Порада 1: Як перетворити на багаточлен вираз

Багаточлен називається сума одночленів, тобто творів цифр і змінних. Працювати з ним зручніше, оскільки частіше кожного реформування висловлювання на многочлен дозволяє значно спростити його.

Інструкція

1. Розкрийте всі дужки виразу. Для цього скористайтесь формулами, скажімо, (а+b)^2=a^2+2ab+b^2. Якщо ви не знаєте формул або їх складно застосувати до цього виразу, розкривайте дужки ступінчасто. Для цього множте 1-й член першого виразу на весь член другого виразу, після цього 2-й член першого виразу на весь другий член і т.д. У результаті всі елементи обох дужок будуть перемножені між собою.

2. Якщо перед вами три вирази в дужках, спочатку перемножте перші дві, залишаючи третій вираз не зворушеним. Спростивши результат, що у результаті реформування перших дужок, перемножте його з третім виразом.

3. Спостерігайте за дотриманням знаків перед множниками-одночленами. Якщо ви перемножуєте два члени з одним знаком (скажімо, обидва правильні або обидва негативні), одночлен буде зі знаком «+». Якщо один член має перед собою «-», не забудьте перенести його на твір.

4. Наведіть усі одночлени до стандартного вигляду. Тобто переставте місцями множники всередині та спростіть. Скажімо, вираз 2х*(3,5х) дорівнюватиме (2*3,5)*х*х=7х^2.

5. Коли всі одночлени будуть стандартизовані, спробуйте спростити багаточлен. Для цього згрупуйте члени, які мають ідентичну частину зі змінними, скажімо, (2х+5х-6х)+(1-2). Спростивши вираз, ви отримаєте х-1.

6. Зверніть увагу на наявність параметрів у виразі.Зрідка полегшення многочлена потрібно виготовляти так, наче параметр є числом.

7. Щоб перетворити на многочлен вираз, що містить корінь, виведіть під ним такий вираз, який буде зведений у квадрат. Скажімо, скористайтеся формулою a^2+2ab+b^2 =(а+b)^2, після чого заберіть знак кореня разом із парним ступенем. Якщо позбутися знака кореня неможливо, перетворити вираз у многочлен стандартного вигляду не вдасться.

Порада 2: Як спрощувати вирази

Короткість, як кажуть, сестра дару. Кожному хочеться блиснути задарма, але його сестра – штука важка. Феноменальні думки чомусь самі собою вдягаються в складнопідрядні пропозиції з більшістю дієпричетних циклів. Втім у ваших силах спростити свої пропозиції і зробити їх виразними та доступними кожним.

Інструкція

1. Щоб полегшити адресату (чи слухач чи читач) життя, постарайтеся замінювати причетні і дієпричетні цикли короткими підрядними пропозиціями, тільки якщо вищевказаних циклів занадто багато в одному реченні. "Кіт, що прийшов додому, щойно з'їв мишу, голосно муркочучи, пестився до власника, намагаючись зазирнути йому в очі, вірячи випросити рибу, принесену з магазину" - таке не піде. Розбийте подібну конструкцію на кілька частин, не поспішайте і не намагайтеся сказати все одним реченням, і буде вам щастя.

2. Якщо ви задумали талановитий вислів, але в ньому виявилося дуже багато придаткових речень (тим більше з одним союзом), то краще розбити висловлювання на кілька окремих речень або опустити якийсь елемент. "Ми вирішили, що він розповість Марині Василівні, що Катя скаже Віті, що ..." - Можна продовжувати безмежно.Своєчасно зупиніться і згадайте про ту людину, хто це читатиме або вислуховуватиме.

3. Втім, підводні камені криються не тільки в структурі пропозиції. Зверніть увагу на лексику. Іншомовні слова, довгі терміни, слова, почерпнуті з художньої літератури 19 століття – це ускладнить сприйняття. Потрібно уточнити собі, якій аудиторії ви складаєте текст: технарі, фінально, усвідомлюють і важкі терміни, і специфічні слова; але якщо ви ті самі слова запропонуєте вчительці літератури, навряд чи вона вас зрозуміє.

4. Дар – велика річ. Якщо ви геніальні (а людей без здібностей не буває), перед вами відкривається безліч доріг. Але дар полягає не в труднощі, а простоті, як не дивно. Будьте простіше, і ваші дари будуть виразні та доступні кожному.

Відео на тему

Порада 3: Як привести багаточлени до стандартного вигляду

Навіть найважче рівняння перестає виглядати лякаючим, якщо привести його до вигляду, з яким ви вже стикалися. Особливо простим методом, який рятує у будь-якій обстановки, є приведення багаточленів до стандартного вигляду. Це початкова точка, з якої можна рухатися далі до рішення.

Вам знадобиться

Інструкція

1. Запам'ятайте стандартну форму многочлена, щоб знати, що ви повинні отримати в результаті. Важливість має навіть порядок запису: першими повинні стояти члени з більшою мірою. Крім того, прийнято спочатку записувати незнайомі, позначені літерами, що стоять на початку алфавіту.

2. Запишіть початковий багаточлен і приступайте до пошуку подібних доданків. Це члени цього рівняння, що мають ідентичну буквену частину або (і) цифрову. Для більшої наочності наголошуйте виявлені пари.Зверніть увагу, що подібність не означає ідентичність, - головне, щоб один член пари містив у собі другий. Так, подібними будуть члени ху, хy2z і хуz - вони мають загальну частину у вигляді твору х і у. Це ж стосується і статечних виразів.

3. Позначайте різні подібні члени по-різному. Для цього класніше підкреслюйте одинарними, подвійними та потрійними лініями, використовуйте колір та інші форми ліній.

4. Виявивши всі подібні члени, починайте їх комбінування. Для цього у виявлених парах винесіть подібні члени за дужки. Не забувайте, що в стандартній формі багаточлен немає подібних членів.

5. Перевірте, чи не залишилося у вас ідентичних елементів запису. У ряді випадків у вас можуть знову з'явитися подібні члени. Повторіть операцію з їх комбінуванням.

6. Прослідкуйте за виконанням другого дані, потрібного для запису многочлена у стандартній формі: весь його учасник має бути зображений у вигляді одночлена у стандартному вигляді: на першому місці – числовий множник, на другому – змінна або змінні, що йдуть у вже зазначеному порядку. При цьому пріоритет має буквена послідовність, що задається алфавітом. Зниження ступенів враховується у другу чергу. Так, стандартним видом одночлена є запис 7xy2, тоді як y27x, x7y2, y2x7, 7y2x, xy27 не відповідають вимогам.

Відео на тему

Порада 4: Що таке багаточлен

Математична наука осягає різні конструкції, послідовності чисел, відносин між ними, складання рівнянь та їх вирішення. Це формальна мова, якою можна чітко описати наближені до ідеальних характеристики справжніх об'єктів, що осягаються в інших галузях науки. Однією з таких конструкцій є багаточлен.

Інструкція

1. Багаточлен або поліном (від грец. «Полі» – багато і лат. «Номен» – ім'я) – клас елементарних функцій класичної алгебри та алгебраїчної геометрії. Це функція однієї змінної, яка має вигляд F(x) = c_0 + c_1*x + … + c_n*x^n, де c_i – фіксовані показники, x – змінна.

2. Багаточлени використовують у багатьох розділах, зокрема розгляді нуля, негативних і комплексних чисел, теорії груп, кілець, вузлів, множин тощо. Застосування поліноміальних обчислень значно полегшує вираження властивостей різних об'єктів.

3. Основні визначення многочлена: • Кожне доданок полінома називається одночленом чи мономом. • Многочлен, що з 2-х одночленів, називають двочленом чи біномом. • Коефіцієнти полінома – матеріальні чи комплексні числа. • Якщо старший показник дорівнює 1, то багаточлен називають унітарним (наведеним). ступеня, називається вільним членом. • Багаточлен, все одночлени якого мають ідентичну повну міру, називається однорідним.

4. Деякі часто використовувані багаточлени названі на прізвище вченого, який їх визначив, а також описав функції, які вони задають. Скажімо, Біном Ньютона - це формула для розкладання полінома 2-х змінних на окремі складові для обчислення ступенів. Це знамениті зі шкільної програми записи квадратів суми та різниці (a + b)^2 – a^2 + 2*a*b + b^2, (a – b)^2 = a^2 – 2*a*b + b^2 і різницю квадратів (a^2 – b^2) = (a – b)*(a + b).

5. Якщо допустити у записі многочлена негативні ступеня, то вийде многочлен чи ряд Лорана; многочлен Чебишева застосовується теоретично наближень; багаточлен Ерміта – теоретично ймовірностей; Лагранжа – для чисельного інтегрування та інтерполяції; Тейлора – при апроксимації функції тощо.

Зверніть увагу!
Біном Ньютона часто згадують у книгах («Майстер і Маргарита») та фільмах («Сталкер»), коли герої вирішують математичні завдання. Цей термін на слуху, тому вважається найвідомішим багаточленом.

Порада 5: Як перетворити вираз

Реформування висловів найчастіше проводиться з метою їх полегшення. Для цього застосовуються особливі співвідношення, а також правила скорочення та приведення подібних.

Вам знадобиться

• - Дії з дробами;
• - Формули скороченого множення;
• - Калькулятор.

Інструкція

1. Найпростішим реформуванням є приведення подібних. Якщо є кілька доданків, які є одночленами з ідентичними співмножниками, показник при них можна скласти, з урахуванням знаків, що стоять перед цими показниками. Скажімо, вираз 2•n-4n+6n-n=3•n.

2. Якщо ідентичні помножувачі мають різні ступені, подібним чином звести подібні не допустимо. Групуйте лише ті показники, які мають при собі співмножники з ідентичними ступенями. Скажімо, спростіть вираз 4•k?-6•k+5•k?-5•k?+k-2•k?=3•k?-k?-5•k.

3. Якщо є така можливість, використовуйте формули скороченого множення. До особливо відомим відносяться куб і квадрат суми або різниці двох чисел. Вони є окремим випадком бінома Ньютона. До формул скороченого множення також відносять різницю квадратів 2-х чисел. Скажімо, щоб визначити значення виразу 625-1150+529=(25-23)?=4.Або 1296-576 = (36 +24) • (36-24) = 720.

4. Коли необхідно перетворити вираз , Яке являє собою природний дріб, виділіть із чисельника та знаменника загальний множник і скоротите на нього чисельник та знаменник. Скажімо, скоротите дріб 3•(a+b)/(12•(a?-b?)). Для цього перетворіть її на вигляд 3•(a+b)/(3•4•(a-b)•(a+b)). Скоротіть це вираз на 3•(a+b), отримайте 1/(4•(a-b)).

5. Перетворюючи тригонометричні вирази, використовуйте вестиму тригонометричну тотожність. До них відноситься основна тотожність sin?(x)+cos?(x)=1, а також формули тангенсу та його співвідношення з котангенсом sin(x)/cos(x)=tg(x), 1/ tg(x)= ctg(x). Формули суми різниці аргументів, і навіть кратного аргументу. Скажімо, перетворіть вираз (cos?(x)-sin?(x))?cos?(x)?tg(x)=cos(2x)?cos?(x)?sin(x)/cos(x)=cos(2x) • cos (x) • sin (x) = cos (2x) • cos (x) • sin (x) • 2/2 = cos (2x) • sin (2x) / 2 = cos (2x) • sin (2x )•2/4= sin(4x)/4. Таке вираз розрахувати набагато легше.

Порада 6: Як перетворити формулу

Процедура реформування формул використовується у будь-якій науці, що використовує формальну мову математики. Формули складаються із особливих символів, пов'язаних між собою за певними правилами.

Вам знадобиться

• Знання правил математичних тотожних реформ, таблиця математичних тотожностей.

Інструкція

1. Досліджуйте вираз на наявність дробів. Чисельник і знаменник дробу можна помножити чи розділити одне й те саме вираз, позбувшись знаменника. У разі реформування рівняння, перевірте, чи немає у знаменниках змінних. Якщо є - додайте умову, що вираз знаменника не дорівнює нулю. З цього дані виділіть неприпустимі значення змінних, тобто обмеження області визначення.

2. Застосуйте правила дій зі ступенями для ідентичних підстав. У результаті зменшиться кількість доданків.

3. Перенесіть доданки, що містять змінну, в одну частину рівняння, які не містять – в іншу. До будь-якої частини рівняння використовуйте математичні тотожності для полегшення.

4. Згрупуйте однорідні доданки. Для цього винесіть загальну змінну за дужки, усередині яких запишіть суму показників з урахуванням символів. Ступінь тієї ж самої змінної розглядається як інша змінна.

5. Перевірте, чи немає у формулі зразків тотожних реформ багаточленів. Скажімо, чи немає правої чи лівої частини формули різниці квадратів, суми кубів, квадрата різниці, квадрата суми та інших. Якщо є, то замість виявленого зразка підставте його спрощений аналог і знову спробуйте зробити угруповання доданків.

6. У разі реформування тригонометричних рівнянь, нерівностей чи легко виразів виявіть у яких зразки тригонометричних тотожностей і застосуйте метод заміни частини висловлювання тотожним йому спрощеним выражением. Таке реформування дозволяє позбутися зайвих синусів чи косинусів.

7. Для реформування кутів у загальному вигляді чи радіанної формі скористайтеся формулами приведення. Після реформування обчисліть значення подвійного кута чи половинного кута залежно від числа пи.

як перетворити ціле вираження на многочлен

Ця стаття присвячена одному з видів виразів курсу алгебри – цілим виразам, а також їх перетворення. Спочатку дамо визначення цілих виразів. Далі покажемо, які тотожні перетворення найчастіше виконуються із нею.Нарешті, покажемо, що будь-яке ціле вираз можна перетворити на многочлен, і прикладах розберемо, як це перетворення проводиться і чому воно основано.

Навігація на сторінці.

Визначення та приклади цілих виразів

Вивчення цілих виразів входить у програму курсу алгебри для 7 класів. На уроках алгебри і дається таке визначення цілих виразів.

Цілими виразами називають числа, змінні, і навіть всілякі висловлювання, складені їх за допомогою дій складання, віднімання і множення (твір однакових множників може бути записано і як ступеня з натуральним показником), які можуть містити дужки і розподіл на відмінне від нуля число.

До речі, будь-який багаточлен, як будь-який одночлен, є цілими висловлюваннями.

Слід зазначити, що в школі ми працюємо переважно з такими цілими виразами, які якщо містять у своєму записі числа, то ці раціональні числа (зокрема, цілі чи натуральні). Іншими словами, цілі вирази, що вивчаються в школі, не містять у своєму записі ірраціональних чисел. Їх ще називають цілими раціональними виразами.

Які перетворення цілих виразів можливі?

З цілими виразами можна виконувати всі основні тотожні перетворення, такі як розкриття дужок, угруповання доданків та множників, приведення подібних доданків тощо. Розглянемо рішення кількох прикладів.

Перетворіть цілий вираз, замінивши поділ множенням.

Уявіть цілий вираз 6 x 2 x y + 18 x x y 6 x (x 2 +3 x 1) x x 3 +4 x у вигляді добутку двох многочленів.

Нагадаємо, що при виконанні тотожних перетворень виразів, у тому числі й цілих, потрібно дотримуватись порядку виконання дій.

Перетворення на багаточлен

У багатьох випадках перетворення цілих виразів проводяться з єдиною метою – уявити їх у вигляді багаточленів. Взагалі, будь-яке ціле вираз можна у вигляді многочлена. Це твердження випливає з визначення цілого виразу, який ми дали вище, а також того, як ми визначені дії з багаточленами та одночленами. Дійсно, будь-яке ціле вираз ми можемо розглядати як з'єднані знаками дій багаточлени, а ми знаємо, що множення багаточленів, як і їхнє складання та віднімання в результаті дає многочлен.

Щоб вираз уявити як многочлена, треба виконати всі дії з многочленами, одночленами і числами, складовими цей вираз, відповідно до прийнятому порядку виконання дій.

Вихідний вираз містить і дужки, і зведення в ступінь, і дії різних ступенів.

Зрозуміло, що при виконанні множення багаточленів і зведенні їх у ступінь наскільки можна користуватися формулами скороченого множення, що прискорить процес перетворення. Наприклад, у попередньому прикладі зведення многочлена 2 x-1 в квадрат було доцільно проводити з використанням формули квадрата різниці. Та й взагалі будь-які дії бажано виконувати максимально раціонально.

На закінчення цієї статті зазначимо, що процес перетворення на багаточлен буде набагато коротшим, якщо попередньо всі складові вихідне вираз одночлени і багаточлени привести до стандартного вигляду.

Перетворення цілих виразів

Завдяки курсу алгебри відомо, що всі висловлювання вимагають перетворення для зручнішого рішення. Визначення цілих виразів сприяє тому, що спочатку виконуються тотожні перетворення.Перетворюватимемо вираз у многочлен. Наприкінці розберемо кілька прикладів.

Визначення та приклади цілих виразів

Цілі вирази – це числа, змінні або вирази зі складанням або відніманням, які записуються у вигляді ступеня з натуральним показником, які також мають дужки або поділ, відмінний від нуля.

Многочлен і одночлен є цілими висловлюваннями, із якими зустрічаємося у шкільництві під час роботи з раціональними числами. Інакше кажучи, цілі вирази не включають записи ірраціональних дробів. Інша назва – це цілі ірраціональні вирази.

Які перетворення цілих виразів можливі?

Цілі висловлювання розглядаються під час вирішення як основні тотожні перетворення, розкриття дужок, групування, приведення подібних.

Для початку необхідно застосувати правило розкриття дужок. Отримаємо вираз виду 2 · (a 3 + 3 · a · b - 2 · a) - 2 · a 3 - (5 · a · b - 6 · a + b) = = 2 · a 3 + 2 · 3 · a · b + 2 · ( − 2 · a ) − 2 · a 3 − 5 · a · b + 6 · a − b = = 2 · a 3 + 6 · a · b - 4 · a - 2 · a 3 - 5 · a · b + 6 · a - b

Після цього можемо навести такі складові:

Подати вираз 6 · x 2 · y + 18 · x · y − 6 · y − ( x 2 + 3 · x − 1 ) · ( x 3 + 4 · x ) у вигляді твору.

6 · y · ( x 2 + 3 · x − 1 ) − ( x 2 + 3 · x − 1 ) · ( x 3 + 4 · x ) = = ( x 2 + 3 · x − 1 ) · ( 6 · y − ( x 3 + 4 · x ) )

Відповідь: 6 · x 2 · y + 18 · x · y − 6 · y − ( x 2 + 3 · x − 1 ) · ( x 3 + 4 · x ) = = ( x 2 + 3 · x − 1 ) · ( 6 · y − x 3 − 4 · x )

Тотожні перетворення вимагають суворе виконання порядку дій.

8 · x 8 + 4 · x : 8 = 8 · x 8 + 4 · x · 1 8 = 8 · x 8 + 4 · 1 8 · x = 8 · x 8 + 1 2 · x

Перетворення на багаточлен

Більшість випадків перетворення цілих виразів – це уявлення як многочлена. Будь-яке вираз можна у вигляді многочлена. Будь-який вираз може бути розглянутий як багаточлени, з'єднані арифметичними знаками. Будь-яка дія над многочленами у результаті дає многочлен.

Для того, щоб вираз був представлений у вигляді багаточлена, необхідно виконувати всі дії з багаточленами згідно з алгоритмом.

Розберемо множення. Видно, що 2 · (2 ​​· x 3 - 1) = 4 · x 3 - 2 і (4 · x 2 - 4 · x + 1) · (3 - x) = 12 · x 2 - 4 · x 3 - 12 · x + 4 · x 2 + 3 − x = = 16 · x 2 − 4 · x 3 − 13 · x + 3

Виконуємо додавання, після чого прийдемо до виразу:

Множення та зведення в ступінь багаточлена говорить про те, що необхідно використовувати формули скороченого множення для прискорення процесу перетворення. Це сприяє тому, що дії будуть виконані раціонально та правильно.

Щоб перетворення було занадто довгим, необхідно заданий вираз приводити до стандартного виду.

Спростити вираз виду ( 2 · a · ( − 3 ) · a 2 · b ) · ( 2 · a + 5 · b 2 ) + a · b · ( a 2 + 1 + a 2 ) · ( 6 · a + 15 · b 2 ) + ( 5 · a · b · ( − 3 ) · b 2 )

− 6 · a 3 · b · ( 2 · a + 5 · b 2 ) + a · b · ( 2 · a 2 + 1 ) · ( 6 · a + 15 · b 2 ) - 15 · a · b 3 = = − 12 · a 4 · b − 30 · a 3 · b 3 + ( 2 · a 3 · b + a · b ) · ( 6 · a + 15 · b 2 ) − 15 · a · b 3 = = − 12 · a 4 · b − 30 · a 3 · b 3 + 12 · a 4 · b + 30 · a 3 · b 3 + 6 · a 2 · b + 15 · a · b 3 − 15 · a · b 3 = = ( − 12 · a 4 · b + 12 · a 4 · b ) + ( − 30 · a 3 · b 3 + 30 · a 3 · b 3 ) + 6 · a 2 · b + ( 15 · a · b 3 − 15 · a · b 3 ) = 6 · a 2 · b

Відповідь: ( 2 · a · ( − 3 ) · a 2 · b ) · ( 2 · a + 5 · b 2 ) + a · b · ( a 2 + 1 + a 2 ) · ( 6 · a + 15 · b 2 ) + + ( 5 · a · b · ( − 3 ) · b 2 ) = 6 · a 2 · b

Перетворення цілого вираження на многочлен

Урок 37. Алгебра 7 клас

На даний момент ви не можете подивитися чи роздати відеоурок учням

Щоб отримати доступ до цього та інших відеоуроків комплекту, потрібно додати його в особистий кабінет, придбавши в каталозі.

Отримайте неймовірні можливості

Конспект уроку «Перетворення цілого вираження на багаточлен»

· Запровадити поняття «ціле вираз»;

· Показати, що будь-яке ціле вираз можна подати у вигляді многочлена;

· показати спосіб визначення цілого виразу;

· Показати спосіб перетворення цілого вираження в многочлен стандартного виду.

Насамперед необхідно з'ясувати, які ж вирази називають цілими.

Подивіться уважно на такі вирази

Вони складені з чисел і змінних за допомогою дій додавання, віднімання та множення. Також деякі вирази містять ступеня.

Такі вирази називають цілими. Причому якщо вираз містить, крім дій складання, віднімання і множення, дію розподіл на число, не рівне нулю, воно також є цілим, оскільки дію розподіл можна замінити множенням на число зворотне дільнику.

Наступне вираз не є цілим, так містить розподіл на вираз зі змінною.

Зверніть увагу, що серед цілих виразів є багаточлени та одночлени.

Нам з вами відомо, що суму, різницю та добуток багаточленів можна перетворити на багаточлен. Тому будь-яке ціле вираз можна у вигляді многочлена.

Перш, ніж розглянути приклади перетворення цілого вираження на многочлен, пригадаємо, що й перед дужками стоїть знак плюс, то дужки можна опустити, зберігши знак кожного доданку, укладеного в дужки.

Якщо перед дужками стоїть знак мінус, то дужки можна опустити, змінивши знак кожного доданку, укладеного в дужки, на протилежний.

Також пригадаємо, що з множенні одночлена на многочлен треба помножити одночлен за кожен член многочлена.

А при множенні багаточлена на багаточлен треба кожен член одного багаточлена помножити на кожен член іншого багаточлена та отримані твори скласти.

Ну, а тепер давайте розглянемо приклади.

Отже, щоб перетворити ціле вираження на многочлен, треба:

1. розкрити дужки, якщо вони є;

2. застосувати формули скороченого множення, якщо можливо;

3. при необхідності навести подібні доданки, щоб отримати багаточлен стандартного виду.

Пам'ятаємо, що багаточлен стандартного виду називається багаточлен, усі члени якого мають стандартний вигляд і серед них немає подібних.

Перетворення цілих виразів

Ви будете перенаправлені на Автор24

Поняття цілого виразу

Вираз називається цілим, якщо воно складено з чисел і змінних за допомогою таких операцій як додавання, віднімання та множення.

З визначення очевидно, що одночлени і багаточлени є також цілими виразами. Не цілими є вирази, які містять у своєму записі поділ на змінну.

Основними перетвореннями цілих виразів є уявлення як многочлена і розкладання на множники. Найчастіше у своїй використовуються формули скороченого множення. Нагадаємо основні з них:

Розглянемо тепер ці дві операції окремо.

Подання у вигляді багаточлена

Будь-яке ціле вираз можна у вигляді многочлена.

Нагадаємо, що таке багаточлен.

Використовуючи формулу скорочення 1, отримаємо:

Далі розкриватимемо дужки:

Набули багаточлен стандартного вигляду.

Готові роботи на аналогічну тему

Розкладання на множники

Щоб розкласти многочлен на множники, застосовують такі прийоми, як винесення загального множника за дужки, і навіть застосовують формули скороченого множення.

Розглянемо розкладання на множники з прикладу:

Для початку згрупуємо перший член із третім, а другий член із четвертим:

. Тут варто зазначити, що не кожний багаточлен можна розкласти на множники.

Приклади завдань на перетворення цілих виразів

Подати у вигляді многочлена:

Рішення:

а) Скористаємося формулами 1 і 3 скороченого множення, отримаємо:

\[\left(a-3\right)\left(a^2+9\right)\left(a+3\right) ^2-a)>^2-19=\] \[=\left( a^2-9\right)\left(a^2+9\right)-\left(^4-4a^3+a^2\right)-19=\] \[=a^4-81-^4+4a^3-a^2-19=4a^3-^4-a^2-100\]

б) Скористаємося формулами 1 і 3 скороченого множення, отримаємо:

\[\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)\left(x+1\right) ^2-2\left(x^2-3\right)+x=\ ] \[=\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)-\left(x^4-2x^2+1\right)-2x^2+6+x= \] \[=x^4-1-x^4+2x^2-1-2x^2+6+x=4+x\]

Розкласти на множники:

Рішення:

Алгебра. 7 клас

Конспект уроку

Перелік питань, що розглядаються:

Алгебраїчне вираз, у якому кілька многочленів з'єднані знаками складання, віднімання та множення, називається цілим виразом.

Сума многочленів дорівнює многочлену, членами якого є члени цих многочленов.

Різниця двох многочленів - це сума зменшуваного і багаточлена, протилежного віднімається.

Твір одночлена та багаточлена дорівнює багаточлену, членами якого є твори цього одночлена та кожного члена багаточлена.

Правило приведення багаточлена до стандартного вигляду:

1)кожен член многочлена призвести до стандартного виду;

2)навести подібні члени.

1. Микільський С. М. Алгебра: 7 клас. // Микільський С. М., Потапов М. К., Решетніков Н. Н., Шевкін А. В. - М.: Просвітництво, 2017. - 287 с.

1. Чулков П. В. Алгебра: тематичні випробування 7 клас. // Чулков П. В. - М.: Просвітництво, 2014 - 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактичні матеріали 7 клас. // Потапов М. К., Шевкін А. В. - М.: Просвітництво, 2017. - 96 с.

3. Потапов М. К. Робочий зошит з алгебри 7 клас: до підручника С. М. Нікольського та ін. «Алгебра: 7 клас». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкін А. В. - М.: Просвітництво, 2017. - 160 с.

Теоретичний матеріал самостійного вивчення.

Перед нами кілька виразів, чи можна з них скласти загальний вираз, поєднуючи їх знаками додавання, віднімання та множення?

Безперечно. Ці дії ми навчилися виконувати на попередніх заняттях.

Один із виразів, який може бути отриманий: (17 + с)(16а – 15х) – (3 + 4ас) + (х + у)

Ми дізнаємося, як називається отриманий вираз, і навчимося спрощувати подібні вирази.

Почнемо з визначення.

Алгебраїчне вираз, у якому кілька многочленів з'єднані знаками складання, віднімання та множення, називається цілим виразом.

Наприклад, отримане під час виконання завдання вираз є цілим, т.к. багаточлени з'єднані знаками додавання, віднімання та множення:

(17 + с) (16а - 15х) - (3 + 4ас) + (х + у) - цілий вираз.

Вираз, що містить багаточлени, з'єднані знаком поділу, не буде цілим.

Наприклад, вираз (7 + 14а) + (23 - с): (х + у) - не є цілим.

8х + 12 - ціле вираження.

Цілі вирази можна спрощувати, використовуючи правила складання, віднімання та множення багаточленів.

По-перше, добуток багаточленів дорівнює багаточлену, членами якого є твори кожного члена одного багаточлена і кожного члена іншого багаточлена тобто. щоб знайти добуток багаточленів, необхідно кожен член одного багаточлена помножити на кожен член іншого багаточлена, а отримані одночлени скласти.

Наприклад, так виконується множення багаточленів.

(а + с) (х + у) = ах + ау + сх +

По-друге, сума багаточленів дорівнює багаточлену, членами якого є всі члени даних багаточленів.

Наприклад, так знаходиться сума багаточленів:

(а + с) + (к + х) = а + с + к + х

І, нарешті, різницю двох многочленів дорівнює многочлену, членами якого є всі члени зменшуваного і, взяті з протилежними знаками, всі члени віднімається.

Наприклад, так знаходиться різниця двох багаточленів.

(а + с) - (к + х) = а + с - до - х

Вираз, отриманий внаслідок виконання цих дій, потрібно наводити до стандартного вигляду.

Будь-яке ціле вираження можна перетворити на багаточлен стандартного вигляду.

Розглянемо, як спрощувати вираз.

Спростіть вираз: (17 + с) (16а - 15х) - (3 + 4ас) + (х + у).

Спочатку виконаємо множення двох перших багаточленів, потім розкриємо дужки у багаточленів, що залишилися. Т.к. Перед третьою дужкою стоїть знак мінус, то знаки членів цього багаточлена зміняться на протилежні.

(17 + с) (16а - 15х) - (3 + 4ас) + (х + у) = 17 · 16а + 17 · (-15) х + 16ас + (-15) сх - 3 - 4ас + х + у =

Далі наведемо отриманий багаточлен до стандартного вигляду

= 272а - 255х + 16ас - 15сх - 3 - 4ас + х + у = 272а - 254х + 12ас -15сх + у -3

Отже, сьогодні ми отримали уявлення про те, що таке вираз, навчилися його спрощувати.

Розглянемо додатково, як довести, що вираз є нульовим многочленом.

Доведіть, що вираз є нульовим многочленом.

(2х + у) (2х - у) - (к + 2х) (к - 2х) + (до 2 + у 2 - 8х 2)

Для підтвердження цього твердження спростимо вираз.

Для цього розкриємо дужки і наведемо до стандартного виду отриманий вираз.

Отриманий многочлен є нульовим, що потрібно було довести.

Розбір завдань тренувального модуля.

Складіть вираз за текстом завдання.

Знайдіть площу прямокутника зі сторонами (а + с) та (к + х).

Для розв'язання задачі, треба згадати, що площу прямокутника знаходять як добуток двох його суміжних сторін. Виходячи з умови завдання, площу знаходимо як (а + с) (к + х). Це і є відповідь.

2. Спростіть цілий вираз і знайдіть його ступінь: 3 · (х + 3) (х - 6) - 5х 2

Спочатку спростимо ціле вираження, використовуючи властивості множення многочлена на многочлен і одночлена на многочлен. Далі наведемо отриманий багаточлен до стандартного виду, а потім знайдемо рівень отриманого багаточлена.