Розрахунок сопел сучасних ракетних двигунів
Сопло ракетного двигуна-технічний пристрій, який служить для прискорення газового потоку, що проходить по ньому до швидкостей, що перевищують швидкість звуку. Основні види профілів сопел наведені на малюнку:
Через високу ефективність прискорення газового потоку знайшли практичне застосування сопла Лаваля. Сопло є каналом, звуженим у середині. У найпростішому випадку таке сопло може складатися з пари усічених конусів, пов'язаних з вузькими кінцями:
У ракетному двигуні сопло Лаваля вперше було використано генералом М. М. Поморцевим у 1915 році. У листопаді 1915 року в Аеродинамічний інститут звернувся генерал М. М. Поморцев із проектом бойової пневматичної ракети.
Ракета Поморцева рухалася стисненим повітрям, що суттєво обмежувало її дальність, зате робило її безшумною. Ракета призначалася для стрілянини з окопів за ворожими позиціями. Боєголовка оснащувалась тротилом.
У ракеті Поморцева було застосовано два цікаві конструктивні рішення: у двигуні було сопло Лаваля, а з корпусом був пов'язаний кільцевий стабілізатор. Подібні конструкції використовуються і в даний час, але вже з твердопаливним двигуном та системою автоматичного наведення:
Однак проблеми залишилися старі, але вже в сучасному виконанні: обмежена дальність до 3 км., наведення та утримання мети в умовах хорошої видимості, що для справжнього бою не реально, не захищеність від електромагнітних загороджувальних перешкод і, нарешті, але не в останню чергу, найвища вартість.
Теоретичні засади
Ефективні сопла сучасних ракетних двигунів профілюються на основі спеціальних газодинамічних розрахунків.Основне рівняння, що зв'язує градієнт площі перерізу, градієнт швидкості та число Маха, таке:
де: S – площа перерізу сопла; v – швидкість газу; M - число Маха (відношення швидкості газу в будь-якій точці потоку до швидкості звуку в цій точці).
Аналізуючи це співвідношення, отримуємо, що у соплі Лаваля можуть здійснюватися такі режими течії:
1) M а) 0 (з рівняння). Дозвуковий потік в каналі, що звужується, прискорюється.
б) >0, тоді 2) M>1 – потік на вході надзвуковий:
а) б) >0, тоді >0. Надзвуковий потік у каналі, що розширюється, прискорюється.
3) = 0 – найвужче місце сопла, мінімальний переріз.
Тоді можливо або М = 1 (потік переходить через швидкість звуку), або = 0 (екстремум швидкості).
Який із режимів реалізується на практиці, залежить від перепаду тисків між входом у сопло та навколишнім середовищем.
Якщо тиск, що досягається в критичному перерізі, перевищує зовнішній тиск, то потік на виході із сопла буде надзвуковим. В іншому випадку він залишається дозвуковим. [2]
- Умова надзвукового закінчення.
де: p * - Тиск гальмування (тиск в камері); pкр – тиск у критичному перерізі сопла; pнар - тиск у навколишньому середовищі; k – показник адіабати.
Якщо відомі параметри в камері згоряння, параметри в будь-якому перерізі сопла можна дізнатися за такими співвідношеннями:
У цих формулах - λ - наведена швидкість, відношення швидкості газу в даному перерізі сопла до швидкості звуку в критичному перерізі, R - питома постійна газова. Індексом «*» позначені параметри гальмування (у цьому випадку – параметри камери згоряння).
Постановка задачі
1.Розрахувати параметри течії потоку газів у соплі Лаваля: для цього профіль сопла Лаваля розбивається на 150 контрольних точок – . Розбиття здійснюємо таким чином, щоб мінімальний переріз розташовувався у точці . Визначаються значення газодинамічних функцій тиску, щільності та температури у кожному перерізі.
2. Розрахунки виконати засобами високорівневої вільно розповсюджуваної мови програмування Python за наступною розрахунковою схемою та вихідними даними:
Малюнок 1-Профіль сопла Лаваля
Таблиця 1-Вихідні дані
Наведені вихідні дані мають демонстраційний характер.
Розрахунок сопла Лаваля засобами Python
#!/usr/bin/env python #coding=utf8 import matplotlib.pyplot as plt import matplotlib as mpl mpl.rcParams['font.family'] = 'fantasy' mpl.rcParams['font.fantasy'] = 'Comic Sans MS, Arial' import numpy as np from math import * alfa = 21.0 # Кут звуження beta = 11.5 # Кут розширення rkr = 1.1 # Радіус критичного перерізу R0 = 2 * rkr r1 = 0.5 * rkr # Радіус округлення звужується частини сопла r 0.8*rkr# Радіус округлення частини сопла, що розширюється ye=rkr+r2 L=1.2*R0#Довжина прямої ділянки сопла Лаваля x0=0 y0=R0 xa=L ya=y0 xc1=xa yc1=ya-r1 xc=xa+r1*cos(radians(90-alfa)) yc=yc1+r1*sin(radians(90-alfa)) yd=ye-r2*sin(radians(90-alfa)) xd=xc+(yc-yd)/tan(radians(alfa)) xc2=xd+r2*sin(radians(alfa)) xe=xc2 xf=xe+r2*cos(radians(90-beta)) yf=ye -r2*sin(radians(90-beta)) def R(x): if x0
Для продовження вирішення задачі на Python потрібно зв'язати λ – наведену швидкість газу з координатою x уздовж поздовжньої осі. Для цього я скористався функцією fsolve із бібліотеки SciPy з наступною інструкцією:
Наводжу фрагмент програми для керування вирішувачем з однією стартовою точкою:
def lamda(z): m=round(Q(z),2) if z>= 0: x=fsolve(lambda x:x*((1-(1/6)*x**2)**2.5 )/((1-(1/6))**2.5)-m,1.5) return x[0] if z
Це єдино можливе на Python рішення складного рівня алгебри зі статечною функцією від показника адіабати k. Наприклад, навіть для спрощеного рівняння з використанням бібліотеки SymPy отримаємо неприпустимий час розрахунку лише однієї точки:
from sympy import * import time x = symbols('x',real=True) start = time.time() start = time.time() d=solve( 1.5774409656148784068*x *(1.0-0.166666666666666) **2.5-0.25,x) stop = time.time() print ("Час роботи вирішувача:",round(stop-start,3)) print(round(d[0],3)) print(round(d [1],3))
Час роботи вирішувача: 195.675
0.16
1.95
#!/usr/bin/env python #coding=utf8 import matplotlib.pyplot as plt import matplotlib as mpl mpl.rcParams['font.family'] = 'fantasy' mpl.rcParams['font.fantasy'] = 'Comic Sans MS, Arial' import numpy as np from math import * from scipy.optimize import * import time start = time.time() alfa=21.0#Кут звуження beta=11.5#Кут розширення rkr=1.1#Радіус критичного перерізу R0=2 *rkr r1=0.5*rkr#Радіус округлення звужується частини сопла r2=0.8*rkr#Радіус округлення частини сопла, що розширюється ye=rkr+r2 L=1.2*R0#Довжина прямої ділянки сопла Лаваля x0=0 y0=R0 xa=L ya=y0 xc1=xa yc1=ya-r1 xc=xa+r1*cos(radians(90-alfa)) yc=yc1+r1*sin(radians(90-alfa)) yd=ye-r2* sin(radians(90-alfa)) xd=xc+(yc-yd)/tan(radians(alfa)) xc2=xd+r2*sin(radians(alfa)) xe=xc2 xf=xe+r2*cos(radians (90-beta)) yf = ye-r2 * sin (radians (90-beta)) def R (x): if x0 = 0: x = fsolve (lambda x: x * ((1-(1/6)) *x**2)**2.5)/((1-(1/6))**2.5)-m,1.5) return x[0] if z
Час роботи програми: 0.222
Отримана епюра розподілу швидкостей газового потоку повністю відповідає вищевикладеної теорії.При цьому, за запропонованим алгоритмом та бібліотекою, час розрахунку в 150 точках у 1000 разів менший, ніж для однієї точки з використанням solve sympy.
#!/usr/bin/env python #coding=utf8 import matplotlib.pyplot as plt import matplotlib as mpl mpl.rcParams['font.family'] = 'fantasy' mpl.rcParams['font.fantasy'] = 'Comic Sans MS, Arial' import numpy as np from math import * from scipy.optimize import * import time start = time.time() alfa=21.0#Кут звуження beta=11.5#Кут розширення rkr=1.1#Радіус критичного перерізу R0=2 *rkr r1=0.5*rkr#Радіус округлення звужується частини сопла r2=0.8*rkr#Радіус округлення частини сопла, що розширюється ye=rkr+r2 L=1.2*R0#Довжина прямої ділянки сопла Лаваля x0=0 y0=R0 xa=L ya=y0 xc1=xa yc1=ya-r1 xc=xa+r1*cos(radians(90-alfa)) yc=yc1+r1*sin(radians(90-alfa)) yd=ye-r2* sin(radians(90-alfa)) xd=xc+(yc-yd)/tan(radians(alfa)) xc2=xd+r2*sin(radians(alfa)) xe=xc2 xf=xe+r2*cos(radians (90-beta)) yf = ye-r2 * sin (radians (90-beta)) def R (x): if x0 = 0: x = fsolve (lambda x: x * ((1-(1/6)) *x**2)**2.5)/((1-(1/6))**2.5)-m,1.5) return x[0] if z
Час роботи програми: 0.203
Висновок
Температура на виході із сопла зменшується за наведеним у лістингу рівнянням газодинаміки. Час виконання програми прийнятний -0.203.
#!/usr/bin/env python #coding=utf8 import matplotlib.pyplot as plt import matplotlib as mpl mpl.rcParams['font.family'] = 'fantasy' mpl.rcParams['font.fantasy'] = 'Comic Sans MS, Arial' import numpy as np from math import * from scipy.optimize import * import time start = time.time() alfa=21.0#Кут звуження beta=11.5#Кут розширення rkr=1.1#Радіус критичного перерізу R0=2 *rkr r1=0.5*rkr#Радіус округлення звужується частини сопла r2=0.8*rkr#Радіус округлення частини сопла, що розширюється ye=rkr+r2 L=1.2*R0#Довжина прямої ділянки сопла Лаваля x0=0 y0=R0 xa=L ya=y0 xc1=xa yc1=ya-r1 xc=xa+r1*cos(radians(90-alfa)) yc=yc1+r1*sin(radians(90-alfa)) yd=ye-r2* sin(radians(90-alfa)) xd=xc+(yc-yd)/tan(radians(alfa)) xc2=xd+r2*sin(radians(alfa)) xe=xc2 xf=xe+r2*cos(radians (90-beta)) yf = ye-r2 * sin (radians (90-beta)) def R (x): if x0 = 0: x = fsolve (lambda x: x * ((1-(1/6)) *x**2)**2.5)/((1-(1/6))**2.5)-m,1.5) return x[0] if z
Час роботи програми: 0.203
Висновок
Тиск на виході із сопла зменшується за наведеним у лістингу рівнянням газодинаміки. Час виконання програми прийнятний -0.203.
Виникнення сили тяги від дії тиску газу схематично показано на малюнку:
Лістинг для обчислення газодинамічної функції відносної густини газу#!/usr/bin/env python #coding=utf8 import matplotlib.pyplot as plt import matplotlib as mpl mpl.rcParams['font.family'] = 'fantasy' mpl.rcParams['font.fantasy'] = 'Comic Sans MS, Arial' import numpy as np from math import * from scipy.optimize import * import time start = time.time() alfa=21.0#Кут звуження beta=11.5#Кут розширення rkr=1.1#Радіус критичного перерізу R0=2 *rkr r1=0.5*rkr#Радіус округлення звужується частини сопла r2=0.8*rkr#Радіус округлення частини сопла, що розширюється ye=rkr+r2 L=1.2*R0#Довжина прямої ділянки сопла Лаваля x0=0 y0=R0 xa=L ya=y0 xc1=xa yc1=ya-r1 xc=xa+r1*cos(radians(90-alfa)) yc=yc1+r1*sin(radians(90-alfa)) yd=ye-r2* sin(radians(90-alfa)) xd=xc+(yc-yd)/tan(radians(alfa)) xc2=xd+r2*sin(radians(alfa)) xe=xc2 xf=xe+r2*cos(radians (90-beta)) yf = ye-r2 * sin (radians (90-beta)) def R (x): if x0 = 0: x = fsolve (lambda x: x * ((1-(1/6)) *x**2)**2.5)/((1-(1/6))**2.5)-m,1.5) return x[0] if z
Час роботи програми: 0.203
Висновок
Щільність газу на виході із сопла зменшується за наведеним у лістингу рівнянням газодинаміки. Час виконання програми є прийнятним.
Висновки
- Розроблено метод вирішення засобами Python речових коренів нелінійних статечних рівнянь з дробовими показниками ступеня, що використовуються для опису газодинамічних процесів. Метод заснований на застосуванні вирішувача fsolve з модуля scipy. optimize.
- За допомогою розробленого методу вирішено демонстраційне завдання розрахунку сопла сучасних ракетних двигунів з визначенням наступних газодинамічних функцій: швидкості; температури; тиску; густини реактивних газів.
Посилання
1. А. А. Дорофєєв Основи теорії теплових ракетних двигунів (Загальна теорія ракетних двигунів) МДТУ ім. Н. Е. Баумана Москва 1999
2.Ландау Л. Д., Ліфшиц Є. М. Глава X. Одновимірний рух газу, що стискається. § 97. Закінчення газу через сопло // Теоретична фізика. - Т. 6. Гідродинаміка.
Сопло ракетного двигуна
A сопло ракетного двигуна - це метальне сопло (зазвичай типу де Лаваля), що використовується в ракетному двигуні для розширення та прискорення горючих газів, що утворюються при спалюванні палива, так що вихлопні гази виходять із сопла з гіперзвуковою швидкістю.
Простіше кажучи: ракета (насоси та камера згоряння) створює високий тиск, кілька сотень атмосфер. Сопло перетворює статичний високотемпературний газ під високим тиском в газ, що швидко рухається, з тиском, близьким до навколишнього.
Сопло де Лаваля спочатку було розроблено в 19 столітті компанією Густав де Лаваль для використання в парових турбінах. Вперше він був використаний в одному з перших ракетних двигунів, розроблених Робертом Годдардом, одним із батьків сучасної ракетної техніки. З того часу він використовувався майже у всіх ракетних двигунах, включаючи реалізацію Вальтера Тіля, яка уможливила німецьку ракету V-2.
Оптимальний розмір сопла ракетного двигуна для використання в атмосфері досягається, коли вихідний тиск дорівнює навколишньому (атмосферному) тиску, що зменшується зі збільшенням висоти. Для ракет, що летять із Землі на орбіту, проста конструкція сопла оптимальна лише на одній висоті, втрачаючи ефективність та витрачаючи паливо на інших висотах.
Відразу після горловини тиск газу вищий, ніж тиск навколишнього середовища, і його необхідно знизити за рахунок розширення між горловиною та виходом із сопла.Якщо тиск струменя, що залишає вихідний отвір сопла, все ще вищий за тиск навколишнього середовища, сопло вважається недорозширеним; якщо тиск у струмені нижче оточуючого, вона надмірно розширюється.
Незначне надмірне розширення викликає невелике зниження ефективності, але в іншому не завдає великої шкоди. Однак, якщо тиск на виході менше приблизно 40% від тиску навколишнього середовища, відбувається «поділ потоку». Це може спричинити нестабільність струменя, який може спричинити пошкодження форсунки або просто спричинити труднощі з керуванням автомобілем чи двигуном.
У деяких випадках з міркувань надійності та безпеки бажано запалити на землі ракетний двигун, який використовуватиметься на всьому шляху виведення на орбіту. Для оптимальної роботи при зльоті тиск газів на виході із сопла має бути на рівні моря, коли ракета знаходиться біля рівня моря (при зльоті). Проте сопло, призначене до роботи лише на рівні моря, швидко втрачає ефективність великих висотах. У багатоступінчастій конструкції ракетний двигун другого ступеня в першу чергу призначений для використання на великих висотах, забезпечуючи додаткову тягу тільки після того, як двигун першого ступеня виконає початковий відрив. У цьому випадку конструктори зазвичай вибирають конструкцію із надмірно розширеним соплом (на рівні моря) для другого ступеня, що робить її більш ефективною на великих висотах, де тиск навколишнього середовища нижчий.Цей метод використовувався на надрозширених (на рівні моря) головних двигунах (SSME) космічного човника Space Shuttle, які більшу частину своєї траєкторії траєкторії працювали в майже вакуумі, тоді як дві ефективні на рівні моря твердопаливні ракетні прискорювачі забезпечували більшу частину початкової стартової тяги.
Для форсунок, що використовуються у вакуумі або на дуже великій висоті, неможливо порівняти тиск навколишнього середовища; швидше, сопла з більшою часткою площ зазвичай ефективніші. Однак дуже довге сопло має значну масу, що саме є недоліком. Зазвичай, необхідно підібрати довжину, яка оптимізує загальні характеристики автомобіля. Крім того, коли температура газу в соплі знижується, деякі компоненти вихлопних газів (наприклад, водяна пара від процесу згоряння) можуть конденсуватися або навіть замерзати. Це вкрай небажано, і слід уникати.
Магнітні сопла були запропоновані для деяких типів рушіїв (наприклад, Магнітоплазмова ракета зі змінним питомим імпульсом, VASIMR), в яких потік плазми або іонів направлений магнітним полем замість стін з твердих матеріалів. Це може бути вигідно, оскільки магнітне поле саме по собі не може плавитись, а температура плазми може досягати мільйонів кельвінів. Однак часто виникають проблеми теплового проектування, пов'язані із самими котушками, особливо якщо надпровідні котушки використовуються для формування горловини та полів розширення.
Схема сопла де Лаваля, що показує, що швидкість потоку (v) збільшується у напрямку потоку, зі зменшенням температури (t) та тиску (p). Число Маха (M) збільшується від дозвукового до звукового у горловині та до надзвукового.
Аналіз потоку газу через сопла де Лаваля включає низку концепцій та спрощують припущень:
- Передбачається, що горючий газ є ідеальним газом.
- Потік газу ізотропічний; тобто, при постійній ентропії, в результаті припущення про нев'язку рідину та адіабатичний процес.
- Витрата газу постійна (тобто стійка) протягом періоду горіння палива.
- Потік газу нетурбулентний та осесиметричний від входу для газу до виходу для вихлопних газів (тобто вздовж осі симетрії сопла).
- Потік стискається, оскільки текуча середовище є газом.
Коли газоподібні продукти згоряння входять у сопло ракети, він рухається із дозвуковими швидкостями. Коли горловина звужується, газ змушений прискорюватися доти, доки у горловині сопла, де площа поперечного перерізу найменша, лінійна швидкість стає звуковою. Потім від горловини площа поперечного перерізу збільшується, газ розширюється, і лінійна швидкість стає дедалі більше надзвуковою.
. Лінійну швидкість вихлопних газів, що виходять, можна розрахувати за допомогою наступного рівняння
ve = TRM 2 γ γ - 1 [1 - (pep) γ - 1 γ] > = > \, > \ left [1- \ left (>>
> \ right) ^ <\ frac > \ right]>>>
| T , | абсолютна температура газу на вході (K) |
|---|---|
| R | ≈ 8314,5 Дж / кмоль · K, постійна універсального закону газу |
| M , | молекулярна маса або маса газу (кг/кмоль) |
| γ | = cp / cv > / c _ >>, коефіцієнт ізоентропічного розширення |
| cp >> , | питома теплоємність при постійному тиску газу |
| cv <\ displaystyle c _ >> , | питома теплоємність, u nder постійний об'єм газу |
| ve >> , | швидкість газу на виході із сопла (м/с) |
| pe >> , | абсолютний тиск газу на виході із сопла (Pa ) |
| p , | абсолютний тиск газу на вході (Па) |
