Способи завдання поверхонь

Існує три основні способи завдання кривих та поверхонь у просторі:

Способи завдання поверхонь

Ще одним способом наочного уявлення функції двох змінних, широко використовуваним практично, є її у вигляді ізолінії – ГМТ на площині, котрим функція приймає постійні значения: . Таким чином, кожна ізолінію задається неявно за допомогою рівняння .

Приклад: (однопорожнинний гіперболоїд), (щільність, як характеристика, розподілена в просторі).

Приклад: бічна поверхня кругового циліндра радіуса R і висотою H в циліндричній СК:

Сподобалася стаття? Додай її в закладку (CTRL+D) і не забудь поділитися з друзями:

Основні поверхні простору та їх побудова

Ця стаття має довідковий характер і за своєю структурою дуже нагадує матеріали про графіки та властивості елементарних функцій. З тією відмінністю, що замість «плоських» графіків ми розглянемо найпоширеніші просторові поверхні, а також навчимося грамотно будувати їх від руки. Я досить довго підбирав програмні засоби для побудови тривимірних креслень і знайшов пару непоганих додатків, але, незважаючи на зручність використання, ці програми погано вирішують важливе практичне питання. Справа в тому, що в найближчому історичному майбутньому студенти, як і раніше, будуть озброєні лінійкою з олівцем, і, навіть маючи якісний «машинний» креслення, багато хто не зможе коректно перенести його на картатий папір. Тому в методичці особливу увагу приділено техніці ручної побудови, і значна частина ілюстрацій сторінки є handmade-продуктом.

Чим відрізняється цей довідковий матеріал від аналогів?

Маючи пристойний практичний досвід, я дуже добре знаю, з якими поверхнями найчастіше доводиться мати справу в реальних завданнях вищої математики, і сподіваюся, що ця стаття допоможе вам у найкоротші терміни поповнити свій багаж відповідними знаннями та прикладними навичками, яких у 90-95% випадків має вистачити.

Що потрібно вміти зараз?

По-перше, необхідно вміти правильно будувати просторову декартову систему координат (Див. початок статті Графіки та властивості функцій).

По-друге, необхідно вміти відкладати крапки у цій системі координат; про це я докладно розповів на уроках Рівняння пряме у просторі і Трикутна піраміда.

Далі вважаємо, що всі події відбуваються у прямокутній системі координат.

Що ви придбаєте після прочитання цієї статті?

~~Пляшку~~ Після освоєння матеріалів уроку ви навчитеся швидко визначати тип поверхні за її функцією та/або рівнянням, уявляти, як вона розташована в просторі, і, звичайно ж, виконувати креслення. Нічого страшного, якщо не все впаде в голові з одного прочитання - до будь-якого параграфа при необхідності завжди можна повернутися пізніше.

Інформація під силу кожному – для її освоєння не потрібно якихось надзнань, особливого художнього таланту та просторового зору.

На практиці просторова поверхня зазвичай задається функцією двох змінних або рівнянням виду (Константа правої частини найчастіше дорівнює нулю або одиниці). Перше позначення більше притаманно математичного аналізу, друге – для аналітичної геометрії. Рівняння , по суті, є неявно заданою функцією 2 змінних, яку у типових випадках легко привести до вигляду . Нагадую найпростіший приклад з першого уроку на тему ФНП:

- функція площини в явному вигляді .

Давайте з неї і почнемо:

Поширені рівняння площин

Типові варіанти розташування площин у прямокутній системі координат детально розглянуті на початку статті Рівняння площини. Тим не менш, ще раз зупинимося на рівняннях, які мають велике значення для практики.

Насамперед, ви повинні на повному автоматі дізнаватися рівняння площин, які паралельні координатним площинам. Фрагменти площин стандартно зображують прямокутниками, які в останніх двох випадках виглядають як паралелограми. За умовчанням розміри можна вибрати будь-які (в розумних межах, звичайно), при цьому бажано, щоб точка, в якій координатна вісь «протикає» площину, була центром симетрії:

Строго кажучи, координатні осі місцями слід було зобразити пунктиром, але щоб уникнути плутанини нехтуватимемо цим нюансом.

Тим, хто ще не встиг, настійно рекомендую ознайомитися із зазначеною вище статтею та зрозуміти неформальний зміст цих рівнянь. Повторимо заразом і відповідні нерівності:

– (лівий креслення) нерівність задає далекий від нас напівпростір, виключаючи саму площину;

– (Середній креслення) нерівність задає праве напівпростір, включаючи площину;

– (Правий креслення) подвійна нерівність задає «шар», розташований між площинами, включаючи обидві площини.

Для самостійної розминки:

Зобразити тіло, обмежене площинами
Скласти систему нерівностей, що визначають це тіло.

З-під грифеля вашого олівця має вийти старий знайомий прямокутний паралелепіпед. Не забувайте, що невидимі ребра та грані потрібно прокреслити пунктиром. Готовий креслення наприкінці уроку.

Будь ласка, НЕ ЗНЕБЕРАЙТЕ навчальними завданнями, навіть якщо вони здаються надто простими. А то може статися, раз пропустили, два пропустили, а потім витратили биту годину, вимучуючи тривимірне креслення в якомусь реальному прикладі. Крім того, механічна робота допоможе набагато ефективніше засвоїти матеріал та розвинути інтелект! Не випадково у дитячому садку та початковій школі дітей завантажують малюванням, ліпленням, конструкторами та іншими завданнями на дрібну моторику пальців. Вибачте за відступ, не пропадати ж моїм двома зошитами за віковою психологією =)

Наступну групу площин умовно назвемо "прямими пропорційностями" - це площини, що проходять через координатні осі:

1) рівняння виду (тут і далі ) задає площину, що проходить через вісь;

2) рівняння виду задає площину, що проходить через вісь;

3) рівняння виду задає площину, що проходить через вісь.

Хоча формальна ознака очевидна (яка змінна відсутня у рівнянні – через ту вісь і проходить площину), завжди корисно розуміти суть подій, що відбуваються:

Як краще здійснити побудову? Пропоную наступний алгоритм:

Спочатку перепишемо рівняння у вигляді , з якого добре видно, що «ігрок» може приймати будь-які значення. Зафіксуємо значення , тобто розглядатимемо координатну площину . Рівняння задають просторову пряму, що лежить у цій координатній площині. Зобразимо цю лінію на кресленні. Пряма проходить через початок координат, тому для її побудови достатньо знайти одну точку. Нехай. Відкладаємо крапку та проводимо пряму.

Тепер повертаємось до рівняння площини. Оскільки «гравець» приймає будь-які значення, то побудована у площині пряма безперервно «тиражується» вліво та вправо. Саме так і утворюється наша площина, що проходить через вісь. Щоб завершити креслення, ліворуч і праворуч від прямої відкладаємо дві паралельні лінії та поперечними горизонтальними відрізками «замикаємо» символічний паралелограм:

Так як умова не накладала додаткових обмежень, то фрагмент площини можна було зобразити трохи менших або більших розмірів.

Ще раз повторимо зміст просторової лінійної нерівності на прикладі. Як визначити напівпростір, який він ставить? Беремо якусь точку, не належить площині, наприклад, точку з ближнього до нас напівпростору і підставляємо її координати в нерівність:

Отримано правильна нерівність, Отже, нерівність задає нижнє (щодо площині) напівпростір, при цьому сама площина не входить у рішення.

Побудувати площини
а);
б).

Це завдання для самостійної побудови, у разі складнощів використовуйте аналогічні міркування. Короткі вказівки та креслення наприкінці уроку.

Насправді особливо поширені площини, паралельні осі. Окремий випадок, коли площина проходить через вісь, щойно був у пункті «бе», і зараз ми розберемо загальне завдання:

Рішення: у рівнянні у явному вигляді не бере участь змінна «зет», а значить, площина паралельна осі аплікат. Застосуємо ту ж техніку, що й у попередніх прикладах.

Перепишемо рівняння площини у вигляді якого зрозуміло, що «зет» може приймати будь-які значення.Зафіксуємо і в «рідній» площині накреслимо звичайну «плоску» пряму. Для її побудови зручно взяти опорні точки.

Оскільки «зет» приймає все значення, то побудована пряма безперервно «розмножується» вгору і вниз, утворюючи цим шукану площину . Акуратно оформляємо паралелограм розумної величини:

Рівняння площини у відрізках

Найважливіший прикладний різновид. Якщо все коефіцієнти загального рівняння площини відмінні від нуля, то воно представимо у вигляді , який називається рівнянням площини у відрізках. Очевидно, що площина перетинає координатні осі в точках і велика перевага такого рівняння полягає в легкості побудови креслення:

Рішення: спочатку складемо рівняння площини у відрізках. Перекинемо вільний член праворуч і розділимо обидві частини на 12:

Робимо дроби триповерховими:

Саме так! – адже знаменники можуть виявитися і дрібними. Але в цьому випадку все розділилося націло:

Таким чином, площина проходить через . З метою самоконтролю координати кожної точки усно підставимо у вихідне рівняння. Після цього виконаємо креслення:

На відміну від попередніх прикладів, тут фрагмент площини зображується у вигляді трикутника, який у загальному випадку може «промальовуватися» в будь-якому з восьми октантів.

Завдання для тренування:

Коротке рішення та креслення наприкінці уроку.

Переходимо до іншої великої групи мешканців 3D-світу:

Циліндричні поверхні

Або якщо коротше – циліндри.

! Примітка: у ряді джерел інформації під циліндром розуміється виключно геометричне тіло, а не поверхня!

Слід зазначити, що в математиці під цими термінами ховається не зовсім те, що зазвичай має на увазі обиватель, і клас циліндричних поверхонь не обмежується чорним циліндром на голові:

Побудувати поверхню, задану рівнянням

Що за справи? Чи не друкарська помилка тут? Начебто дано канонічне рівняння еліпса…

Ні, тут не друкарська помилка і всі справи відбуваються саме в просторі! Досліджуємо запропоновану поверхню тим самим методом, що нещодавно використовували для площин. Перепишемо рівняння у вигляді , з якого випливає, що «зет» приймає будь-які значення. Зафіксуємо і побудуємо у площині еліпс. Оскільки «зет» приймає все значення, то побудований еліпс безперервно «тиражується» вгору та вниз. Легко зрозуміти, що поверхня нескінченна:

Ця поверхня називається еліптичним циліндром. Еліпс (на будь-якій висоті) називається спрямовуючою циліндра, а паралельні прямі, що проходять через кожну точку еліпса, називаються утворюючими циліндра (які у буквальному значенні слова його й утворюють). Вісь є віссю симетрії поверхні (але не її частиною!).

Координати будь-якої точки, що належить даній поверхні, обов'язково задовольняють рівняння .

Просторове нерівність задає «начинку» нескінченної «труби», включаючи саму циліндричну поверхню, і, відповідно, протилежна нерівність визначає безліч точок поза циліндром.

У практичних завданнях найбільш популярний окремий випадок, коли спрямовуючою циліндра є коло:

Побудувати поверхню, задану рівнянням

Нескінченну «трубу» зобразити неможливо, тому мистецтва обмежуються, як правило, «обрізанням».

Спочатку зручно побудувати коло радіусу в площині, а потім ще пару кіл зверху і знизу. Отримані кола (напрямні циліндра) акуратно з'єднуємо чотирма паралельними прямими (утворюючими циліндра):

Не забуваймо використовувати пунктир для невидимих нам ліній.

Координати будь-якої точки, що належить даному циліндру, задовольняють рівняння . Координати будь-якої точки, що лежить суворо всередині «труби», задовольняють нерівність, а нерівність задає безліч точок зовнішньої частини. Для кращого розуміння рекомендую розглянути кілька конкретних точок простору та переконатися у цьому самостійно.

Побудувати поверхню та знайти її проекцію на площину

Перепишемо рівняння у вигляді якого випливає, що «ікс» приймає будь-які значення. Зафіксуємо і в площині зобразимо коло - З центром на початку координат, одиничного радіусу. Оскільки «ікс» безперервно приймає все значення, то побудоване коло породжує круглий циліндр із віссю симетрії . Малюємо ще одне коло (спрямовуючу циліндра) і акуратно з'єднуємо їх прямими (утворюючими циліндра). Місцями вийшли накладки, але що робити, такий нахил:

Цього разу я обмежився шматочком циліндра на проміжку, і це не випадково. Насправді часто й потрібно зобразити лише невеликий фрагмент поверхні.

Тут, до речі, вийшло 6 утворюючих – дві додаткові прямі «закривають» поверхню з лівого верхнього та правого нижнього кутів.

Тепер знаємо проекцію циліндра на площину. Багато читачів розуміють, що таке проекція, проте проведемо чергову фізкульт-п'ятихвилинку.Будь ласка, встаньте і схиліть голову над кресленням так, щоб вістря осі дивилося перпендикулярно вам у чоло. Те, чим з цього ракурсу здається циліндр – і є його проекція на площину. А здається він нескінченною смугою, укладеною між прямими, включаючи самі прямі. Ця проекція – це точно область визначення функцій (верхній "жолоб" циліндра), (нижній "жолоб").

Давайте, до речі, прояснимо ситуацію і з проекціями на інші координатні площини. Нехай промені сонця світять на циліндр з боку вістря і вздовж осі. Тінню (проекцією) циліндра на площину є аналогічна нескінченна смуга – частина площини, обмежена прямими ( – будь-яке), включаючи самі прямі.

А ось проекція на площину дещо інша. Якщо дивитися на циліндр з вістря осі, то він спроектується в коло одиничного радіусу, з якого ми починали побудову.

Побудувати поверхню та знайти її проекції на координатні площини

Це завдання самостійного рішення. Якщо умова не дуже зрозуміла, зведіть обидві частини квадрат і проаналізуйте результат; з'ясуйте, яку саме частину циліндра задає функція . Використовуйте методику побудови, яка неодноразово застосовувалася вище. Коротке рішення, креслення та коментарі наприкінці уроку.

Еліптичні та інші циліндричні поверхні можуть бути зміщені щодо координатних осей, наприклад:

(за знайомими мотивами статті про лініях 2-го порядку) - Циліндр одиничного радіусу з лінією симетрії, що проходить через точку паралельно осі. Однак на практиці подібні циліндри трапляються досить рідко, і зовсім неймовірно зустріти «косу» щодо координатних осей циліндричну поверхню.

Параболічні циліндри

Як випливає з назви, спрямовуючою такого циліндра є парабола.

Побудувати поверхню та знайти її проекції на координатні площини.

Не міг утриматися від цього прикладу =)

Рішення: йдемо второваною стежкою. Перепишемо рівняння у вигляді , з якого випливає, що «зет» може набувати будь-яких значень. Зафіксуємо і збудуємо звичайну параболу на площині, попередньо відзначивши тривіальні опорні точки. Оскільки «зет» приймає все значення, то побудована парабола безперервно «тиражується» вгору і вниз до безкінечності. Відкладаємо таку ж параболу, скажімо, на висоті (у площині) і акуратно з'єднуємо їх паралельними прямими (утворюючими циліндра):

Нагадую корисний технічний прийом: якщо спочатку немає впевненості як креслення, то лінії спочатку краще прокреслити тонко-тонко олівцем. Потім оцінюємо якість ескізу, з'ясовуємо ділянки, де поверхня прихована від очей, і лише потім надаємо натиск грифелю.

1) Проекцією циліндра на площину є парабола. Слід зазначити, що в даному випадку не можна міркувати про області визначення функції двох змінних - З тієї причини, що рівняння циліндра не призводить до функціонального вигляду .

2) Проекція циліндра на площину є напівплощиною, включаючи вісь

3) І, нарешті, проекцією циліндра на площину є вся площина.

Побудувати параболічні циліндри:

а) обмежитися фрагментом поверхні в ближньому напівпросторі;

У разі труднощів не поспішаємо і розмірковуємо за аналогією з попередніми прикладами, благо технологія досконало відпрацьована. Не критично, якщо поверхні виходитимуть трохи корявими – важливо правильно відобразити принципову картину.Я і сам особливо не морочуся над красою ліній, якщо вийшов стерпний креслення «на трієчку», зазвичай не переробляю. У зразку рішення, до речі, використано ще один прийом, що дозволяє покращити якість креслення ;-)

Гіперболічні циліндри

Напрямними таких циліндрів є гіперболи. Цей тип поверхонь, за моїми спостереженнями, зустрічається значно рідше, ніж попередні види, тому я обмежуся єдиним схематичним кресленням гіперболічного циліндра:

Принцип міркування тут такий самий – звичайна шкільна гіпербола з площини безперервно «розмножується» вгору та вниз до нескінченності.

Розглянуті циліндри відносяться до так званих поверхням 2-го порядку, і зараз ми продовжимо знайомитись з іншими представниками цієї групи:

Еліпсоїд. Сфера та куля

Канонічне рівняння еліпсоїда у прямокутній системі координат має вигляд , де – позитивні числа (півосі еліпсоїда), які в загальному випадку різні. Еліпсоїдом називають як поверхня, так і тіло, обмежена цією поверхнею. Тіло, як багато хто здогадався, задається нерівністю і координати будь-якої внутрішньої точки (а також будь-якої точки поверхні) обов'язково задовольняють цю нерівність. Конструкція симетрична щодо координатних осей та координатних площин:

Походження терміна «еліпсоїд» теж очевидне: якщо поверхню «розрізати» координатними площинами, то в перерізах вийдуть три різні (загалом) еліпса. Залежно від значень еліпсоїд може бути витягнутий уздовж будь-якої осі, причому досить далеко.

Якщо дві півосі збігаються, то цю поверхню/тіло називають еліпсоїдом обертання. Так, наприклад, еліпсоїд отриманий обертанням еліпса навколо осі (Уявіть подумки).

Невелика задача для самостійного розв'язання:

Побудувати еліпсоїд. Записати рівняння еліпса, що породжує, і вісь, навколо якої здійснюється його обертання.

Креслення та короткий коментар наприкінці уроку.

У разі рівності всіх півосей, еліпсоїд вироджується в сферу:
- Це рівняння задає сферу з центром на початку координат радіуса .

Тіло, обмежене сферою, називається кулею. Нерівність визначає кулю з центром на початку координат радіусу. І, відповідно, протилежній умові задовольняють координати будь-якої зовнішньої точки.

Розробимося з апетитним Колобком:

Побудувати поверхню. Знайти функції, що задають верхню та нижню півсферу, вказати їх області визначення. Записати аналітичний вираз кулі, обмеженої цією сферою та перевірити, чи належать йому точки

Рішення: рівняння задає сферу з центром на початку координат радіуса 2. Тут, як і в прикладах з параболічними циліндрами, вигідно зменшити масштаб креслення:

- Функція, що задає верхню півсферу;
- Функція, що задає нижню півсферу.

Областю визначення кожної функції є коло з центром на початку координат радіуса 2 (проекція півсфер на площину).

Нерівність визначає кулю з центром на початку координат радіуса 2. Підставимо координати точок у цю нерівність:

Отримано неправильна нерівністьОтже, точка «де» лежить поза кулею.

Отримано правильна нерівність, Отже, точка «еф» належить кулі, а конкретніше – його межі (сфері).

Матеріал про сфери та кулі досить простий, і я пропоную вам суто символічне завдання для самостійного вирішення:

Знайти область визначення функції двох змінних та побудувати відповідну поверхню.

Коротке рішення та креслення наприкінці уроку.

До речі, наша планета, хто не знає, трохи, але не куля.

Конічна поверхня

Канонічне рівняння в декартових координатах задає конічну поверхню 2-го порядку або, якщо коротше, конус. Але це знову ж таки не зовсім той конічний ковпак, який усім знайомий з часів далекого дитинства.

Форму багатьох поверхонь зручно досліджувати методом перерізів, який я потихеньку почав використовувати ще у попередніх параграфах. Суть методу полягає в тому, що ми «розсікаємо пацієнтів» площинами (насамперед, координатними), і перерізи, що виходять, дозволяють нам добре зрозуміти, як виглядає та чи інша поверхня.

Перепишемо рівняння у вигляді та досліджуємо перерізи конуса площинами, паралельними площині. Підставимо в рівняння конічної поверхні:

Очевидно, що випадку відповідає рівняння , що задає пару уявних прямих, що перетинаються з єдиною дійсною точкою перетину на початку координат. Ця точка називається вершиною конуса.

Якщо ж , то рівняння задає еліпси різних розмірів, причому з останнього рівняння добре видно, що зі збільшенням абсолютних значень "Це великого" півосі еліпсів необмежено зростають. Таким чином, конічна поверхня нескінченна:

Якщо конічна поверхня «розрізати» довільною площиною (яка проходить через вісь), то в перерізі вийдуть дві прямі, що перетинаються на початку координат. Безліч таких перерізів, власне, і утворює конічну поверхню.
І логічно, що кожна з цих прямих називається утворює конус.

На практиці майже завжди доводиться мати справу з конусом обертання, в якому перерізи площинами являють собою кола. І в багатьох практичних завданнях типовий наступний «розпізнавальний» вид рівняння:
- З «Зет» в лівій частині і рівними коефіцієнтами при і .

Як багато хто здогадався, функція задає верхню частину конуса, а функція – його нижню частину.

Поширена варіація на тему:

Рішення: рівняння має вигляд і визначає половину конуса, що знаходиться у верхньому напівпросторі. Вершина конічної поверхні, зрозуміло, розташована на початку координат, але як побудувати все інше?

Зведемо обидві частини вихідного рівняння квадрат:

Далі виберемо невелике позитивне значення "зет", наприклад, і знайдемо лінію перетину цієї площини з нашою поверхнею:
- Коло радіуса.

Пояснення про всяк випадок: підставили в 1-е рівняння

Тепер на висоті зобразимо коло і акуратно проведемо 4 утворюючі конуси:

Утворюючі, в принципі, можна було продовжити і вище за площину .

Не забуваємо, що рівняння задає тільки верхню частину поверхні і тому ніяких «хвостиків» у нижньому напівпросторі не повинно бути.

Мабуть, найпростіша конічна поверхня:

Побудувати конічну поверхню. Записати нерівності, що визначають внутрішню та зовнішню частину конуса.

У зразку рішення зображено фрагмент конуса, розташований між площинами . Ну, а з нерівностями, думаю, зрозумійте самостійно. У разі болісних сумнівів завжди можна взяти крапку (всередині чи зовні конуса) і перевірити, чи задовольняють її координати нерівності.

На закінчення статті докладно розглянемо ще одну мегапопулярну поверхню:

Еліптичний параболоїд

Канонічний еліптичний параболоїд у прямокутній системі задається рівнянням. Ця поверхня виглядає нескінченною чашею:

Назва «еліптичний параболоїд» теж походить з результатів дослідження перерізів. У горизонтальних перерізах площинами виходять різні еліпси:
, зокрема, при еліпс вироджується у точку (початок координат), яка називається вершиною еліптичного параболоїда.

А вертикальні перерізи площинами, паралельними осі, являють собою різні параболи. Наприклад, переріз координатною площиною:
- Парабола, що лежить у площині.
Або перетин площиною:
- Парабола, що лежить у площині.

Звідси й еліптичний параболоїд.

Насправді зазвичай зустрічається спрощена версія поверхні з горизонтальними перерізами-колами. Перепишемо канонічне рівняння у прикладному функціональному вигляді:
– характерною ознакою функції, як і ситуації з конусом, є рівність коефіцієнтів при .

Побудувати поверхню. Записати нерівності, що визначають внутрішню та зовнішню частину еліптичного параболоїда.

Рішення: використовуємо ту ж методику, що і при побудові конічної поверхні Розглянемо якесь не дуже велике значення «зет», тут зручно вибрати і знайдемо перетин еліптичного параболоїда цією площиною:
- Коло радіуса 2.

Тепер на висоті зобразимо це коло і акуратно з'єднаємо його з вершиною (початком координат) двома параболами. В результаті вийде така ось симпатична чашка:

Розглянутий окремий випадок параболоїда з горизонтальними перерізами-колами також називають параболоїдом обертанняоскільки його можна отримати обертанням параболи навколо осі.

З нерівностями нічого нового.Неважко здогадатися, що нерівність або, якщо розгорнути запис у більш звичному порядку, визначає безліч точок усередині чаші (т.к. нерівність суворе, то сама поверхня не входить у рішення). І, відповідно, нерівність задає безліч зовнішніх точок.

За моїми спостереженнями, на практиці часто зустрічається еліптичний параболоїд виду, який виглядає так само, але мігрував вершиною в крапку. Саме таку поверхню ми досліджували за допомогою ліній рівня у Прикладі № 14 першого уроку теми.

Ще одне типове розташування еліптичного параболоїда:

РішенняЯкщо коефіцієнти при негативні (відразу обидва), то чаша параболоїда «дивиться вниз». Вершина поверхні розташована в точці. Це зрозуміло як інтуїтивно, а й підкріплюється простим аналітичним міркуванням: очевидно, що розглянувши будь-яку іншу пару значень ми зменшимо функцію . Таким чином, у точці досягається максимум функції двох змінних.

З метою побудови поверхню зручно «відсікти» площиною. Переріз є:
- Коло радіуса 2.

Заключне завдання для самостійного вирішення:

Побудувати еліптичний параболоїд

Креслення наприкінці уроку, який наблизився до завершення.

Серед поверхонь 2-го порядку за кадром залишилися рідко зустрічаються на практиці:

( Нижче перераховані канонічні рівняння, у яких – позитивні числа)

Більш детальну інформацію про ці поверхні можна знайти в підручнику аналітичної геометрії чи іншому джерелі інформації, зокрема, у Вікіпедії, яку проставлені посилання. Якщо виникне необхідність виконати їхню побудову – використовуйте метод перерізів, він дійсно простий та ефективний!

Я б з радістю все розповів, але, по-перше, це недоцільно з практичної точки зору, а по-друге, розмір статті підходить до тієї небезпечної межі, після якої відвідувачі сайту вважатимуть автора не лише фанатом, а й почнуть серйозно побоюватися його здоров'я. Втім, санітари дозволили мені ще трохи посидіти за комп'ютером.

А якщо серйозно, то цієї статті я побоювався мало не з перших днів створення сайту через великий обсяг роботи. Але ось, нарешті, клуб любителів функцій двох змінних широко відчинив двері, і тепер уже ми з вами відтягнемося в повний зріст =)

Приклад 1: Рішення: виконаємо креслення:

Це тіло визначається системою

Приклад 3: Рішення: а) Спочатку зручно побудувати пряму, що лежить у площині. Використовуємо початок координат і, наприклад, точку . б) Спочатку зручно побудувати пряму, що лежить у площині. Використовуємо початок координат і, наприклад, точку .

Приклад 6: Рішення: запишемо рівняння площини у відрізках:

Виконаємо креслення:

Приклад 10: Рішення: функція задає верхню частину циліндра:

Проекція на площину: частина даної площини, обмежена плоскими прямими (включаючи прямі).
Проекція на площину: частина даної площини, обмежена прямими ( будь-яке), включаючи самі прямі.
Проекція на площину: півколо

Приклад 12: Креслення:

Приклад 13: Рішення: даний еліпсоїд отриманий обертанням еліпса (площина) навколо осі:

Примітка: також можна вважати, що обертається еліпс , що лежить у площині .

Приклад 15: Рішення: областю визначення цієї функції є коло із центром на початку координат радіуса . Функція задає півсферу, що лежить у верхньому напівпросторі, з центром на початку координат радіуса:

Приклад 17: Рішення: перерізи конуса площинами є кола . Виконаємо креслення:

Нерівність задає безліч точок, що усередині конуса; нерівність ставить безліч зовнішніх точок.

Приклад 20: Рішення: вершина параболоїда знаходиться у точці . Виконаємо креслення:

Автор: Ємелін Олександр

(Перехід на головну сторінку)

знижка 15% на перший замовлення, при оформленні введіть промокод: 5530-hihi5

Як задається поверхня