Метод допоміжних площин
приклад 1. Побудувати лінію перетину поверхонь конуса та сфери (рис. 117).
Допоміжні січучі площини вибираємо паралельно підставі конуса. Обидві поверхні перетинаються ними по колам, паралельним л2. Визначаємо характерні точки. Нарис сфери і нарисова конуса першого поля, що утворює, лежать в одній площині X, що є площиною симетрії поверхонь. Отже, точки А, В їх перетинання будуть не лише точками видимості, а й найвищою та нижчою. Точки видимості З2 і З2 визначено за допомогою площини р, проведеної через центр сфери. Вона перетинає сферу за нарисом q, конус - по колу п. У першому полі щ = qx = Рь у другому п2 П q2 = З2, З2
Проміжні точки визначені за допомогою площин а, у, 5 т. У першому полі проекції перерізів збігаються зі слідом площини. У другому полі це - два кола, які, перетинаючи, дають точки, що належать шуканій лінії.
Визначаємо видимість збудованих точок. Оскільки площина симетрії I паралельна ль то в першому полі невидима та видима гілки проекції лінії перетину збігаються. У другому полі видимість лінії залежить тільки від сфери, оскільки відсутність сфери поверхня конуса при погляді зверху повністю видима. Отже, ділянка, розташована на верхній половині сфери від А2 до З2 і З2', бачимо. Крапки С2 і З2', що відокремлюють видиму частину лінії від невидимої, називаються точками видимості.
Поєднавши послідовно побудовані точки, отримаємо криву четвертого порядку, якою перетинаються конус і сфера. Нариси поверхонь у першому полі обводимо лише до точок перетину А,В.Ло другому - нарис q2 обводимо до З2 і З2. Основа конуса у перетині не бере участі, але перекривається сферою. Тому його ділянки, закриті сферою, показуємо штриховою лінією.
Розв'язання задачі на побудову лінії перетину поверхонь значно спрощується, якщо одна з них займає проецірующее положення. Тоді одна проекція лінії, що шукається, збігається з основою проецірующей поверхні. Це буде та його частина, яка розташована в межах зображення іншої поверхні. Завдання зводиться до побудови сукупності відсутніх проекцій точок, що лежать на другій поверхні.
приклад 2. Побудувати лінію перетину призми з циліндром (рис. 118).
Заданий багатогранник та криволінійна поверхня. Лінія їхнього перетину складатиметься з дуг кривих другого порядку. Оскільки призма проецірующая, то горизонтальна проекція лінії перетину, що шукається, вже є. Вона потрапляє на частину основи призми, що розташована в межах зображення циліндра.
Збудуємо фронтальну проекцію цієї лінії. Як січучі вибираємо горизонтально проецірующие площини, паралельні утворюючим циліндра. Починаємо з грані АС. У площині до2 відзначаємо характерні точки С2, F2, М2 та знаходимо відповідні їм фронтальні проекції Сі Fu М. Оскільки нарисова утворююча циліндра ах та ребро призми ci розташовані в одній площині а, то вони перетинаються: а П з = Сі F лежить на підставі, а М - на осі циліндра. За допомогою площини 5 знаходимо дві проміжні точки. Поєднавши послідовно всі точки цієї грані, отримуємо дугу еліпса. Так як вона знаходиться у видимій грані АС і видимої частини циліндра, то дуга цілком видима.
Переходимо в грань НД. Характерні точки - С2, У2, К2. Крапка До лежить на підставі циліндра. Проекції У і У визначено за допомогою площини р, проведеної через ребро b призми і перетинає циліндр за твірною I: В = 1 П Ь, В = 1 П Ь. Проміжні точки знаходимо за допомогою площини. Лінія перетину складається із двох дуг еліпса. Грань НД невидима. Тому збудовані в ній дуги еліпса невидимі.
У межі АВ характерними є точки У2, D2, Е2. Проекції У і У були побудовані раніше, D і D лежать на нарисових циліндра, Е - на його осі. Проміжні точки знайдені за допомогою допоміжних площин 5 та у. на щ крапки D і D є точками видимості та відокремлюють видиму частину дуги еліпса від невидимої. Частина еліпса, розташована на п2 нижче осі циліндра, у першому полі видно.
Побудувавши дуги еліпсів у кожній грані, отримуємо просторову замкнуту ламану лінію. Розв'язання задачі завершуємо обведенням ребер призми та утворюючих циліндра до перетину з іншою поверхнею з урахуванням видимості їх ділянок.
До зазначеної групи відносяться і завдання на побудову геометричного тіла з наскрізним отвором або вирізом та тіла з подвійним проникненням. Раніше тіла з вирізом трактувалися як перетин тіла кількома площинами, що проеціюють. Тепер розглянемо як перетин поверхонь двох геометричних тіл.
приклад 3. Побудувати три проекції піраміди із призматичним вирізом (рис. 119).
Це завдання вирішуємо як перетин двох багатогранників, один з яких (має форму призматичного отвору) проецірующий. Контур вирізу на щ заданий. На нього потрапляє лінія перетину піраміди з проекцією призмою, основа якої має форму контуру вирізу. Добудовуємо його другу проекцію. При перетині багатогранників визначаємо становище лише характерних точок. е. точок, що лежать на ребрах.У піраміди це точки 1,2,3, 6, 7, 8. Вони визначаються відразу при перетині контуру вирізу з ребрами і додаткових побудов не вимагають. У призми – крапки 4 і 5. Для їх побудови використовуємо допоміжні горизонтальні площині аїр, сліди яких ai та Pi проводимо через 4 і 5. Піраміду вони перетинають по чотирикутниках, подібних до основи.
На рис. 119 перерізу проведено не повністю, а лише праворуч, де знаходяться точки, що шукаються. По лінії зв'язку відзначаємо на них 42, 42 і 52, 5
Послідовно з'єднавши збудовані точки, отримуємо просторову замкнуту ламану лінію, що складається з відрізків прямих
приклад 4. Побудувати три проекції тіла з подвійним проникненням (рис. 120).
Геометричне тіло, що має вертикальне та горизонтальне наскрізні отвори, називається тілом із подвійним проникненням.
Його можна розглядати як порожнє геометричне тіло з наскрізним горизонтальним отвором. У такому разі воно має дві поверхні: зовнішню у формі геометричного тіла та внутрішню у формі вертикального наскрізного отвору. Горизонтальний наскрізний отвір перетинається із зовнішньою та внутрішньою поверхнею. Завдання зводиться до побудови ліній їхнього перетину. Щоб уникнути плутанини рекомендується будувати спочатку лінію перетину горизонтального отвору із зовнішньою поверхнею, потім - з внутрішньої, використовуючи позначення характерних точок, що відрізняються один від одного. Щоб перетин отворів було мабуть, необхідно зробити фронтальний та профільний розрізи.
У розглянутій задачі геометричне тіло є усіченою шестигранною пірамідою з циліндричним вертикальним отвором. Горизонтальний отвір має форму тригранної призми. Побудуємо спочатку лінію перетину призми із зовнішньою поверхнею (пірамідою).Так як перетинаються два багатогранники, то лінією їх перетину буде замкнута просторова ламана, що складається з відрізків прямих. Для її побудови достатньо знайти лише крапки на ребрах. Фронтальна проекція збігається із підставою призми. Горизонтальну проекцію (на я2) будуємо за допомогою допоміжних сіючих площин. Верхня грань призми паралельна до основи піраміди. Площина а, проведена через цю грань, перетне піраміду по шестикутнику, подібному до фігури її підстави. Для побудови перерізу відзначаємо хрестиком точку перетину а> з бічним ребром піраміди, переносимо її у друге поле і проводимо сторони перерізу паралельно сторонам основи. Позначимо цифрами вершини лінії перетину призми із пірамідою. По лініях зв'язку переносимо на побудований шестикутник точки 1 і 3. У другому полі шуканої лінії належать ділянки шестикутника між точками 12 і 32, 72' і 32, проходять через 22 і 2'2.
Переходимо у бічну грань. Лінія пройде через крапки 1,4,5. Крапка 1 вже збудовано. Крапку 4 лініями зв'язку переносимо на проекції відповідного ребра піраміди. Проекції точки 5 знаходимо за допомогою допоміжної площини р. Замикає просторову ламану лінія грані 3-5, симетрична лінія грані 7-5. Побудувавши лінію перетину, обводимо проекції піраміди з урахуванням вирізу. Вирізані ділянки ребер прибираємо.
Тепер приступаємо до побудови лінії перетину призми з внутрішньою поверхнею. е. циліндром. Для того, щоб бачити цю лінію, виконуємо фронтальний та профільний розрізи. Посічені площини збігаються з площинами симетрії фігури, тому вони не позначаються. Внаслідок симетричності зображень виду та розрізу, на фронтальній та профільній проекції поєднуємо вид з розрізом.Вигляд завжди міститься зліва, розріз - праворуч. Призма та циліндр – проеціруючі поверхні.
Тому горизонтальна та фронтальна проекції шуканої лінії їхнього перетину збігатимуться з основами цих поверхонь. Залишається збудувати її профільну проекцію.
Горизонтальна грань призми повністю відсікає верхню частину циліндра. Лінія перетину на я3 проектується у горизонтальний відрізок. Бічна грань перетинає циліндр еліпсом. Щоб не було плутанини з точками зовнішньої лінії, позначимо характерні точки внутрішньої лінії літерами А і В і проектуємо їх на я2 і я3. Потім будуємо пару проміжних точок та проводимо профільну проекцію дуги еліпса. При суміщенні виду з розрізом у вигляді невидимий внутрішній контур не показується. Вигляд від розрізу відокремлюється штрихпунктирною лінією (як на передній проекції). На профільній проекції лінія розділу збіглася з ребром зовнішньої поверхні. Тому вид від розрізу відокремлений тонкою хвилястою лінією, проведеної з боку розрізу.
Спосіб допоміжних сіючих площин
Це найбільш універсальний спосіб побудови ліній перетину поверхонь, який можна застосовувати при вирішенні практично всіх завдань побудови ліній перетину поверхонь, але в деяких випадках даний спосіб найбільш зручний, в інших простіше вирішувати задачу більш приватним способом (як, наприклад, розглянутим вище способом ребер, або способом секучих сфер, описаним у наступній лекції).
Суть способу допоміжних сіючих площин пояснимо на рис. 15.2. Припустимо, ми маємо деяку поверхню X (імовірно конічна на рис. 15.2), і поверхню 0 (можливо, циліндрична). Їх взаємне становище і можливу лінію перетину визначаємо в такий спосіб.Перетинаємо обидві задані поверхні X та 0 деякою допоміжною січною площиною (або площиною-«посередником») Г. Припустимо, що ця площина перетинає поверхню X лінії 12 (очевидно, кривою). Поверхня 0 перетинається цією площиною лінії 34 (теж деякою кривою). Якщо лінія 12 і лінія 34 перетинаються між собою, наприклад, у точці М, то ця точка буде загальною для поверхонь 0 і X, і через цю точку пройде лінія їх взаємного перетину, може бути випадок торкання лінії 12 і 34, і це буде ознакою можливого дотику поверхонь 0 і X, можливо, лінія 12 не торкнеться і не перетне лінію 34, це буде ознакою можливої відсутності загальних точок поверхонь 0 і X. Однак для підтвердження торкання або не перетину поверхонь 0 і X слід перетнути ці поверхні другою січною площиною, змінивши її нахил щодо першої, побудувати нові лінії перерізу повторної площиною заданих поверхонь. Можливо, що при зміні положення сіючої площини лінії перетину перетнуться і будуть знайдені точки, загальні для поверхонь 0 і X (послідовність та суть дій аналогічні визначенню взаємного положення двох площин, див. п. 7.4).
У прикладі на рис. 15.2 лінії перерізу площиною Г 12 і 34 перетнулися в точці М, отже, поверхні 1і0 перетинаються, і одна точка лінії перетину - М - знайдена. Для визначення другої точки, що належить лінії перетину, проводимо другу допоміжну січні площину Г', на деякій відстані від першої, Г.Якщо перша допоміжна січна площина Г у перерізі із заданими поверхнями Z і 0 утворила лінії 12 і 34, що перетинаються між собою в досить чітко визначеній точці (точках), то другу допоміжну січні площину Г' можна провести паралельно першою. Припустимо, що друга площина Р перетинає поверхню X по лінії 1'2' і поверхню 0 по лінії 3'4'. Ці лінії перетинаються між собою у точці N, і ця точка також належить обом заданим поверхням і лінії їх взаємного перетину. Для побудови інших точок лінії перетину поверхонь потрібно провести ряд аналогічних допоміжних площин, що січуть, потім з'єднати знайдені точки плавною лінією. Далі можна визначати видимість поверхонь щодо один одного.
Як «працює» спосіб допоміжних сіючих площин під час вирішення конкретних завдань побудови ліній перетину поверхонь на кресленнях? Розглянемо кілька прикладів.
На рис. 15.3 представлені проекції циліндра, що перетинаються, обертання і трикутної призми. Циліндрична поверхня горизонтально-проецуюча, основи циліндра — горизонтальні. Бічні ребра і грані призми - профільні. Задня бічна грань призми паралельна фронтальній площині, решта двох бічних граней похилі до фронтальної площини під деякими (різними) кутами. Взаємне положення даних тіл таке, що підстави циліндра та призми не перетинаються між собою, перетинаються тільки бічні грані призми з безпосередньо циліндричною бічною поверхнею циліндра.Зауважимо, що оскільки горизонтальна проекція циліндричної поверхні — коло, що збігається з горизонтальною проекцією основ циліндра, то і вся лінія взаємного перетину циліндра і призми в нашому прикладі на горизонтальну площину проектується у вигляді цього ж кола або її частини. По горизонтальній проекції тіл можна також визначити, що переднє ребро призми ВВ' не перетинає циліндр, а задні бічні ребра АА' і СС, що проеціюються на горизонтальну площину у вигляді однієї прямої Аг=Сг А перетинають бічну поверхню циліндра у чотирьох точках, горизонтальні проекції яких Ц = IIIj та IIj = IVX можна відзначити без додаткових побудов. Фронтальні проекції цих точок (12), (П2), (П12), (IV2) побудуємо лініями зв'язку на А2А2 і З2З2. Таким чином, при розв'язанні даної задачі ми частково використовували спосіб ребер визначення двох пар точок лінії перетину. Зауважимо, що точки I і II - найвищі, а III і IV - найбільш нижні, і таким чином є екстремальними для лінії перетину. Оскільки грань АА'С'С паралельна утворюючим циліндра, то буде перетинати його поверхню по утворюючим, відрізки яких IIII і IIIV входять до складу лінії перетину і можуть бути проведені на кресленні: (12)(Ш2) та (II2)(IV2).
Грані АВВ'А' і ВСС'В' перетинають циліндричну поверхню еліпсами, причому нахил граней до осі циліндра різний, і еліпси виходять також неоднакові.
Для побудови точок, що належать еліпсам, застосуємо спосіб допоміжних площин, що січуть.Перетнемо поверхні призми і циліндра такою площиною, яка при перетині циліндра утворила б найпростіші лінії — утворюючі. Проведемо таку площину паралельно фронтальної площини проекцій і трохи далі передньої циліндра, що утворює. Положення цієї площини відзначимо горизонтальним слідом Ь01р. Ця січна площина перетинає призму за двома прямими: 11' (у межі АВВ'А') та 22' (у межі ВСС'В'). Горизонтальні проекції прямих 1 і 2г2 - збігаються. Фронтальні проекції прямих збудуємо за допомогою ліній зв'язку за точками: 12 на А2У2,I2 на ^2^2> 22 на В2З2 та 22 на В2З2. Зауважимо, що 1212 || 2222 || У2У2. Ця ж січна площина перетинає циліндр по двох утворюючих. Горизонтальні проекції утворюючих - точки, з цими точками збігаються і горизонтальні проекції точок перетину утворюючих і прямих 11' і 22', отриманих у перерізі з призмою: Vj = VHj і VIX = VIIIj. Фронтальні проекції утворюють збігаються з вертикальними лініями зв'язку, проведеними з точок = VIIj і VIj = VIIIj. Прямі 1212 та 2222 перетинають фронтальні проекції утворюють циліндра в точках V2 та VI2VII2 та VIII2. Так само, перетинаючи поверхні призми і циліндра подібними вертикальними допоміжними площинами, можна побудувати ще ряд точок лінії взаємного перетину цих поверхонь. Ми побудуємо на додаток до вже знайдених точок лише найхарактерніші точки лінії перетину.
Найближчі до «глядача» точки лінії перетину знаходяться на передній утворюючій циліндрі. Проводимо через цю утворюючу допоміжну січну площину і відзначаємо її горизонтальний слід. h0>T'. Ця площина перетинає грані призми за прямими 33' і 44', фронтальні проекції прямих 3232 та 4242 будуємо з допомогою ліній зв'язку. Ця ж площина стосується поверхні циліндра за твірною, горизонтальна проекція якої - точка, і з нею ж збігаються точки 1Хх = Хх перетину утворює та прямих 3j3^ і 4^ на поверхні призми. Фронтальні проекції точок 1Х2 та Х2 знаходимо відповідно на прямих 3232 та 4242 з ліній зв'язку.
Наступні опорні точки лінії перетину знаходяться на контурних утворюючих передній проекції циліндра. Ці точки (XI, XII, XIII, XIV) є точками торкання фронтальних проекцій еліпсів до контурних утворюючих і одночасно точками, що розмежовують видимість лінії перетину на виді спереду. Проводимо допоміжну січну площину Г" через дані, що утворюють, задавши горизонтальний слід її /101Г". Визначаємо проекції ліній перетину площини з гранями призми: 5] = 6] 5^ = 6 та 5252, 6262. У перетині прямих 5252 та 6262 з контурними утворюючими отримуємо точки Х12 та ХП2, ХШ2 та XIV2.
Далі обводимо проекції лінії перетину з огляду на видимість. На горизонтальній проекції лінії перетину дуги кола 12-1Х2-IIj і IIIj-Хг-1УХ збігаються (видимі), фронтальна проекція лінії перетину складається з двох відрізків прямих (12) (Ш2) та (Н2) (IV2) (невидимі спереду, оскільки знаходяться на задній грані призми та задній половині циліндра) та з двох дуг еліпсів
Визначаємо видимість інших елементів тіл, що перетинаються. На виді зверху всі елементи обводимо видимим контуром, крім відрізків Ix = IIIj, IIX = IV2 ребер призми, що проходять усередині циліндра – залишаємо ці відрізки у тонких лініях. Попереду ці відрізки ребер (12) (Н2) та (III2)(IV2) також залишаємо тонкими лініями.Крім цього, частини ребер А2А2 і З2З2, закриті циліндром (за контурними утворюючими) від точок (12) та (Н2), (1Н2) та (IV2) до контурних утворюючих, не видно спереду - обводимо їх штриховою лінією.2 та ХШ2, ХН2 та XIV2 проходять усередині призми – залишаємо тонкою лінією.
На рис. 15.4 представлений приклад перетину поверхонь, у яких жодна з проекцій лінії перетину не визначена на початковому завданні (ні одна з поверхонь не є проецирующей). поверхонь паралельна фронтальній площині проекцій. меридіана сфери та контурної утворюючої конуса визначаємо фронтальні проекції верхньої А2 та нижньої У2 екстремальних точок лінії перетину. Аг і У1 будуємо по лінії зв'язку (на штрихпунктирній центровій лінії, паралельній осі проекцій х і збігається з горизонтальною проекцією контурних ліній обох поверхонь). горизонтальну січну площину Г (f02r). Ця площина перетинає сферу по екватору, радіус якого (г) відомий, на горизонтальній проекції екватор є контурною лінією сфери. R, центр якої знаходиться на осі конуса.
Вимірюємо радіус перерізу конуса R (від осі конуса до контурної утворює слідом/02Г) і будуємо горизонтальну проекцію цього перерізу конуса - це буде коло з центром на горизонтальній проекції осі конуса.Побудувати цю проекцію кола можна також за допомогою точки 1(12,11), в якому коло стосується контурної утворюючої конуса. Горизонтальні проекції перерізів сфери (екватор - контур) та конуса (коло радіуса R) перетинаються у двох точках З1 і D1> є одночасно екстремальними (найправішими) і точками видимості горизонтальної проекції лінії перетину. Фронтальні проекції точок С2 = D2 будуємо лініями зв'язку на фронтальній проекції екватора. Для побудови додаткових точок, що належать лінії перетину, проводимо ряд допоміжних горизонтальних площин, що січуть, задаючи їх слідами: f02T', f02T", f02T'".
Кожна така площина перетинає сферу та конус по колам (паралелях), які, перетинаючи між собою, визначають точки лінії перетину наших поверхонь. Наприклад, січна площина, задана слідом /02Г", перетинає сферу по колу радіусу г" і конус по колу радіусу R". Горизонтальні проекції цих кіл будуємо, вимірявши відповідні радіуси. Центр кола — переріз сфери знаходиться на вертикальній осі обертання сфери, горизонтальна проекція якої збігається з горизонтальною проекцією центру сфери. Горизонтальні проекції кіл - перетинів перетинаються у двох точках ПЦ та IVl5 що належать лінії перетину. Фронтальні проекції Ш2 = IV2 будуємо лініями зв'язку на паралелі г".
При обведенні проекцій лінії перетину враховуємо, що на передній проекції видима (передня) і невидима (задня) частини лінії перетину збігаються (накладаються одна на іншу). На виді зверху частина лінії перетину, розташована на видимій зверху поверхні сфери, над екватором, т.ч. е. над точками С та D, буде видно, а під екватором (під СиГ) – не видно. У точках С та D екватор перетинає поверхню конуса, тому обводимо лінією видимого контуру екватор на вигляді зверху ліворуч З1 і Db а правіше за ці точки екватор знаходиться всередині конуса — залишаємо тонку лінію.
На рис. 15.5 представлені проекції циліндра, що перетинаються, і конуса обертання. Циліндрична поверхня фронтально-проецирующая, і з фронтальної проекції видно, що лінія перетину розпадається на дві замкнені криві лінії: верхню і нижню. Фронтальні проекції цих ліній збігаються з фронтальною проекцією дуг кіл, які проектуються бічна поверхня циліндра і кола його основ. Дві пари екстремальних точок ліній перетину визначаться при перетині контурних утворюючих конуса з фронтальною проекцією циліндричної поверхні: це точки А2 і У2 на лівій утворюючій конуса і С2 і D2 на правій. Горизонтальні проекції Аг і Bv Зг і знаходимо по лініях зв'язку на горизонтальних контурних проекціях утворюючих конуса (збігаються з горизонтальною штрихпунктирною центровою лінією). Наступні дві пари екстремальних точок: верхні (G та Я) та нижні (Е і знаходяться на верхній і нижній утворює циліндра.
Проводимо через ці утворюючі допоміжні сіючі площини, задані на рис. 15.5 слідами/02Г та/02Г'. Площина Г стосується циліндра по нижній утворюючій, фронтальна проекція якої - точка (E2 = F2), а горизонтальна - пряма, що збігається з вертикальною штрихпунктирною лінією.Ця ж площина перетинає конус по колу, фронтальна проекція якої - відрізок прямий, а горизонтальна - коло, побудувати яке можна за допомогою проекцій точки торкання кола до контурної утворює конуса 12 та Ц. Можна також виміряти радіус цього кола по фронтальній проекції — від осі конуса до точки 12, і цим радіусом провести горизонтальну проекцію кола. У точках перетину побудованого кола з утворюючим циліндром відзначаємо горизонтальні проекції точок. Ег і Fv Аналогічно перебувають проекції верхніх точок. G2 = H2,G> і Hv
Для побудови проекцій додаткових точок I, II, III, IV проводимо горизонтальну допоміжну січну площину дещо вище площини Г і задаємо її слідом/02Р".
Ця площина перетинає циліндр по двох утворюючих, фронтальні проекції яких - точки - збігаються з проекціями точок лінії перетину, які на них знаходяться:2 = Н2 і Ш2 = IV2. Горизонтальні проекції цих утворюючих - прямі, що збігаються з лініями зв'язку, проведеними з 12 = Н2 і Ш2 = IV2. Ця площина перетинає конус по колу, горизонтальну проекцію якої можна побудувати за допомогою проекцій точки 22 і 2Ь або вимірявши радіус кола - відстань від осі конуса до точки 22. При перетині горизонтальних проекцій кола перерізу конуса і утворюючих - перерізу циліндра, отримуємо горизонтальні проекції точок Ix, IIl5 III1> 1У2 лінії перетину. З'єднавши збудовані точки A1G1C1Hl і (B1)(I1)(?1)(III1)(D1) (IV1)(F1)(II1) плавними кривими отримуємо горизонтальні проекції двох ліній перетину заданих поверхонь. Лінія Аг - Зл видима зверху, так як знаходиться над контурними утворюючими циліндра, лінія (B1)(D1) невидима, тому що розташована на нижній половині циліндра, під контурними утворюючими.
На рис. 15.6 циліндр і конус, що перетинаються, задані в дещо іншому положенні: циліндрична поверхня горизонтально-проєціруюча, і вісь конуса — профільно-проєціруюча. Горизонтальна проекція ліній перетину двох поверхонь збігається з дугою кола, в яке проектується циліндрична поверхня. Лінії перетину мають такі екстремальні точки: А та В (верхні), С і D (Нижні). Фронтальні проекції цих точок А2 і В2, З2 і D2 визначаємо в точках перетину контурних утворюючих циліндра та конуса. Горизонтальні проекції цих точок попарно збігаються: А1 = З1іВ1 = Dv Наступні дві пари екстремальних точок Е і F (найближчі), СІН (далекі) визначаться на горизонтальній проекції при перетині ближньої контурної конуса, що утворює, з циліндричною поверхнею (Ех та ОД і на дальній контурній утворювальній (Gx та НД. Фронтальні проекції цих точок попарно збігаються Е2 = G2 і F2 = Н2 і є проекціями найближчих та далеких точок двох ліній перетину.
Для побудови додаткових точок перетнемо задані поверхні допоміжними вертикальними площинами Г і Г', провівши їх через вершину конуса (і паралельно утворюючим циліндра). Кут нахилу площин Г і Г' до основи конуса для зручності побудов обраний однаковий, площини задані слідами /г01Г і h01T'. Ці площини перетинають циліндр по двох парах симетричних утворюючих, горизонтальні проекції яких — точки, що збігаються з проекціями точок лінії перетину, на них розташовані: I] = II та I] = Щ, III] = IV] і III] = IV]'. Фронтальні проекції цих утворюючих збігаються з вертикальними лініями зв'язку. Ці ж сіючі площини перетинають конічну поверхню теж по двох парах симетричних утворюючих, горизонтальні проекції яких попарно збігаються: БД] = S:2] та S]l] = S] 2]. Для побудови фронтальних проекцій цих утворюючих розгорнемо верхню півколо підстави конуса разом з точками 1 і V навколо її горизонтального діаметра до горизонтального положення. Тоді горизонтальна проекція цього поверненого півкола представить справжню величину цього півкола основи конуса. Знайшовши горизонтальні проекції повернутих точок 1] і розташованих на цьому півкола, визначимо справжню величину півхорд між точками 1 і 2, У та 2'. Оскільки хорди 12 і 1'2' вертикальні і паралельні фронтальній площині, фронтальні проекції представляють їх справжню величину. Тому вимірюємо циркулю величину напівхорди, наприклад, 1]1( і відкладаємо цю величину на фронтальній проекції основи конуса симетрично від його центру вгору і вниз, отримуємо фронтальні проекції точок 12 та 22, і збігаються з ними 12 та 22. Далі проводимо фронтальні проекції утворюють, якими перетнуто конус допоміжної площиною: S212 = 12 та S222 = 22. При перетині цих проекцій з утворюючими проекціями — перерізів циліндра, визначаємо точки 12 = 12, 112 = П2, Ш2 = Ш2, IV2 = IV2.
Залишається з'єднати побудовані точки плавними кривими А2 - З2 і У2 — D2. При визначенні видимості ліній перетину на виді спереду враховуємо, що ці лінії симетричні щодо площини контурних утворюючих. Тому половини видимих спереду частин ліній перетину (АБС та BFD) точно збігаються з половинами невидимих (AGC і BHD). Відрізки контурних утворюючих, що проходять усередині іншого тіла, залишаємо тонкими лініями (А2У2 і C2D2, А2З2 і B2D2, E1F1 і G]H]), решта елементів заданих тіл повністю видно.
Лекція 16
