Середні величини у статистиці: сутність, властивості, види. Приклади розв'язання задач

Найбільш поширеною формою статистичних показників, що використовується в економічних дослідженнях, є середня величина, що є узагальненою кількісною характеристикою ознаки в статистичній сукупності в конкретних умовах місця і часу.

Найважливіша властивість середньої величини полягає в тому, що вона відображає те загальне, що притаманне всім одиницям досліджуваної сукупності, адже значення ознаки окремих одиниць сукупності коливаються в той чи інший бік під впливом багатьох факторів, серед яких можуть бути випадкові.

Наведемо приклади економічних показників, що ґрунтуються на обчисленні середньої величини і що розкривають її сутність:

• розрахунок середньої заробітної плати працівників підприємства здійснюється розподілом загального фонду заробітної плати на кількість працівників;
• середній розмір вкладу у банку знаходять розподілом суми вкладів у грошах на кількість вкладів;
• для визначення середнього денного вироблення одного працівника необхідно обсяг робіт (кількість деталей), виконаних працівником за певний період поділити на число днів у цьому періоді.

Види середніх величин, що використовуються у статистиці

Розглянемо основні види середніх величин, що використовуються при вирішенні соціально-економічних та аналітичних завдань.

Середня арифметична проста обчислюється за такою формулою:

Середня арифметична проста використовується у тих випадках, коли розрахунок здійснюється за не згрупованими даними. Приклад застосування формули середньої арифметичної простий представлений задачі 1.

Середня арифметична зважена визначається за формулою:

При розрахунку середніх величин окремі значення ознаки, що осредняється, можуть повторюватися, зустрічатися по кілька разів. У таких випадках розрахунок середньої проводиться за згрупованими даними або варіаційними рядами. Приклад застосування формули середньої арифметичної зваженої представлений задачі 2.

Середня гармонійна проста визначається за формулою:

Середні гармонійні використовуються тоді, коли за економічним змістом є інформація для чисельника, а знаменника її необхідно попередньо визначити.

Середня гармонійна зважена визначається за формулою:

Ця формула використовується для розрахунку середніх показників у статиці, а й у динаміці, коли відомі індивідуальні значення ознаки і ваги W за ряд часових інтервалів. Приклад застосування формули середньої зваженої гармонічної представлений в задачі 3.

Середня геометрична проста (невиважена) Визначається за формулою:

Найбільш широке застосування цей вид середньої отримав у аналізі динаміки визначення середнього темпу зростання.

Середня квадратична проста (невиважена) Визначається за формулою:

Середня квадратична є основою обчислень низки зведених розрахункових показників.

Найбільш часто використовуються в економічній практиці структурними середніми є мода та медіана. Мода (Мо) являє собою значення ознаки, що вивчається, повторюється з найбільшою частотою. Медіаною (Ме) називається значення ознаки, що припадає на середину ранжованої (упорядкованої) сукупності. Приклад визначення медіани та моди для дискретного ряду чисел представлений у задачі 1.

Головна властивість медіани полягає в тому, що сума абсолютних відхилень значень ознаки від медіани менша, ніж від будь-якої іншої величини.

Для інтервального ряду розрахунок моди здійснюється за формулою:

де Хо - нижня межа модального інтервалу (модальним називається інтервал, що має найбільшу частоту); i – величина модального інтервалу; f Мо - частота модального інтервалу; f Мо-1 - частота інтервалу, що передує модальному; f Мо+1 - частота інтервалу, наступного за модальним.

Для інтервального ряду розрахунок медіани здійснюється за формулою:

Хо – нижня межа медіанного інтервалу (медіанним називається перший інтервал, накопичена частота якого перевищує половину загальної суми частот); i – величина медіанного інтервалу; Sme-1 - накопичена частота інтервалу, що передує медіанному; f Me – частота медіанного інтервалу.

Приклади розв'язання задач на тему «Середні величини у статистиці»

Завдання 1. Дано ряд чисел: 15; 15; 12; 14; 13. Знайдіть розмах, середнє арифметичне, медіану та моду цього ряду.

Рішення

1) Розмах низки чисел – це різниця між найбільшим і найменшим із цих чисел. У разі розмах дорівнює R = 15-12 = 3

2) Середнє арифметичне цього ряду знаходимо за формулою середньої арифметичної простий. Хср = (15 +15 +12 +14 +13) / 5 = 13,8

3) Для визначення медіани необхідно запропонований ряд упорядкувати – розташувати числа, наприклад, у порядку зростання: 12; 13; 14; 15; 15.
Медіана непарної кількості чисел у дискретному ряді – це число, записане посередині. Медіана парної кількості чисел – це середнє арифметичне двох чисел, що є посередині.
Оскільки у разі кількість чисел низки непарноне, то Ме = 14.

4) Мода дискретного ряду чисел - це число, яке зустрічається в даному ряду найчастіше. Так як число 15 зустрічається в ряді частіше за інших, то Мо = 15.

Завдання 2. Є інформація про чисельність студентів ВНЗ міста та питому вагу (%) студентів на комерційній основі:

Визначити: 1) середню питому вагу студентів ВНЗ, які навчаються на комерційній основі; 2) кількість цих студентів.

Рішення

Для вирішення розширимо запропоновану таблицю:

Середню питому вагу студентів ВНЗ, які навчаються на комерційній основі, визначимо за формулою середньої арифметичної зваженої: Хср = (15×15+3×10+7×20) / (15+3+7) = 15,8%.

Відповідь. Середня питома вага студентів ВНЗ, які навчаються на комерційній основі, дорівнює 15,8%, кількість цих студентів – 3 950 осіб.

Завдання 3. Сума невиплаченої заборгованості за кредитами на 1 липня склала 92,4 млн. грошових одиниць. По окремих галузях економіки вона розподілялася так:

Визначити середній відсоток невиплаченої заборгованості. Обґрунтуйте вибір форми середньої.

Рішення

Оскільки на різних підприємствах сума заборгованості за кредитами різна за різних питомих ваг, то застосуємо формулу середньої гармонійної виваженої.
Хср = ΣW / Σ(W/х) = (32+14+46,4)/(32/20+14/28+46,4/16) = 92,4/5 = 18,48%.

Відповідь. Середній відсоток невиплаченої заборгованості дорівнює 18,48%.

Інші статті на цю тему:

Список використаних джерел

1. Білобородова С.С. та ін. Теорія статистики: Типові завдання з контрольними завданнями. Єкатеринбург: Вид-во Урал. держ. екон. ун-ту, 2001;
2. Мінашкін В.Г. та ін. Курс лекцій з теорії статистики. / Московський міжнародний інститут економетрики, інформатики, фінансів та права. - М., 2003;
3. Сізова Т.М. Статистика: Навчальний посібник. - СПб.: СПб ГУІТМО, 2005;
4. Федорова Л.М., Федорова А.Є. Методичні вказівки щодо написання контрольної роботи з курсу «Статистика» для студентів економічних спеціальностей: УрДЕУ, 2007;

Лекція 6: Середні величини

Будь-яке досліджуване статистикою явище має як загальними для всієї сукупності, і особливими, індивідуальними властивостями. Відмінність між індивідуальними явищами називають варіацією, про неї докладно буде розказано у наступній лекції. Тут же розглянемо іншу властивість масових явищ – властиву їм близькість показників окремих явищ. У цьому вся властивості полягає причина найширшого застосування середніх величин. Головне значення середніх величин полягає у їх узагальнюючої функції, тобто заміні безлічі різних індивідуальних значень ознаки середньою величиною, що характеризує всю сукупність явищ.

Види середніх величин відрізняються передусім тим, яка властивість, який параметр вихідної варіює маси індивідуальних значень ознаки може бути збережений незмінним.

Середньою арифметичною величиною називається таке середнє значення ознаки, при обчисленні якого загальний обсяг ознаки (сума значень ознаки) у сукупності, що вивчається, зберігається незмінним. Інакше можна сказати, що середня арифметична величина - це середнє доданок, тобто при її обчисленні загальний обсяг (сума всіх значень) ознаки подумки розподіляється порівну між усіма одиницями сукупності. Виходячи з визначення, формула середньої арифметичної величини має вигляд

За цією формулою обчислюються середні величини первинних ознак, якщо відомі індивідуальні (окремі) значення ознаки.Якщо сукупність, що вивчається, велика, то вихідна інформація частіше являє собою ряд розподілу або угруповання, як, наприклад, наступна таблиця, де наведено умовний приклад дискретного ряду розподілу студентів за віком:

Середній вік повинен бути результатом рівномірного розподілу загального (сумарного) віку всіх студентів. Загальний (сумарний) вік усіх студентів, згідно з вихідною інформацією у наведеній вище таблиці, можна отримати як суму творів значень ознаки в кожній групі Xi, на кількість студентів з таким віком fi (частоти). Отримаємо формулу:

Таку форму середньої арифметичної величини називають зваженою арифметичної середньої. Як ваги тут виступають кількість одиниць сукупності (fi) в різних групах. Назва «вага» висловлює той факт, що різні значення ознаки мають неоднакову «важливість» при розрахунку середньої величини. «Важливіше», вагоміший за вік студентів 18, 19, 20 років, а такі значення віку як 17, 20 або 21 при розрахунку середньої не відіграють великої ролі – їх «вага» мала. За формулою середньої арифметичної зваженої за даними в умовному прикладі отримаємо:

Як бачимо, середня арифметична величина може бути дробовим числом, навіть індивідуальні значення ознаки можуть набувати лише цілі значення. Нічого незвичайного для методу середніх у цьому не укладено, тому що з сутності середньої не випливає, що вона має бути реальним значенням ознаки, яка могла б зустрітися у будь-якої одиниці сукупності.

Якщо при групуванні значення осредняемого ознаки задані інтервалами, при розрахунку середньої арифметичної величини як значення ознаки у групах приймають середини цих інтервалів, тобто виходять із припущення про рівномірному розподілі одиниць сукупності за інтервалом значень ознаки. Для відкритих інтервалів у першій та останній групі, якщо такі є, значення ознаки треба визначити експертним шляхом виходячи з сутності, властивостей ознаки та сукупності. За відсутності можливості експертної оцінки значення ознаки у відкритих інтервалах, для знаходження недостатньої межі відкритого інтервалу застосовують розмах (різницю між значеннями кінця та початку інтервалу) сусіднього інтервалу (принцип «сусіда»).

Наприклад, за даними наступної таблиці мінімальну та максимальну величину ваги студентів визначити важко, тому скористаємося принципом «сусіда» – застосуємо розмах сусіднього інтервалу, який у другого та передостаннього становить 10 кг, отже перший інтервал буде від 55 до 65 кг, а останній – від 80-90 кг. Середини інтервалів визначаємо як напівсуму нижньої та верхньої межі інтервалів.

Середня вага студентів, розрахована за формулою середньої арифметичної зваженої із заміною точних значень ознаки в групах серединами інтервалів Xi, становитиме відокремлення від розподілу підсумків останнього і другого стовпців таблиці: = 1395/21 = 66,429 (кг).

Отримане значення записано у підсумковий рядок таблиці у 3-му стовпці.

Слід звернути увагу, що об'ємного показника – це сума, а результат по стовпчикам відносних показників чи середніх групових величин – середня.

Середня арифметична величина має 5 властивостями, знання яких корисне як за її використанні, і її розрахунку.

1. Сума відхилень індивідуальних значень ознаки від середнього значення дорівнює нулю.
2. Якщо кожне індивідуальне значення ознаки помножити чи розділити на постійне число, те й середня збільшиться чи зменшиться у стільки раз. Внаслідок цієї властивості індивідуальні значення ознаки можна скоротити в c раз, зробити розрахунок середньої і помножити результат на c.
3. Якщо до кожного індивідуального значення ознаки додати або від кожного значення відняти постійне число, то середня величина зросте або зменшиться на це число. Цю властивість корисно використовувати при розрахунку середньої величини із багатозначних і слабоваріюючих значень ознаки аналогічно до попередньої властивості.
4. Якщо ваги середньої виваженої помножити чи поділити на постійне число, середня величина не зміниться. Використовуючи цю властивість, при розрахунках слід скорочувати ваги з їхньої загальний співмножник чи висловлювати багатозначні числа терезів у великих одиницях вимірах.
5. Сума квадратів відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої арифметичної менша, ніж від будь-якого іншого числа.

Якщо при заміні індивідуальних величин ознаки на середню величину необхідно зберегти незмінну суму квадратів вихідних величин, то середня буде квадратичної середньою величиною. Її формула така:

Головною сферою застосування квадратичної середньої з п'ятої властивості середньої арифметичної величини є вимірювання варіації ознаки в сукупності.

Аналогічно, якщо за умовами завдання необхідно зберегти незмінною суму кубів індивідуальних значень ознаки при їх заміні на середню величину, ми приходимо до середньої кубічної величини, що має вигляд:

Якщо за заміні індивідуальних величин ознаки на середню величину необхідно зберегти незмінним добуток індивідуальних величин, слід застосувати геометричну середню величину, що має такий вигляд:

Основне застосування середня геометрична знаходить при визначенні середніх відносних змін, про що сказано в темі 6. Геометрична середня величина дає найбільш точний результат опосередкування, якщо завдання стоїть у знаходженні такого значення ознаки, яка якісно була б рівновіддалена як від максимального, так і від мінімального значення ознаки.

Коли статистична інформація не містить частот f за окремими варіантами Xi сукупності, а представлена ​​як їхній твір Xf, тоді застосовується формула середньої гармонійної зваженоїдля отримання якої позначимо Xf=w, звідки f=w/X, і, підставивши ці позначення у формулу середньої арифметичної зваженої, отримаємо формулу середньої гармонійної зваженої:

Таким чином, середня гармонійна зважена застосовується тоді, коли невідомі дійсні ваги f, а відомо w = Xf. У тому випадку, коли вага кожного варіанта w=1, тобто індивідуальні значення X зустрічаються по 1 разу, застосовується формула середньої гармонійної простий:

Усі розглянуті вище види середніх величин належать до загального типу статечних середніх, що має такий вигляд:

При m = 1 отримуємо середню арифметичну; при m = 2 – середню квадратичну; при m = 3 – середню кубічну; при m = 0 – середню геометричну; при m = -1 - Середню гармонійну. Що показник ступеня m, то більше значення середньої величини (якщо індивідуальні значення ознаки варіюють). У результаті можна побудувати наступне співвідношення, яке називається правилом мажорантності середніх:

СЕРЕДНІ ВЕЛИЧИНИ: ПОНЯТТЯ, ВИДИ, ВИБІР ФОРМУЛИ РОЗРАХУНКУ

Середня величина - це узагальнюючий показник, що характеризує типовий рівень явища в конкретних умовах місця та часу. Середня величина завжди узагальнює кількісну варіацію ознаки. У середніх величинах погашаються індивідуальні відмінності одиниць сукупності, зумовлені деякими, наприклад, періодично виникають або випадковими обставинами. Середня на відміну простої абсолютної величини дозволяє порівнювати загальний рівень ознаки в одиниць, які стосуються різним сукупностям. Так лише через середні рівні можна зіставити розміри оплати праці працівників різних підприємств. Виникає необхідність розрахунку середньої величини як узагальнюючої характеристики кожної сукупності.

• 1. Необхідний обґрунтований вибір одиниці сукупності, на яку розраховується середнє значення.
• 2. При розрахунку середньої величини в кожному конкретному випадку потрібно виходити з якісного змісту ознаки, що враховується, враховувати взаємозв'язок досліджуваних ознак, а також наявні для розрахунку числові дані.
• 3. Середні величини повинні розраховуватися насамперед за однорідними сукупностями.Якісно однорідні сукупності дозволяє отримати метод угруповань, який, зазвичай, передбачає розрахунок як середнього значення, а й системи узагальнюючих показників. Загальні середні (середні для всієї сукупності) мають супроводжуватися груповими середніми.

Усі середні величини поділяються на два великі класи:

• 1) статечні середні, до яких належать передусім найвідоміші і найчастіше застосовувані види середніх. Це середня арифметична, середня квадратична та середня геометрична величини;
• 2) структурні середні величини, як яких розглядаються мода і медіану.

Ступінні середні величини обчислюються у двох формах - простий і зваженої. Проста середня величина має такий загальний вигляд

де X• - варіанта (значення) ознаки, що осредняется; т - Показник ступеня середньої; п - число варіантів (спостережень).

Зважена середня величина вважається за згрупованими даними, представленими у вигляді дискретних або інтервальних рядів розподілу:

де Xj — варіанта (значення) ознаки, що осредняється, або серединне значення інтервалу, в якому вимірюється варіанта; т - Показник ступеня середньої; f_t — частота, що показує, скільки разів зустрічається /-е значення дискретного ознаки, що осредняется, або кількість попадань ознаки в /-й інтервал.

Формули розрахунку статечних середніх включають показник ступеня (Т). Залежно від його значення різниться:

• • середня гармонічна, якщо т = -1;
• • середня геометрична, якщо т = 0;
• • середня арифметична, якщо т= 1;
• • середня квадратична, якщо т = 2;
• • середня кубічна, якщо т = 3 і т.д.

Якщо розрахувати всі види середніх для тих самих вихідних даних, їх значення виявляться неоднаковими. Тут діє правило мажорантності: із зростанням показника ступеня т збільшується і відповідна середня величина:

Формули статечних середніх величин наведені у табл. 2.1.

Вигляд статечної середньої

Формула розрахунку середньої

У формулах середніх значень п - це число одиниць сукупності (число індивідуальних значень ознаки, що осредняється Х) х - індивідуальне значення ознаки кожної одиниці. Якщо сукупність об'єктів розподілена за групами різної чисельності, то х — це значення ознаки, загальне для всієї групи, чисельність групи (частота повторення даного значення ознаки).

Розглянемо приклад розрахунку та вибір форми середньої величини.

Посівна площа, га

Показник урожайності є вторинною ознакою і може бути представлений ставленням двох первинних ознак, а саме сумарного валового збору (ВС) та загальної посівної площі (ПП). Логічна формула показника середньої врожайності має вигляд

Згідно з даними прикладу для сільськогосподарського підприємства 1 відоме значення чисельника у логічній формулі середньої величини, а саме показник сумарного валового збору. Знаменник логічної формули (загальну посівну площу підприємств 1) можна визначити так:

Отримуємо таку формулу для розрахунку середньої врожайності на підприємстві 1:

де як ваги виступає валовий збір.

Таку формулу розрахунку має середня гармонійна зважена величина:

Економічний зміст доданків: 1300 га — посівна площа, зайнята озимою пшеницею; 90 га - житом; 620 га - ячменем; ПО га - просом; 2120 га – посівна площа сільськогосподарського підприємства 1, зайнята під усіма зерновими культурами.

Для сільськогосподарського підприємства 2 в умовах завдання є чисельне значення знаменника логічної формули — це показник загальної посівної площі. Виходячи з логічної формули середньої величини, чисельник (валовий збір) можна визначити так:

Отримуємо формулу середньої врожайності по підприємству 2, де як вага виступає посівна площа:

Таку формулу має середня арифметична зважена величина:

де в чисельнику 30800 ц - валовий збір озимої пшениці; 2280 ц - жита; 8280 ц - ячменю; 1040 ц - проса; 42400 ц - валовий збір зернових культур на сільськогосподарському підприємстві 2.

Отже, середня врожайність зернових культур для підприємства 1 проти підприємством 2 вище на 4,04 ц/га (чи 21%).

Середня гармонійна величина має складнішу конструкцію, ніж середня арифметична. Формула гармонійної середньої застосовується, зокрема для визначення: середніх витрат праці на одиницю продукції при виготовленні її кількома робітниками, середньої матеріаломісткості продукції одного і того ж виду при її виробництві на різних ділянках, цехах, підприємствах для розрахунку середньої ціни продукту при реалізації його кількома торговими фірмами.

приклад. Швачки-надомнiпи зайнятi пошиттям головних уборiв однієї моделi. Перша швачка витрачає виготовлення одного головного убору 30 хв, друга — 40 хв, третя — 50 хв і четверта — 60 хв.Визначимо середні витрати часу на пошиття одного головного убору за умови, що кожна швачка працює по 10 годин на день.

Розв'язання задачі за допомогою середньої арифметичної простої:

виявилося б успішним, якби кожна надомниця шила лише по одному головному убору на день. У цьому випадку середні витрати часу на пошиття одного головного убору можна підрахувати розподілом загальних витрат часу на пошиття всіх головних уборів (600 + 600 + 600 + + 600 = 2400 хв) на кількість зшитих головних уборів. Кількість головних уборів, зшитих кожною надомницею:

1) 600: 30 = 20 шт., 2) 600: 40 = 15 шт., 3) 600: 50 = 12 шт, 4) 600: 60 = 10 шт.

Середні витрати часу обчислимо за формулою середньої гармонійної зваженої:

тобто. на пошиття одного головного убору витрачається в середньому 42 хв. Як ваги у цій задачі було прийнято показник загальних витрат часу на пошиття всіх головних уборів однією швачкою. Так як у цьому прикладі загальні витрати часу у всіх надомниць однакові, до аналогічного результату наводить і розрахунок за формулою середньої гармонійної простий:

Таким чином, вибір виду середньої величини необхідно починати з побудови логічної формули, виходячи з якісного змісту показника, що осредняется.

Вибираючи формули середньої величини А.Я. Боярський запропонував використати так званий визначальний показник. Середня величина повинна обчислюватися так, щоб при заміні кожного індивідуального значення показника, що осредняется, його середньою величиною залишався без зміни деякий підсумковий зведений показник, пов'язаний з средним. Цей підсумковий показник називається визначальним, оскільки його взаємозв'язку з індивідуальними значеннями визначає конкретну формулу розрахунку середньої величини.Покажемо це правило на прикладах.

При розрахунку середньої врожайності зернових культур на підприємстві 1 узагальнюючим показником може бути загальна посівна площа (ПП), що складається із суми посівних площ, зайнятих окремими культурами:

У свою чергу, площа, зайнята окремою культурою - ПП_/пов'язана з урожайністю відповідної культури співвідношенням

Таким чином, сумарна посівна площа визначається так:

У правій частині рівності замінюємо індивідуальні рівні врожайності на середнє значення. Отримуємо:

звідки випливає, що за наявності даних про валовий збір за видами культур та врожайності кожної культури окремо середнє значення слід розраховувати за формулою середньої гармонійної зваженої:

Для підприємства 2 таким визначальним показником є ​​величина валового збору ЗС. Величина сумарного валового збору пов'язана з урожайністю з 1 га таким чином:

При виборі визначального показника можна керуватися нескладним правилом: виділити три взаємно пов'язані показники, включаючи те, яким потрібно розрахувати середню. (У даному прикладі це валовий збір (ц), посівна площа (га), врожайність (ц/га).) Якщо є первинні дані тільки за двома будь-якими показниками цього списку, то відсутній третій показник може служити визначальним ознакою. (Для підприємства 1 був відсутній показник посівної площі, для підприємства 2 — показник валового збору.) Якщо є дані за всіма трьома показниками, то дослідник має право вибрати як середню величину арифметичну, і середню гармонійну. При правильно призначених терезах результати повинні збігатися 1 .

Якщо є дані лише за тією ознакою, котрій потрібно розрахувати середнє значення, то дослідник вправі вибрати будь-яку формулу простий статечної середньої величини. У цих випадках рекомендується також визначати так звані структурні середні (Моду та медіану).

У прикладі розрахунку середніх витрат часу на одиницю продукції були первинні дані про загальні витрати робочого часу Т (по 10 год кожною швачкою) та про рівні трудомісткості t (30; 40; 50; 60 хв). З трьох взаємно пов'язаних показників був відсутній показник кількості продукції Q. Саме він і виступив як визначальний:

Правило визначальної властивості не слід абсолютизувати. Наприклад, ознакою ціни товару має як та частина сукупності, що його породжує, — натуральна одиниця продукції, і будь-яка інша одиниця, цікавить дослідника. Наприклад, розрізняються ціни даного товару на окремих торгових підприємствах, при різних цінах даного товару формується кожен карбованець витрат обігу, при різних цінах використовується кожен квадратний метр торгової площі, при різних цінах товару, що реалізується, утворюється той чи інший рівень рентабельності торгівлі і т.д. У цих випадках логічних показників,

Якщо у вихідних даних повідомляються і площі, зайняті культурами, і валовий збір щодо кожної культури, то визначальним буде показник урожайності. Перетворення виводять логічну формулу середнього значення: відношення всього валового збору до загальної посівної площі.

визначальних єдиний загальний вигляд формули середнього значення, фактично немає, і дослідник вправі використовувати підхід, звичайний теоретично ймовірностей і математичної статистики, — вибирати формулу простий арифметичної середньої чи зважувати індивідуальні рівні ознаки з їхньої ймовірностям.

Формула середньої геометричний простий (не зваженою)

використовується зазвичай при розрахунку середнього значення за індивідуальними відносними величинами динаміки. Така середня величина застосовується, якщо задана послідовність ланцюгових відносних величин динаміки, що вказують зміну показника порівняно з рівнем попереднього періоду: i_, /₂, /₃, . Наприклад, обсяг виробництва в останньому році визначається його початковим рівнем (q₀) та наступною зміною за роками:

Прийнявши q_n як визначальний показник і замінюючи індивідуальні значення показників динаміки середніми величинами, приходимо до співвідношення

Наприклад, щоб збільшити за 10 років виробництво продукту вдвічі,

потрібне його щорічне збільшення на 7,2% по відношенню до попереднього року.

Цікаво, що до розрахунку показника середніх коефіцієнтів (або темпів) зростання можна підійти й інакше. Приймемо як визначальний показник загальний обсяг виробництва за п періодів (років):

Замінюємо індивідуальні значення коефіцієнтів середньою величиною:

Таким чином, якщо відомо, у скільки разів сумарний обсяг виробництва за п періодів (років) повинен перевищити рівень базисного періоду (року), то визначення середнього коефіцієнта зростання треба вирішити рівняння ступеня п.

Знайдене середнє значення коефіцієнта зростання дає відповідь на запитання: якими темпами має щорічно зростати підсумковий показник, щоб за кілька років, починаючи з базисного рівня q₀, вийшов сумарний обсяг Q. Нижче наведено таблицю рішень при п = 3; 4; 5 для Q/д₀в інтервалі від 1 до 8.