуже геометричний. книги, на свій досвід викладання на мехматі, в ШАД Хелпер та ін, поділюся своїми міркуваннями з курсу лінійної алгебри.

  1. Теорія розмірності. Системи лінійних рівнянь, метод Гаусса. . Далі: лінійна залежність, лінійні оболонки, базис, координати. Потім — розмірність як число векторів у будь-якому базисі. , то "багато" лінійно залежні (Е. Б. Вінберг).Тут же — ранг матриці (рівність рангу рядками і стовпцями), зв'язок з розмірністю простору рішень лінійної однорідної системи. Дуже корисно сприймати останню як лінійне співвідношення між стовпцями матриці, а також пошук ядра лінійного відображення. Взагалі, один із ключів до успіху — говорити про те саме на різних мовах. Все це добре викладено в [1] (глава 1, §6 та розділ 2, §1-3).

  2. Лінійні відображення та матриці. Поруч із просторами, це найважливіші об'єкти лінійної алгебри (мовою теорії категорій: простору — об'єкти, лінійні відображення — морфізми; але це зауваження можна опустити). У цій темі дві складові: технічна та ідейна. Звичайно, потрібно опанувати техніку множення матриць, але знати не тільки формальне правило, а й деякі типові прийоми (множення на елементарні матриці, множення матричних одиниць, запис білінійних форм, . ). Не менш важливо розуміти добуток матриць як матрицю композиції лінійних відображень. Це спрощує розуміння і зводить багато доказів, скажімо, про ранги добутку матриць до 1-2 рядків.

  3. Визначники. Запам'ятайте, визначник матриці над полем - це плюс-мінус об'єм-мірного паралелепіпеда, натягнутого на рядки цієї матриці (або, що те саме, на стовпці). Зокрема, при

  - Це орієнтована площа паралелограма, натягнутого на вектори і (або на стовпці та ). Знак визначника у разі невиродженої матриці збігається зі знаком орієнтації базису (з рядків чи стовпців). Формулу при легко вивести геометрично, а також вона виникає при вирішенні системи лінійних рівнянь

  (Формули Крамера). При трохи складніше, хоча аналогічно, виходить вже нетривіальна формула обсягу паралелепіпеда (з доданків).Загалом визначник часто визначають за страшною формулою

  більше нагадує теорему. І справді, цю формулу можна вивести (як за n = 2, 3) з базових властивостей визначника:
  1) визначник матриці лінійний за кожним рядком;
  2) якщо два рядки матриці рівні, то визначник дорівнює 0 (паралелепіпед «сплескується», його обсяг дорівнює 0);
  3) визначник одиничної матриці дорівнює 1 (обсяг правильно орієнтованого одиничного кубика дорівнює 1).
  Взагалі, геометричне визначення через обсяг формально дано над полем але непридатне над будь-яким полем (не кажучи вже про розмірність. Однак, залишивши геометрію як фон, можна визначити визначник як функцію матриці, що задовольняє властивості 1) - 3). Тоді «страшна формула» виводиться однозначно і заразом доводить існування такої функції.
  Ці великі теми лежать напередодні лінійної алгебри. На мехматі МДУ, наприклад, частина першого семестру, а власне лінійна алгебра займає весь другий семестр. Ось найголовніше, що треба з неї знати.

  4. Спектральна теорія. Лінійні оператори, їхні власні вектори та власні значення. Як привести матрицю оператора до найпростішого виду (і що означають ці слова; формула). Чи кожен оператор діагоналізуємо? Ні! І навіть над полем – ні! Проте над «майже будь-який» — свідомо діагоналізовані оператори з простим спектром (у яких усі власні значення різні), а такі «майже всі», бо кратне коріння багаточлена — рідкість. Але саме через цю «рідкість» будується теорія жерданової нормальної форми, яка часто виявляється студентам не по зубах.Поспішаю заспокоїти: спочатку достатньо мати лише уявлення про жерданову форму, вміти поводитися з жердановими клітинами, але доказ теореми про приведення до жерданової форми можна опустити (до речі, найпростіше я знайшов у посібнику [5] - рекомендую).
  Про програми: власні вектори і значення використовуються в методах машинного навчання, насамперед метод PCA головних компонент. Для нього потрібно також сингулярне розкладання матриці, яке, незважаючи на своє важливе значення, часто згадується у підручниках вузів лише побіжно.

  5. Евклідові простори - Простір над зі скалярним множенням, що наділяє їх істинною геометрією - довжинами і кутами. Основні речі: ортонормовані базиси, ортогональні матриці, ортогональне розкладання ортогональні проекції, ортогоналізація Грама-Шмідта, матриця Грама та її геометричний зміст. Особливу увагу слід приділити важливим класам операторів у евклідових просторах — ортогональних та самосполучених — їх канонічних форм. Відзначу, що для цього зовсім не обов'язково спочатку вивчати загальне поняття сполученого оператора, про яке часом спотикаються студенти, особливо якщо сполучений до оператора визначається як оператор між сполученими просторами. Це загальне визначення можна відкласти на майбутнє, як і всі (не)канонічні ізоморфізми у разі евклідових і довільних просторів.

  6. Білінійні та квадратичні форми. Скалярний твір, крім білінійності та симетричності, має чудову властивість позитивної визначеності. Саме завдяки йому евклідові простори настільки (прості та) звичні.Але також природно виникають псевдо-скалярні твори, де квадрат «довжини» вектора дорівнює сумі квадратів координат (теорема Піфагора), а знакозмінної їх сумі. Головний приклад – чотиривимірний простір Мінковського в теорії відносності з квадратичною формою (час, швидкість світла). Тому вивчають симетричні білінійні та відповідно квадратичні функції довільної. сигнатури (Почитайте [1] про закон інерції, спосіб Якобі, критерій Сільвестра). Сигнатура, до речі, відповідає за вигляд коніки. Так,

  - Рівняння еліпса, - Рівняння гіперболи.

  Як завжди, є загальні (прості) властивості довільних білінійних форм (не обов'язково симетричних) над будь-якими полями. Важливу роль відіграють кососиметричні форми:
  До класичного курсу лінійної алгебри входять також тензори — узагальнення векторів, лінійних та білінійних форм, лінійних операторів. Тензори відіграють важливу роль у механіці (звідки вони родом; tensus — напружений; тензор напруг у механіці), алгебрі (де вони узагальнені на набагато ширший клас об'єктів, ніж векторні простори), теорії обчислень. Однак спочатку тензори можна глибоко не вивчати, якщо для ваших цілей достатньо освоїти оператори і білінійні форми. Їх у будь-якому випадку слід ґрунтовно розібрати, перш ніж переходити до тензорів — їх узагальнення.

  Список литературы
  [1] Е. Б. Вінберг. Курс алгебри. МЦНМВ, 2019.
  [2] А. Л. Канунніков. Магія комплексних чисел. Квант, 2017, випуски 5, 6.
  [3] А. Л. Канунніков. Алгебра та геометрія комплексних чисел. Квант, 2017, випуски 5, 6.
  [4] А. І. Кострикін. Введення до алгебри (у трьох частинах). Частина ІІ. Лінійна алгебра. 2000.
  [5] В. Д. Кряквін. Лінійна алгебра. Посібник для вирішення завдань та велика колекція варіантів завдань. Вузовська книга, 2004.
  [6] В. В. Прасолов. Теореми та завдання лінійної алгебри.

  Автор: Андрій Канунніков, к. ф.-м. н., мехмат МДУ, викладач ШАД Хелпер