Конєв В.В. Межі послідовностей та функцій
Зазначимо, що для існування межі функції не потрібно, щоб ця функція була визначена в точці a. Наприклад, функція не визначена у точці x = 3, проте її межа при існує і дорівнює числу 6. Крім того, визначальне значення для існування межі функції має лише поведінку цієї функції в досить малій околиці точки a. Поза цією околицею функція може бути необмеженою. Прикладом може бути функція f(x) = 1⁄x, межа якої при x → 1 дорівнює 1, хоча ця функція є необмеженою на проміжку, що включає точку 0.
Функція називається нескінченно великий при якщо вона необмежено зростає по абсолютній величині при . У таких випадках кажуть, що прагне до нескінченності при і записують це твердження у вигляді
Формальною мовою визначення межі функції виглядає наступним чином. Функція має своєю межею нескінченність при , якщо для будь-якого скільки завгодно великого числа E > 0 існує таке число?E), що для всіх x, які задовольняють умові
По суті, такому визначенню можна дати стандартне тлумачення: якщо для всіх x з δ-околиці точки a значення функції потрапляють в околицю нескінченно віддаленої точки, то при цій функції має своєю межею ∞.
Аналогічним чином формулюється поняття межі функції при . Число A називається межею функції якщо для будь-якого довільно малого числа ε > 0 існує таке число ∆(ε), що для всіх x, які задовольняють умові
Функція має своєю межею нескінченність при , якщо для будь-якого скільки завгодно великого числа E > 0 існує таке число ∆(E), що для всіх x, які задовольняють умові
Зауважимо, що слід дотримуватись певної обережності при поводженні із символом ∞. Іноді вирішальне значення результат надає знак нескінченності. Наприклад,
Межі функцій. Приклади рішень
Теорія меж – це з розділів математичного аналізу. Питання вирішення меж є досить широким, оскільки існують десятки прийомів рішень меж різних видів. Існують десятки нюансів і хитрощів, що дозволяють вирішити ту чи іншу межу. Тим не менш, ми все-таки спробуємо розібратися в основних типах меж, які найчастіше зустрічаються практично.
Почнемо з поняття межі. Але спершу коротка історична довідка. Жив-був у 19 столітті француз Огюстен Луї Коші, який дав суворі визначення багатьом поняттям матану та заклав його основи. Треба сказати, цей шановний математик снився, сниться і буде снитися в кошмарних снах всім студентам фізико-математичних факультетів, тому що довів величезну кількість теорем математичного аналізу, причому одна теорема більш завзята за іншу. У цьому зв'язку ми поки не розглядатимемо визначення межі по Коші, а спробуємо зробити дві речі:
1. Зрозуміти, що таке межа.
2. Навчитися вирішувати основні типи меж.
Перепрошую за деяку ненауковість пояснень, важливо щоб матеріал був зрозумілий навіть чайнику, що, власне, і є завданням проекту.
Отже, що таке межа?
А одразу приклад, чого бабусю кудлатити….
Будь-яка межа складається з трьох частин:
1) Всім відомого значка межі.
2) Записи під значком межі, у разі . Запис читається «ікс прагне одиниці».Найчастіше саме , хоча замість «ікса» на практиці зустрічаються й інші змінні. У практичних завданнях дома одиниці може бути абсолютно будь-яке число, і навіть нескінченність ( ).
3) Функції під знаком межі, у разі .
Сам запис читається так: «межа функції при ікс, що прагне до одиниці».
Розберемо наступне важливе питання – а що означає вираз «ікс прагне до одиниці»? І що взагалі таке «прагне»?
Поняття межі - це поняття, якщо так можна сказати, динамічний. Побудуємо послідовність: спочатку , потім , , …, , ….
Тобто вираз «ікс прагне до одиниці» слід розуміти так – «ікс» послідовно набуває значень, які нескінченно близько наближаються до одиниці та практично з нею збігаються.
Як вирішити вищезгаданий приклад? Виходячи з вищесказаного, потрібно просто підставити одиницю у функцію, що стоїть під знаком межі:
Отже, перше правило: Коли дана будь-яка межа, спочатку просто намагаємося підставити число у функцію.
Ми розглянули найпростішу межу, але й такі зустрічаються на практиці, причому, не так вже й рідко!
Приклад із нескінченністю:
Розбираємось, що таке? Це той випадок, коли необмежено зростає, тобто: спочатку, потім, потім, потім і так далі до безкінечності.
А що в цей час відбувається з функцією?
, , , …
Отже: якщо , то функція прагне мінус нескінченності:
Грубо кажучи, згідно з нашим першим правилом, ми замість «ікса» підставляємо в функцію нескінченність і отримуємо відповідь.
Ще один приклад із нескінченністю:
Знову починаємо збільшувати до нескінченності і дивимося на поведінку функції:
Висновок: при функція необмежено зростає:
І ще серія прикладів:
Будь ласка, спробуйте самостійно проаналізувати нижченаведене і запам'ятайте найпростіші види меж:
, , , , , , , , ,
Якщо де-небудь є сумніви, можете взяти в руки калькулятор і трохи потренуватися.
У разі, якщо , спробуйте побудувати послідовність , , . Якщо , то , , .
! Примітка: Строго кажучи, такий підхід з побудовою послідовностей з кількох чисел некоректний, але для розуміння найпростіших прикладів цілком підійде.
Також зверніть увагу на таку річ. Навіть якщо дана межа з великим числом вгорі, та хоч з мільйоном: , то все одно , оскільки рано чи пізно «ікс» почне приймати такі гігантські значення, що мільйон у порівнянні з ними буде справжнісіньким мікробом.
Що потрібно запам'ятати та зрозуміти з вищесказаного?
1) Коли дано будь-яку межу, спочатку просто намагаємося підставити число у функцію.
2) Ви повинні розуміти і відразу вирішувати найпростіші межі, такі як , , і т.п.
Більше того, межа має дуже хороший геометричний зміст. Для кращого розуміння теми рекомендую ознайомитись із методичним матеріалом Графіки та властивості елементарних функцій. Після прочитання цієї статті ви не тільки остаточно зрозумієте, що таке межа, а й познайомитеся з цікавими випадками, коли межі функції взагалі не існує!
На практиці, на жаль, подарунків небагато. А тому переходимо до розгляду складніших меж. До речі, на цю тему є інтенсивний курс у pdf-форматі, а також його відеоверсія, які особливо корисні, якщо у вас дуже мало часу на підготовку. Але матеріали сайту, зрозуміло, не гірші:
Межі з невизначеністю виду та метод їх вирішення
Зараз ми розглянемо групу меж, коли , а функція є дріб, в чисельнику і знаменнику якого знаходяться багаточлени
Згідно з нашим правилом, спробуємо підставити нескінченність у функцію. Що в нас виходить вгорі? Нескінченність. А що виходить унизу? Теж нескінченність. Таким чином, у нас є так звана невизначеність виду. Можна було б подумати, що , і відповідь готова, але в загальному випадку це зовсім не так, і потрібно застосувати певний прийом рішення, який ми зараз і розглянемо.
Як вирішувати межі цього типу?
Спочатку ми дивимося на чисельник і знаходимо у старшому ступені:
Старший ступінь у чисельнику дорівнює двом.
Тепер дивимося на знаменник і теж знаходимо у старшому ступені:
Старший ступінь знаменника дорівнює двом.
Потім ми вибираємо найстарший ступінь чисельника і знаменника: у цьому прикладі вони збігаються і дорівнюють двійці.
Отже, метод вирішення наступний: для того, щоб розкрити невизначеність потрібно розділити чисельник і знаменник на старшому ступені.
Розділимо чисельник та знаменник на
Ось воно як відповідь, а зовсім не нескінченність.
Що важливо в оформленні рішення?
По-перше, вказуємо невизначеність, якщо вона є.
По-друге, бажано перервати рішення для проміжних пояснень. Я зазвичай використовую знак , він не несе ніякого математичного сенсу, а означає, що рішення перервано для проміжного пояснення.
По-третє, межі бажано помічати, що й куди прагне. Коли робота оформляється від руки, зручніше це зробити так:
Для позначок краще використовувати простий олівець.
Звичайно, можна нічого цього не робити, але тоді, мабуть, викладач відзначить недоліки у вирішенні або почне ставити додаткові питання по завданню. А воно Вам потрібне?
Знайти межу
Знову в чисельнику та знаменнику знаходимо у старшому ступені:
Максимальний ступінь у чисельнику: 3
Максимальний ступінь у знаменнику: 4
Вибираємо найбільше значення, у разі четвірку.
Відповідно до нашого алгоритму, для розкриття невизначеності ділимо чисельник та знаменник на .
Повне оформлення завдання може виглядати так:
Розділимо чисельник та знаменник на
Знайти межу
Максимальний ступінь «ікса» у чисельнику: 2
Максимальний ступінь «ікса» у знаменнику: 1 (можна записати як)
Для розкриття невизначеності необхідно розділити чисельник і знаменник на . Чистовий варіант рішення може виглядати так:
Розділимо чисельник та знаменник на
Під записом мається на увазі не розподіл на нуль (ділити на нуль не можна), а розподіл на нескінченно мале число.
Таким чином, при розкритті невизначеності виду у нас може вийти кінцеве числонуль або нескінченність.
Межі з невизначеністю виду та метод їх вирішення
Передбачаю питання від чайників: «Чому тут поділ на нуль? А на нуль ділити не можна!». Сенс запису 0:0 буде зрозумілий пізніше, після ознайомлення з четвертим уроком про нескінченно малих функціях. А поки що всім початківцям вивчати математичний аналіз пропоную читати далі.
Наступна група меж чимось схожа на щойно розглянуті межі: у чисельнику та знаменнику знаходяться багаточлени, але «ікс» прагне вже не до нескінченності, а до кінцевого числа.
Вирішити межу
Спочатку спробуємо підставити -1 в дріб:
В даному випадку отримана так звана невизначеність.
Загальне правило: якщо в чисельнику і знаменнику знаходяться багаточлени, і є невизначеність виду, то для її розкриття потрібно розкласти чисельник та знаменник на множники.
Для цього найчастіше потрібно вирішити квадратне рівняння та (або) використовувати формули скороченого множення. Якщо ці речі забулися, тоді відвідайте сторінку Математичні формули та таблиці та ознайомтеся з методичним матеріалом Гарячі формули шкільного курсу математики. До речі, його найкраще роздрукувати, потрібно дуже часто, та й інформація з паперу засвоюється краще.
Отже, вирішуємо нашу межу
Розкладемо чисельник і знаменник на множники
Для того, щоб розкласти чисельник на множники, потрібно розв'язати квадратне рівняння:
Спочатку знаходимо дискримінант:
І квадратний корінь із нього: .
Якщо дискримінант великий, наприклад 361, використовуємо калькулятор, функція вилучення квадратного кореня є на найпростішому калькуляторі.
! Якщо корінь не витягується націло (виходить дробове число з комою), цілком імовірно, що дискримінант обчислений неправильно чи завдання помилки.
Далі знаходимо коріння:
Все. Чисельник на множники розкладено.
Знаменник. Знаменник вже є найпростішим множником, і спростити його неможливо.
Очевидно, що можна скоротити на :
Тепер і підставляємо -1 у вираз, який залишився під знаком межі:
Звичайно, в контрольній роботі, на заліку, іспиті так детально рішення ніколи не розписують. У чистовому варіанті оформлення має виглядати приблизно так:
Розкладемо чисельник на множники.
Спочатку «чистовий» варіант рішення
Розкладемо чисельник і знаменник на множники.
Що важливого у цьому прикладі?
По-перше, Ви повинні добре розуміти, як розкритий чисельник, спочатку ми винесли за дужку 2, а потім використали формулу різниці квадратів. Вже цю формулу треба знати і бачити.
Рекомендація: Якщо в межі (майже будь-якого типу) можна винести число за дужку, то завжди це робимо.
Більше того, числа-множники доцільно виносити за значок межі. Навіщо? Та просто щоб вони не заважали під ногами. Головне, потім ці числа не втратити під час рішення.
Зауважте, що на заключному етапі рішення я виніс за значок межі двійку, а потім – мінус.
! Важливо
У результаті рішення фрагмент типу зустрічається дуже часто. Скорочувати такий дріб
не можна. Спочатку потрібно поміняти знак у чисельника чи знаменника (винести -1 за дужки), наприклад, вгорі:
тобто тут з'являється знак «мінус», і втрачати його зовсім не потрібно.
Взагалі, я помітив, що найчастіше при знаходженні меж даного типу доводиться вирішувати два квадратні рівняння, оскільки і в чисельнику і знаменнику знаходяться квадратні тричлени.
Метод множення чисельника та знаменника на сполучене вираз
Продовжуємо розглядати невизначеність виду
Наступний тип меж схожий на попередній тип. Єдине, крім багаточленів, у нас додадуться коріння.
Спочатку пробуємо підставити 3 у вираз під знаком межі
Ще раз повторюю – це перше, що потрібно виконувати для будь-якої межі. Ця дія зазвичай проводиться подумки або на чернетці.
Отримано невизначеність виду, яку потрібно усувати.
Як Ви, напевно, помітили, у нас у чисельнику є різниця коренів. А коріння в математиці прийнято, по можливості, позбавлятися. Навіщо? А без них життя простіше.
Коли в чисельнику (знаменнику) знаходиться різниця коренів (або корінь мінус якесь число), то для розкриття невизначеності використовують метод множення чисельника та знаменника на сполучене вираз.
Згадуємо нашу нетлінну формулу різниці квадратів:
І дивимося на нашу межу:
Що можна сказати? у нас у чисельнику вже є. Тепер для застосування формули залишилося організувати (яке називається пов'язаним виразом).
Помножуємо чисельник на сполучене вираз:
Зверніть увагу, що під корінням при цій операції ми нічого не чіпаємо.
Добре, ми організували, але вираз під знаком межі змінилося! А для того, щоб воно не змінювалося, потрібно його розділити на те саме, тобто на:
Тобто ми помножили чисельник і знаменник на сполучене вираз.
Певною мірою це штучний прийом.
Помножили. Тепер саме час застосувати вгорі формулу:
Невизначеність не зникла (спробуйте підставити трійку), та й коріння теж не зникло. Але з сумою коренів все значно простіше, її можна перетворити на число, відмінне від нуля.. Як це зробити? Та просто підставити трійку під коріння:
Множник-число, як зазначалося раніше, краще винести за значок межі.
Тепер залишилося розкласти чисельник і знаменник на множники і скоротити «винуватців» невизначеності, ну а межа константи – дорівнює самій константі:
Як має виглядати рішення цього прикладу в чистовому варіанті?
Приблизно так:
Помножимо чисельник і знаменник на сполучене вираз.
Спочатку спробуйте вирішити його самостійно.
Остаточне рішення прикладу може виглядати так:
Розкладемо чисельник на множники:
Помножимо чисельник і знаменник на сполучене вираз
Дякую за увагу.
Крім розглянутих типів меж на практиці часто зустрічаються так звані чудові межі. Після освоєння двох базових уроків рекомендую вивчити статтю. Методи розв'язання меж, матеріали якої дозволять вийти на «тверду четвірку»!
Автор: Ємелін Олександр
(Перехід на головну сторінку)
знижка 15% на перший замовлення, при оформленні введіть промокод: 5530-hihi5
© Copyright Олександр Ємелін, mathprofi.ru, 2010-2025, зроблено в Блокноті
Межа функції: приклади рішень
Розглянемо поняття та визначення межі, розберемо основні рішення меж.
Розбір запису межі математичною мовою
Будь-яка межа складається з трьох частин:
- Знак "lim", що, власне, і визначає існування межі.
- Записи під знаком «lim», яка може набувати вигляду \(x\rightarrow a,\) \(x\rightarrow0\) і \(x\rightarrow\infty\) . Такий запис читається «ікс прагне до а (може приймати будь-яке число)/нулю/нескінченності» На практиці, змінна «х» може бути записана і іншою літерою.
- Функції f(x) під знаком межі.
Для найкращого розуміння розглянемо конкретний приклад \(\lim_\frac\) .
Цей запис читається так: «межа функції \(\lim_\frac\) при ікс, що прагне до одиниці». прагне до одиниці»?
Поняття межі, на відміну більшості відомих математичних понять, динамічний, тобто немає якогось статичного, що не змінюється чи тотожності як його визначення.
Розберемо наступне важливе питання – а що означає вираз «ікс прагне до одиниці»? І що взагалі таке «прагне»? динамічний. Побудуємо послідовність:
x=1,1, x=1,01, x=1,001, .
Всі дані значення x і різниця між ними настільки малі і близькі до однієї точки (у даному випадку до одиниці), що можна сказати, що "ікс" послідовно набуває значення, які нескінченно близько наближаються до одиниці та практично з нею збігаються. Це і означає «ікс прагне до одиниці».
Межа послідовності: визначення та властивості
Межа послідовності, як і межа функції, одна із основних понять математичного аналізу. По суті, кожне речове число може бути представлене у вигляді послідовності максимально наближених до нього чисел.
Речові (дійсні) числа позначаються як ε (епсілон) і належать безлічі R, Що включає в себе всі натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні числа.
Тепер звернемося до визначення межі послідовності і розберемо, що воно означає.
Постійне число називається межею послідовності n>, якщо будь-якого скільки завгодно малого позитивного числа ε > 0 існує номер N, що це значення xn, які мають n>N, задовольняють нерівності |xn - a| <ε.
Тобто, ґрунтуючись на знанні визначення послідовності (пронумерований і строгий набір будь-яких об'єктів, в математиці - числа, які можна записати у вигляді \(x_\;x_\;x_\;x_4\;. \;x_n\) ), ми стверджуємо, що існує якась околиця, всі точки якої мають таке значення, що при відніманні межі a з xn , модуль результату буде меншим за заданий ε.
Для кращого сприйняття поняття «околиця» Розглянемо наступне зображення:
Околицею в даному випадку є інтервали зліва і праворуч x0, причому околиця може бути проколотою (третій випадок), тобто сама точка x0 не входить до заданого інтервалу.
Математичною мовою дане визначення записується наступним чином:
Цей вираз рівносильний подвійній нерівності a - ε < xn < a + ε, що означає, що точки x n, Починаючи з деякого номера n>N, лежать усередині інтервалу (a-ε , a+ε), тобто. потрапляють у будь-яку малу ε-околиця точки а.
Властивості
1. Постійний множник c можна виносити за знак межі. Математичною мовою дане твердження виглядає так:
\(\lim_
де (a_n \) - нескінченно мала величина. Очевидно, що:
\(c\times x_n=c(A+a_n)=cA+ca_n\) . Бо \(ca_n\) є нескінченно малою величиною, то \(сA\) - Межа послідовності \(\left\) . Властивість доведено. 2. Якщо є кінцеві межі послідовностей \(x_n\) і \(y_n\) , то Доведемо тепер і цю властивість. Нехай \(\underset<><\lim(>x_n)=A\) і \(\underset<><\lim(>y_n)=B\) . У такому разі \(x_n\) і \(y_n\) ми можемо уявити у вигляді: де \(\alpha_n\) і \(\beta_n\) - Деякі нескінченно малі величини. Тоді \(x_n\pm y_n=(A\pm B)+(\alpha_n\pm\beta_n)\)
Враховуючи, що \((\alpha_n\pm\beta_n)\) - нескінченно мала величина, отримуємо:
\(\lim_<>(x_n\pm y_n)=(A\pm B)=\lim_<>(x_n)\pm\lim_<>(y_n) \) Аналогічно:
\(x_n\times y_n=(A\pm\alpha_n)(B\pm\beta_n)=AB+(B\alpha_n+A\beta_n+\alpha_n\beta_n)\)
Залишилося розпізнати у виразі \((B\alpha_n+A\beta_n+\alpha_n\beta_n)\) нескінченно малу величину, що тягне за собою:
\(\lim_<>(x_n\times y_n)=AB=\lim_<>x_n\times\lim_<>y_n\)
Далі покажемо, що відношення \(\frac\) можна подати у вигляді: Що й потрібно було довести. 3. Якщо існують кінцеві межі послідовностей \(\left\ і \left\) , то \(\underset<><\lim\;>y_n^p=<(\underset<><\lim\;>y_n) >^p\) . Певного доказу цієї властивості немає, проте інтуїтивно ми можемо провести такі висновки. Нехай \(\underset<><\lim\;>y_n=A,\) тоді:
\(y_n=A+\alpha_n\)
де \(\alpha_n\) - деяка нескінченно мала величина. Що й потрібно було довести. Звернемося одразу до визначення. Постійне число А називається межею функції f(x) при x→aякщо, задавши деяке довільне, як завгодно мале позитивне число ε, можна знайти таке δ >0 (що залежить від ε), що для всіх x, що лежать в ε-околиці числа а, тобто. для x, Що задовольняють нерівності 0 < x-a < ε значення функції f (x) будуть лежати в ε-околиці числа А, тобто. |f(x)-A| <ε. Дане визначення називають «визначенням щодо Коші». У попередніх пунктах було розглянуто «визначення за Гейном», Яке, по суті, теж є визначенням межі функцій, але мовою послідовностей. Навіщо ж потрібні два різні за формулюванням, але ідентичні за змістом визначення? Це необхідно для того, щоб у майбутньому, при вирішенні завдань або доказі будь-яких тверджень, спиратися на зручніше для обґрунтування формулювання, адже компоненти в них все-таки відрізняються один від одного. Функція y=f(x) називається безперервний у точці х = а, якщо існує межа функції у цій точці. Записати це визначення математичною мовою можна так: Для того, щоб функція була безперервною, обов'язково повинні виконуватись 3 умови: Існують й інші визначення, які, як і у випадку з визначенням меж по Коші та по Гейні, розрізняються за формулюванням для найбільш зручного використання. Функція y = f(x) безперервна у точці х=аякщо для будь-якого числа ε>0 існує таке число δ>0, що для всіх х, які задовольняють умові \(\vert x–a\vert , виконується нерівність \(\vert f(x)-f(a)\vert ).
Якщо функція y=f(x) безперервна в кожній точці деякого проміжку, її називають безперервної на даному проміжку. Також можна дати визначення безперервності справа або зліва від точки. Функція f(x) називається безперервною праворуч/ліворуч у точці x0, якщо вона визначена на деякій правосторонній/лівосторонній околиці \(U(x_0+0)/U(x_0-0)\) цієї точки, і якщо праву/ліву межу в точці x0 дорівнює значенню функції x0. Тобто, \(f(x_0+0)\equiv\lim_f(x)=f(x_0)\) або \(f(x_0-0)\equiv\lim_f(x)=f(x_0)\) . Розглянемо приклади обчислення меж. Для початку звернемося до найпростішої межі, яка була розглянута на самому початку: \(\lim_\frac\) У разі можна спробувати просто підставити одиницю (оскільки межа прагне одиниці) у вираз. Тоді: Так, це працює тільки з найпростішими межами, які, насправді, на практиці зустрічаються не рідко, тож спробувати просто підставити вираз — одне з можливих рішень. Тепер спробуємо зробити те саме з межею, яка прагне нескінченності. Ікс прагне нескінченності \((x\rightarrow\infty)\) означає, що ікс необмежено зростає (наприклад, x = 10, x = 100, x = 1000, x = 10000 і так далі). Розглянемо межу \(\lim_ Навіть якщо чисельник функції в межі, що прагне нескінченності, здається дуже великим — мільйон, мільярд тощо, вся межа все одно дорівнюватиме нулю, оскільки знаменник, що залежить від нескінченності, в якийсь момент почне приймати значення, набагато більші, ніж чисельник. Тобто: Отже, коли ми бачимо найпростішу межу, спочатку потрібно спробувати підставити на функцію «х».
Вирази для самостійного вирішення: Невизначеність виду \(\frac\infty\infty\) з'являється, коли ми намагаємося підставити «х» у межу, що прагне до нескінченності і має дробову функцію: Здається, що \(\frac\infty\infty=\infty\) , проте це негаразд. Щоб отримати правильну відповідь, потрібно провести деякі обчислення. Їх і розглянемо далі. Для початку знаходимо і в чисельнику, і в знаменнику старший ступінь ікса, а потім вибираємо найбільшу з них. У разі старші ступеня чисельника і знаменника рівні, проте це окремий випадок. Тепер ми повинні і чисельник, і знаменник розділити на х у старшому ступені: Потім аналізуємо дроби з іксом, подумки підставляючи замість х нескінченність. Виходить, що всі ці дроби прагнуть нуля, відповідно, їх можна прийняти за нуль. Значить: Однак, відповіддю при вирішенні межі, що прагне нескінченності, може бути будь-яке число — у тому числі нуль, — так і сама нескінченність. Розглянемо ще два приклади, щоб у цьому переконатися. Поділивши чисельник і знаменник на \(x^4\) і підставивши нескінченність в дроби (для закріплення матеріалу краще вирахувати це самостійно), отримуємо: 2. Проведемо аналогічні обчислення над \(\lim_ Відразу виникає логічне питання: чому ми ділимо на нуль, якщо кожен школяр знає, що на нуль ділити не можна? Якщо звернутися до визначення межі, все стане на свої місця: справа в тому, що ми працюємо не з самим нулем, а з нескінченно малими числами та функціямиОднак для зручності записуємо «0». Розв'язання меж даного виду схоже на раніше розглянуте рішення меж з невизначеністю виду \(\frac\infty\infty\) . Відмінність лише тому, що ікс тепер прагне конкретного кінцевого числа.
Розглянемо конкретні приклади та навчимося вирішувати подібні межі. Як ми вже знаємо, спочатку потрібно спробувати підставити -1 у вираз: Звідси ми й одержуємо невизначеність виду \(\frac00\) . Тепер запам'ятаємо правило: Якщо в чисельнику та знаменнику функції межі знаходяться багаточлени, і є невизначеності виду \(\frac00\) , то для її розкриття потрібно розкласти чисельник та знаменник на множники. У більшості випадків для цього необхідно вирішити квадратне рівняння та/або використовувати ФСУ (формули скороченого множення). У знаменнику ми маємо x+1, це вже найпростіша функція, тому знаменник ми не чіпаємо. Застосовуючи стандартні операції для вирішення квадратного рівняння, розкладаємо чисельник та отримуємо (x+1)(5x-7). Два важливі моменти, на які варто звернути увагу при обчисленні дискримінанта: Очевидно, що (х+1) у чисельнику та знаменнику можна скоротити. Дуже важливо при розкладанні на множники помічати формули скороченого множення! Вони можуть бути видно не відразу, а після проведення одного або декількох кроків, наприклад, винесення числа за дужку. Щоб полегшити процес рішення, завжди одразу виносьте число за дужку, якщо ця умова це дозволяє. Крім того, часто доцільно виносити такі числа і за межі знаки, оскільки вони не будуть заважатися під час обчислень. Однак потрібно бути вкрай уважним, щоб не втратити в якийсь момент число чи знак. 2) Тепер розглянемо межу все з тією ж невизначеністю виду (frac00), але в функції якого з'являються корінні вирази. І знову, не вигадуючи нічого нового, спочатку підставляємо 3 у вираз, щоб, власне, і отримати ту саму невизначеність (frac00). Тепер, для того, щоб спростити вираз, потрібно позбавитися коріння. Взагалі, в математиці намагаються позбавлятися ірраціональності у будь-якому випадку, коли це можливо, — так набагато простіше жити. А позбудемося ірраціональності ми за допомогою методу множення чисельника та знаменника на сполучене вираз. Цей метод працює не тільки при різниці коренів, але і при відніманні будь-якого числа з кореня. Що це за метод? А заснований він на всій відомій формулі різниці квадратів: У чисельнику вже є один із множників \(\sqrt-\sqrt\), відповідно, сполучений множник, на який ми множимо і чисельник, і знаменник, це \(\sqrt+\sqrt\) . Тепер, враховуючи формулу в чисельнику дробу, проводимо ряд перетворень та отримуємо: Так, позбавившись ірраціональності в чисельнику, ми знайшли її в знаменнику, проте оперувати сумою коренів, яку ми отримали, набагато легше. І, взагалі, можна відразу підставити в корені трійку і винести отримане число за межі, як згадувалося про це раніше. А тепер просто розкладаємо дріб на множники та отримуємо кінцеву відповідь: Приклади для самостійного вирішення: Ми розглянули основне поняття меж функції та послідовності та розібрали класичні варіанти вирішення меж. Якщо ж швидко розібратися в цій складній темі не виходить, а здавання важливої роботи не за горами, ви завжди можете звернутися до авторів ФеніксХелп, які допоможуть із вирішенням.Межа функції
Безперервність функції
Обчислення меж
Найпростіші межі
Межі з невизначеністю виду \(\frac\infty\infty\)
Межі з невизначеністю виду \(\frac00\)
