Дріб дорівнює нулю

Дробова риса – це знак розподілу. При розподілі нуля на будь-яке число, крім нуля, отримаємо нуль. На нуль ділити не можна.

Таким чином, дріб дорівнює нулю, якщо чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля.

Розв'язання багатьох завдань у алгебрі зводиться до розв'язання дробово раціональних рівнянь, які, своєю чергою, зводяться до рівняння типу «дроб дорівнює нулю».

Схематично рішення рівняння типу «дроб дорівнює нулю» можна зобразити так:

Таким чином, щоб вирішити рівняння типу «дроб дорівнює нулю», треба:

1) Знайти значення змінної, у яких знаменник перетворюється на нуль.

2) Прирівняти до нуля чисельник і вирішити рівняння, що вийшло.

3) Перевірити, чи немає серед коренів рівняння «числитель дорівнює нулю» значень, у яких знаменник перетворюється на нуль. Якщо є, їх слід виключити.

Дроб дорівнює нулю, якщо чисельник дорівнює нулю, а знаменник — відмінний від нуля, тому це рівняння рівносильне системі

Знаходимо значення змінної, у яких знаменник перетворюється на нуль:

Можна прирівняти вираз, що стоїть у лівій частині нерівності, до нуля і вирішувати як звичайне неповне квадратне рівняння. Можна вирішувати як рівняння, тільки замість знака рівності щоразу писати «≠».

При цих значеннях змінної вираз, що стоїть у лівій частині рівняння, немає сенсу (оскільки нуль ділити не можна).

Вирішуємо рівняння, в якому чисельник дорівнює нулю.

Шукаємо дискримінант. Так як b = -10 - парне число, тут зручніше скористатися формулою для D/4:

Так як D/4>0, рівняння має два корені:

Перший із коренів — сторонній (він задовольняє умові x≠7), у відповідь записує лише корінь 3. Відповідь: 3.

Це рівняння рівносильне системі

Його коріння - значення змінної, при якому вираз, що стоїть у лівій частині рівняння, не має сенсу.

Загальний множник 4x виносимо за дужки

Другий корінь не підходить (він не задовольняє умову x 0,5).

Переходимо до розв'язання рівняння 3x-12=0. Це лінійне рівняння. Невідоме — в один бік, відоме — в інший із протилежним знаком:

Отриманий корінь є стороннім, тому що не задовольняє умову x44. Отже, вихідне рівняння типу «дроб дорівнює 0» коріння немає.

Вирішуємо квадратне рівняння

Оскільки D/4=0, квадратне рівняння має один корінь

Тепер вирішуємо рівняння

Сторонніх коренів немає (обидва корені задовольняють умові x≠1/4).

Звичайні дроби

Звичайні дроби - одна з ключових тем математики, що вивчається в 5-6 класах. Знання і вміння працювати з дробами необхідне вирішення багатьох завдань як у навчанні, і у повсякденному житті. У цій статті ми розглянемо основні поняття, властивості та операції зі звичайними дробами, а також зв'язок із десятковими дробами та практичне застосування.

Визначення частки

Частка це частина цілого. Уявіть, що у вас є великий пиріг. Якщо ви розділите цей пиріг на частини, кожна частина буде часткою пирога.

Приклади часток

Половина - це одна з найвідоміших часток. Якщо ви розділите пиріг на дві рівні частини, кожна частина називатиметься половиною. Половина пишеться як 1/2.

Чверть це ще одна важлива частка. Якщо ви розділите пиріг на чотири рівні частини, кожна частина називатиметься чвертю. Чверть пишеться як 1/4.

Якщо ви розділите щось на три рівні частини, кожна частина називатиметься однією третьою . Одна третина пишеться як 1/3.

Частки можна записувати як дробів.

Приклади:

1.Якщо пиріг розділили на 8 рівних частин, і ви з'їли 3 їх, то ви з'їли 3/8 пирога.
2. Шоколадка розділена на 12 шматочків. Ви з'їли 5 шматочків, отже, ви з'їли 5/12 шоколадки.
3. Піца розділена на 6 рівних частин. Якщо взяти 2 частини, то буде взято 2/6 або 1/3 піци.

Визначення звичайного дробу

Дроб — це число, що є частиною цілого.

Звичайний дріб складається з двох чисел:

Чисельник (число зверху) показує, скільки частин у нас є.
Знаменник (число знизу) показує, на скільки частин розділено ціле.

Дроби записуються як a/b , де a — чисельник, а b — знаменник. Чисельник вказує кількість частин, які ми беремо, а знаменник показує, скільки частин ділиться ціле.

Уявіть, що у вас є пиріг, який ви поділили на 4 рівні частини. Якщо ви взяли одну частину з чотирьох, це можна записати як дріб:

Чисельник – 1, тому що ви взяли одну частину.
Знаменник - 4, тому що пиріг поділено на 4 частини.

Таким чином, дріб буде записано як 1/4.

Визначення десяткового дробу

Десятковий дріб - це спосіб записувати числа, які знаходяться між цілими числами. На відміну від звичайних дробів, де ціле число ділиться на кілька частин, десяткові дроби використовують десяткову кому (або точку), щоб показати, як дробові частини відносяться до цілого числа.

Десятковий дріб записується за допомогою десяткової коми (або крапки). Наприклад:

Числа перед десятковою комою (або крапкою) – це ціла частина.
Числа після десяткової коми (або крапки) – це дробова частина.

Зв'язок звичайного та десяткового дробів

Звичайні та десяткові дроби тісно пов'язані. Будь-який звичайний дріб можна записати у вигляді десяткового, і навпаки.

Звичайний дріб 1/2 у десятковій формі записується як 0,5.
Десятковий дріб 0,25 у звичайній формі записується як 1/4.

Щоб перетворити звичайний дріб на десятковий, потрібно розділити чисельник на знаменник. Ось як це робиться:

1/2: розділіть 1 на 2. Результат – 0,5. Тому 1/2 = 0,5.
3/4: розділіть 3 на 4. Результат – 0,75. Тому 3/4 = 0,75.
7/8: розділіть 7 на 8. Результат – 0,875. Тому 7/8 = 0,875.

Щоб перетворити десятковий дріб у звичайний, потрібно зрозуміти, скільки цифр знаходиться після десяткової коми і записати дріб відповідним чином:

0,5: це 5 десятих, або 5/10. Спрощуючи дріб, отримуємо 1/2.
0,75: це 75 сотих, або 75/100. Спрощуючи дріб, отримуємо 3/4.
0,875: це 875 тисячних, або 875/1000. Спрощуючи дріб, отримуємо 7/8.

Звичайні дроби: властивості

Дроби мають кілька ключових властивостей, які допомагають у їх використанні та розумінні.

1. Дроб не має значення, якщо знаменник дорівнює нулю.
Ця властивість стверджує, що дріб з нульовим знаменником немає сенсу в математиці, оскільки розподіл на нуль неможливий. Наприклад, дріб 5/0 не визначено.

2. Дроб дорівнює нулю, якщо чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю.
Якщо чисельник дробу дорівнює нулю, а знаменник ненульовий, то дріб завжди дорівнює нулю. Наприклад, дріб 0/7 дорівнює нулю, оскільки чисельник дорівнює нулю, незважаючи на значення знаменника.

3. Два дроби a/b та c/d називаються рівними, якщо a ⋅ d = b ⋅ c.
Ця властивість говорить про те, що два дроби рівні, якщо добуток чисельника першого дробу на знаменник другого дробу дорівнює добутку чисельника другого дробу на знаменник першого дробу. Наприклад, дроби 2/3 і 4/6 рівні, оскільки 2 ⋅ 6 = 3 ⋅ 4.

4. Якщо чисельник і знаменник дробу помножити або поділити на те саме число, то значення дробу не зміниться. Ця властивість дозволяє спростити дріб або призвести до зручного вигляду для обчислень.

Ддії з дробами

Порівняння дробів

Порівняння дробів важливе для розуміння їх величин щодо один одного. Щоб порівняти дроби, можна скористатися кількома методами:

→ Порівняння дробів з однаковим знаменником: якщо дроби мають однаковий знаменник, порівняння проводиться за чисельниками. Наприклад, для дробів 3/8 та ⅝ достатньо порівняти чисельники 3 та 5. Оскільки 5 більше 3, дріб 5/8 більше, ніж 3/8.
→ Порівняння дробів з різними знаменниками: у цьому випадку зручніше привести дроби до спільного знаменника. Після приведення дробів до спільного знаменника порівняння здійснюється за чисельниками. Наприклад, для дробів ⅖ та 3/7:

Знаходимо спільний знаменник: 35.
Наводимо дроби до спільного знаменника:

Порівнюємо чисельники: 14 і 15. Отже, 3/7 більше, ніж 2/5.

Ззабарвлення дробів

Скорочення дробів допомагає спростити їхній вигляд і полегшити подальші обчислення. Щоб скоротити дріб, потрібно розділити чисельник та знаменник на їх найбільший спільний дільник (НДД).

Приклад 1. Спростимо дріб 18/24:

Знаходимо НОД чисельника та знаменника. В даному випадку НОД 18 та 24 дорівнює 6.
Ділимо чисельник і знаменник на 6:

Приклад 2. Спростимо дріб 50/75:

НОД чисельника та знаменника дорівнює 25.
Ділимо чисельник і знаменник на 25:

Додавання та віднімання дробів

Для складання та віднімання дробів необхідно привести їх до спільного знаменника, якщо він у них різний.

Додавання звичайних дробів:

Крок 1. Знайдіть спільний знаменник дробів.

Крок 2. Наведіть дроби до спільного знаменника.

Крок 3. Складіть чисельники дробів та залиште спільний знаменник.

Загальний знаменник для 4 і 6 - 12.
Наводимо дроби до спільного знаменника:

Додавання:

Віднімання звичайних дробів:

Крок 1Знайдіть спільний знаменник дробів.

Крок 2. Наведіть дроби до спільного знаменника.

Крок 3. Відніміть чисельники дробів та залиште спільний знаменник.

Загальний знаменник для 8 і 3 - 24.
Наводимо дроби до спільного знаменника:

Віднімання:

Множення та поділ дробів

Розмноження звичайних дробів:

Помножте чисельники дробів між собою.
Помножте знаменники дробів між собою.
Спростіть дріб за потреби.

Помножуємо чисельники: 2 ∙ 3 = 6.
Помножуємо знаменники: 5 ∙ 4 = 20.
Результат:

Розподіл звичайних дробів:

Помножте перший дріб на зворотний другий дріб (інвертуйте другий дріб).
Спростіть дріб за потреби.

Звичайні дроби: практика вирішення завдань

Завдання 1. Прості дроби: порівняння дробів.

Порівняйте дроби 7/10 і 3/5 і вкажіть, який із них більший.

1. Знайдемо спільний знаменник для дробів. Загальний знаменник для 10 і 5 - 10.
2. Наведемо дроби до спільного знаменника:

3. Порівнюємо чисельники: 7 і 6. Оскільки 7 більше 6, дріб 7/10 більше, ніж 3/5.

Відповідь: 7/10 більше 3/5.

Завдання 2. Прості дроби: скорочення дробів.

Спростіть дріб 36/48.

1. Знайдіть НОД чисельника та знаменника. В даному випадку НОД 36 та 48 дорівнює 12.
2. Розділіть чисельник та знаменник на 12:

Завдання 3. Додавання дробів.

Знайдіть результат додавання дробів 5/6 і 2/9.

1. Знайдіть спільний знаменник дробів. Загальний знаменник для 6 і 9 - 18.
2. Наведіть дроби до спільного знаменника:

4. Перетворіть дріб у змішане число, якщо потрібно:

Завдання 4. Віднімання дробів.

Знайдіть результат віднімання дробів 7/8 та 3/10.

1. Знайдіть спільний знаменник дробів. Загальний знаменник для 8 і 10 - 40.
2. Наведіть дроби до спільного знаменника:

Завдання 5. Розмноження дробів.

Знайдіть результат множення дробів 3/7 та 5/6.

1. Помножте чисельники дробів:

2. Помножте знаменники дробів:

3.Запишіть результат:

НОД 15 і 42 дорівнює 3.

Завдання 6. Звичайні дроби: розподіл дробів.

Знайдіть результат поділу дробів 4/9 та 2/5.

1. Переверніть другий дріб:

2. Примножте перший дріб на перегорнутий другий дріб:

3. Помножте чисельники:

4. Помножте знаменники:

5. Запишіть результат:

НОД 20 і 18 дорівнює 2.

Прості дроби - це важливий математичний інструмент, який використовується для представлення частин цілого. Розуміння та вміння працювати з дробами необхідно для вирішення безлічі завдань у навчанні та повсякденному житті.

Якщо дитина зазнає труднощів у розумінні звичайних дробів, скористайтесь матеріалами статті для тренування або приходьте до нас на заняття ✨

Перший вступний урок з репетитором - безкоштовний. Записатись можна за формою нижче ⤵

Раціональні рівняння

Рівняння, в яких є тільки цілі та дробові вирази та ступеня, називаються раціональними. Якщо ви бачите в рівнянні арифметичні корені, то такі рівняння вже не будуть раціональними.

Приклади раціональних рівнянь: $$x+1=3;$$ $$\frac=5;$$ $$\frac-\frac=-x;$$ $$(x+9)^2=x^2- 4;$$ Приклади не раціональних рівнянь: $$\sqrt=1;$$ $$(x-3)^2=\sqrt;$$

У свою чергу раціональні рівняння поділяються на цілі та дробові.

Цілі раціональні рівняння

Якщо у рівнянні немає змінної $x$ у знаменнику, то таке рівняння називається цілим. Або, іншими словами, ніде в рівнянні немає поділу на змінну. Метод розв'язання цілих раціональних рівнянь залежить від того, якою мірою перед вами рівняння.

Ступінь рівняння - це максимальний ступінь у змінної (x).

Наприклад, рівняння $x^2+5x-1=0$ буде другого ступеня, тому що є $x^2$.
Приклад рівняння першого ступеня: (5x-1 = 17);
Рівняння третього ступеня: (5x^3-3x^2=0);
Рівняння четвертого ступеня: (7x^4-5x^2+x-5=0\);
І т.д.

Основний алгоритм розв'язання цілих рівнянь:

Якщо є дужки, розкриваємо їх;
Перекидаємо всі доданки в ліву частину так, щоб у правій частині залишився тільки (0). Не забуваємо у своїй змінювати знак цих доданків;
Наводимо подібні доданки;
Якщо вийшло рівняння першого ступеня (у рівнянні є тільки (x)), то вирішуємо його так (лінійні рівняння);
Якщо вийшло рівняння другого ступеня (у рівнянні є $x^2$), воно вирішується ось так (квадратні рівняння).
А от якщо в перетвореному рівнянні вийшли члени (x^3) або більшою мірою, то доведеться застосовувати нестандартні методи рішення. Наприклад, заміна змінної, угруповання, схема Горнера і т.д.

Найчастіше рівняння після перетворень зводитимуться до рівнянь першого (лінійні рівняння) та другого (квадратні рівняння) ступеня.

Розберемо приклади цілих раціональних рівнянь:

Приклад 1 $$-4(-7+6x)=-9x-5;$$ Насамперед розкриваємо дужки: $$28-24x=-9x-5;$$ Перекидаємо всі складові з правої частини в ліву: $$28-24x+9x +5=0;$$ Поміняємо доданки місцями, щоб зручніше було наводити подібні доданки: $$-24x+9x+5+28=0;$$ $$-15x+33=0;$$ Отримали лінійне рівняння. Щоб його вирішити, перекидаємо вільний член (той, що без $x$) у праву частину: $$-15x=-33;$$ І поділимо рівняння ліворуч і праворуч на $-15$: $$x= \frac;$$ $$x=\frac=2,2;$$ Відповідь: $x = 2,2. $

Те, що рівняння лінійне, стало видно відразу після розкриття дужок: у нас же не було ступеня у (x)-ів. Тому розумно було відразу вирішувати його як лінійне: перенести всі доданки з (x) в ліву частину, а всі числа в праву. Так би вийшло трохи коротше.

Приклад 2 $$4*(x+1)^2-2(x+3)=(2x-5)^2;$$ Тут відразу й не скажеш, якою мірою рівняння.На перший погляд здається, що квадратне, але давайте розкриємо дужки, скориставшись формулами скороченого множення: $$4*(x^2+2x+1)-2x-6=4x^2-20x+25;$$ $$4*x^ 2+8x+4-2x-6=4x^2-20x+25;$$ Перекинемо все в ліву частину, не забуваючи змінити знак: $$4*x^2+8x+4-2x-6-4x^2+20x-25=0;$$ Поміняємо місцями доданки, щоб було простіше наводити подібні: $$4x^2-4x^2+8x-2x +20x+4-6-25=0;$$ $$26x-27=0;$$ Як бачите, всі квадрати скоротилися, і рівняння перетворилося на лінійне: $$26x=27;$$ $$x=\frac;$$ Відповідь: $x=\frac.$

Приклад 3 $$\frac+\frac+x=-\frac;$$ Домножимо рівняння ліворуч і праворуч на $12$? $12$ і $4$, на всі ці числа $12$ можна розділити: $$12*(\frac+\frac+x)=12*(-\frac);$$ $$12*\frac+12*\frac+12*x=12*(-\frac);$$ $$2x +x+12x=-3*35;$$ $$15x=-105;$$ $$x=\frac=-7;$$ Відповідь: $x=-7.$

Докладніше про лінійні рівняння можна прочитати в окремій статті.

Приклад 4 $$(x-1)^2=2x^2-6x-31;$$ Розкриємо дужки: $$x^2-2x+1=2x^2-6x-31;$$ $$x^2-2x +1-2x^2+6x+31=0;$$ $$x^2-2x^2-2x+6x+1+31=0;$$ $$-x^2+4x+32=0;$$ Після приведення подібних доданків у рівнянні залишився $x^2$, а значить перед нами квадратне рівняння, яке можна вирішити через дискримінант: $$a=-1; \quad b=4; \quad c=32;$$ $$D=b^2-4ac=4^2-4*(-1)*32=16+128=144=12^2;$$ $$x_1=\frac>=\frac=\frac=- 4;$$ $$x_1=\frac>=\frac=\frac=8;$$ Відповідь: $x=-4; \qquad x=8.$

Докладніше про квадратні рівняння можна почитати тут.

Методи вирішення рівнянь третього ступеня та старші

Не існує універсального зручного методу розв'язання рівнянь третього ступеня або вище, як, наприклад, квадратні рівняння, що легко вирішуються через дискримінант, навіть думати не треба.

Є кілька методів, які корисно знати: заміна змінної, метод угруповання, поділ багаточлена на багаточлен, схема Горнера і т.д. Метод заміни змінної заслуговує на окремий урок, тому про нього ми докладно поговоримо тут. Нині ми обговоримо метод угруповання.

Метод угруповання

p align="justify"> Метод угруповання доданків можна використовувати і для вирішення квадратних рівнянь, і, взагалі кажучи, для рівнянь будь-якого ступеня. Але проблема цього в тому, що далеко не завжди вдається його застосувати, і доводиться використовувати інші методи. Однак, якщо на іспиті вам не пощастило, і потрапило рівняння, яке зводиться до рівняння 3-го ступеня або старше, то в більшості випадків воно вирішуватиметься саме угрупуванням. Тому знати цей метод потрібно обов'язково.

Розберемо метод угруповання з прикладу кубічного рівняння:

Приклад 5 $$2x^3+4x^2-8x-16=0;$$ Подивіться уважно на рівняння, у ньому 4 доданків, згрупуємо їх попарно: перший доданок з другим, а третій з четвертим: $$(2x^3+4x ^2)+(-8x-16)=0;$$ І винесемо загальний множник $2x^2$ з першої пари, і $-8$ з другої: $$2x^2(x+2)-8(x+2)=0;$$ Тепер замість 4-х доданків у нас всього два, але й у них є загальний множник $(x+2)$, який можна винести за дужки: $$(x+2)(2x^2-8)=0;$$ Твір двох множників (у нашому випадку двох дужок) дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює $0$: $$x+2-0 \qquad \Rightarrow \qquad x_1=-2;$$ $$2x^2-8=0 \qquad \Rightarrow \ qquad 2x^2=8 \qquad \Rightarrow \qquad x^2=\frac \qquad\Rightarrow $$ $$\Rightarrow \qquad x^2=4 \qquad \Rightarrow \qquad x_=\pm 2;$$ Вийшло три значення $x$, але корінь $x=-2$ дублюється, тому вихідне кубічне рівняння буде мати 2 рішення :
Відповідь: $x=-2, \quad x=2.$

Загальний алгоритм розкладання на множники:

Об'єднуємо доданки до груп, як правило, у пари, але іноді це можуть бути і трійки;
У кожній групі (парі) виносимо загальний множник за дужки;
Якщо в дужках у кожній парі вийшов однаковий вираз, то знову виносимо загальний множник у вигляді однакового виразу усередині цих дужок за великі дужки.
Якщо в результаті кроків (1) і (2) у кожній парі вийшли різні вирази в дужках, то потрібно повернутися на крок (1), поміняти місцями доданки і згрупувати їх у групи іншим способом.

Спробуємо вирішити рівняння четвертого ступеня:

Приклад 6 $$4x^4+12x^3+6x^2+18x=0;$$ Знову згрупуємо доданки по парах: перше з другим, а третє з четвертим: $$(4x^4+12x^3)+(6x^ 2+18x)=0;$$ Винесемо загальний множник у кожній парі: $$4x^3(x+3)+6x(x+3)=0;$$ Ура, в дужках вийшли однакові вирази $(x+3)$, винесемо їх за дужки: $$(x+3 )(4x^3+6x)=0;$$ Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю: $$x+3=0 \qquad \qquad 4x^3+6x=0;$$ Перше рівняння має корінь $x_1=-3$, а друге випишемо окремо і вирішимо: $$4x^3+6x=0;$$ Тут теж є загальний множник $x $, але це вже не угруповання, а звичайне винесення загального множника за дужки: $$x(4x^2+6)=0;$$ $$x_2=0 \qquad 4x^2+6=0;$$ З рівняння $4x^2+6=0$ виразимо $x^2:$ $$4x^2=-6;$$ $$x^2=\frac=\frac;$$ Але $x^2$ ніколи не може дорівнювати негативному числу! Щоб ви не звели в квадрат, завжди отримаєте невід'ємне число. Тому останнє рівняння не матиме коріння.
Залишилося знову лише два корені:
Відповідь: $x_1=-3; \qquad x_2=0.$

Дробно-раціональні рівняння

Якщо у рівнянні є розподіл на вираз, що залежить від змінної $x$, то таке рівняння називатиметься дробово-раціональним. Наприклад, рівняння: $$\frac+3=x;$$ $$x+\frac=6;$$ $$\frac+\frac=0;$$ всі будуть дробово-раціональними.

А рівняння $$\frac+\frac=1;$$ вже не буде дробово-раціональним, незважаючи на те, що є поділ, але в знаменнику стоять звичайні числа, там немає змінної $x$.

З тим, що таке дробово-раціональні рівняння, сподіваюся, розібралися, тепер поговоримо про алгоритм розв'язання таких рівнянь.

У загальному вигляді дробово-раціональне рівняння виглядає так: $$\frac=0;$$ де $P(x)$ і $Q(x)$ - цілі раціональні вирази;

Схему рішення можна записати у вигляді $$ \begin P(x)=0, \ Q(x) \neq 0. \end$$

Простими словами, розв'язок дробово-раціонального рівняння зводиться до знаходження коренів цілого раціонального рівняння (P(x) = 0). І перевірці того, щоб знайдене коріння задовольняло нерівності $Q(x)\neq0$.

Приклад 7 $$\frac=0;$$ Згідно з наведеною вище схемою $P(x)=x^2-5x+6=0$, а $Q(x)=x-3\neq 0$.
Або можна запам'ятати, що дріб дорівнює нулю тільки тоді, коли чисельник дорівнює нулю. А ділити на нуль у математиці заборонено, тому ще й знаменник не повинен дорівнювати нулю.
Прирівнюємо чисельник до нуля: $$x^2-5x+6=0;$$ $$D=(-5)^2-4*1*6=25-24=1;$$ $$x_1=\frac >=\frac=3;$$ $$x_2=\frac>=\frac=2;$$ І не забуваємо перевірити, щоб при знайденому корінні знаменник не дорівнював нулю: $$x-3 \neq 0;$$ При $x_1=3$ знаменник звертається в нуль, тому цей корінь нам не підходить.
Відповідь: $x_1=2.$

Розглянемо складніше рівняння:

Приклад 8 $$\frac=-\frac;$$ Щоб розв'язати таке рівняння, необхідно привести його до стандартного вигляду: $$\frac=0;$$ Для цього переносимо $-\frac$ в ліву частину рівняння, не забуваємо, що $-\frac$ перетворюється на $+\frac$: $$\frac+\frac=0;$$ Наводимо дроби до спільного знаменника. Спільним знаменником тут буде: (3 * (x + 6)).Тому домножуємо чисельник і знаменник першого дробу на $3$, а другий дріб на $(x+6)$: $$\frac+\frac=0;$$ $$\frac+\frac=0;$$ Оскільки тепер знаменники у дробів однакові, можна скласти їх чисельники і у вигляді однієї великої дробу: $$\frac=0;$$ $$\frac=0;$$ Отримали стандартний вид дробно-раціонального рівняння.

Дроб може дорівнювати нулю тільки в одному випадку: якщо її чисельник дорівнює нулю!

Іноді нулю ще намагаються прирівняти знаменник, але знаменник не може дорівнювати нулю. Знак дробу - те саме, що й знак розподілу, а ділити на нуль у математиці категорично заборонено. Саме тому знаменник дробу ніяк не може дорівнювати нулю.

Повертаємося до нашого рівняння і прирівнюємо чисельник до нуля: $$60+5x=0;$$ $$5x=-60;$$ $$x=-12;$$ Як перевірку підставимо знайдений корінь у вихідне рівняння: $$\ frac=-\frac \quad \Rightarrow \quad \frac=-\frac \quad \Rightarrow $$ $$\Rightarrow \quad \frac=-\frac \quad \Rightarrow \quad -\frac=-\frac;$$ Вийшла правильна рівність, значить $x=-12$ дійсно буде коренем нашого рівняння.
Відповідь: $x=-12.$

Алгоритм рішення

Переносимо всі складові в ліву частину, щоб у правій частині рівняння був 0, не забуваючи змінювати знак;
Наводимо до спільного знаменника;
Спрощуємо вираз у чисельнику дробу: розкриваємо дужки, наводимо подібні доданки;
Дроб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю. Тому позбавляємося знаменника і прирівнюємо чисельник до нуля;
В результаті перерахованих вище дій дробово-раціональне рівняння зводиться до цілого раціонального рівняння;
Вирішуємо ціле раціональне рівняння і перевіряємо знайдене коріння, щоб при підстановці їх у знаменник, не виходив нуль.

Подивимося, як працює алгоритм на прикладах:

Приклад 9 $$\frac+\frac=2;$$ Перекидаємо двійку в ліву частину рівняння і наводимо дроби до спільного знаменника $(x-11)(x-9)$. Для цього в першому дробі домножуємо чисельник і знаменник на $(x-9)$, другий дріб на $(x-11)$, а $2-ку$ ми завжди можемо уявити у вигляді дробу: \ (\frac\), і теж приводимо до знаменника $(x-11)(x-9)$: $$\frac+\frac-\frac=0;$$ Вийшло трохи страшнувато, але нічого: складаємо дроби, розкриваємо в чисельнику всі дужки і наводимо подібні доданки. Знаменник при цьому не чіпаємо. $$\frac=0;$$ $$\frac=0;$$ $$\frac=0;$$ $$\frac=0;$$ Дроб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю: $$-2x^ 2+60x-400=0;$$ $$D=60^2-4*(-2)*(-400)=3600-3200=400;$$ $$x_1=\frac>=\frac=10 ;$$ $$x_2=\frac>=\frac=20;$$ Підставивши обидва корені у вихідне рівняння, аналогічно тому, як ми це робили в прикладі №7, можна переконатися в правильності знайденого коріння.
Відповідь: $x_1=10 \quad x_2=20.$

Приклад 10 $$\frac+\frac=\frac;$$ Коли ви бачите в знаменнику формули скороченого множення, загальний множник або угруповання, то обов'язково ними скористатися, щоб розкласти багаточлен у знаменнику на множники перед тим, як приводити до спільного знаменника.

Помічаємо у дробу праворуч у знаменнику формулу різниці квадратів $a^2-b^2=(a-b)(a+b):$ $$\frac+\frac=\frac;$$ Перекидаємо в ліву частину рівняння: $$ \frac+\frac-\frac=0;$$ Приведемо всі дроби до спільного знаменника $(2-3x)(2+3x)$:

У першого дробу в знаменнику поміняємо доданки місцями (від зміни місць доданків сума не змінюється $(3x+2=2+3x$) і домножимо її чисельник і знаменник на $(2-3x)$.
У другого дробу у знаменнику стоїть $(3x-2)$, а нам треба $(2-3x)$. Тому домножимо чисельник і знаменник на (-1) і на ((2 + 3x)).
З третім дробом робити нічого не потрібно. У неї й так потрібний нам знаменник.

$$\frac+\frac-\frac=0;$$ $$\frac+\frac-\frac=0;$$ Складаємо дроби і розкриваємо дужки: $$\frac=0;$$ Зверніть увагу, що я завжди беру чисельник у дужки, коли складаю дроби. Тим самим я показую, що мінус перед дробом діє на кожен доданок у чисельнику.

Це одна з найпоширеніших помилок. Будьте уважні. $$\frac=0;$$ $$\frac=0;$$ Дроб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю: $$-6x^2-19x-10=0;$$ Для зручності помножимо все рівняння на $ -1$: $ $ 6x ^ 2 + 19x + 10 = 0; $ $ $$D=19^2-4*6*10=361-240=121;$$ $$x_1=\frac>=\frac=\frac=-\frac;$$ $$x_2=\frac>= \frac=\frac=-\frac;$$ Підставимо корінь $x_1=-\frac$ у вихідне рівняння: $$\frac+\frac=\frac;$$ $$\frac<-\frac><3*\left(-\frac\right)+2>+\frac<3*left(-\frac\right)-2>=\frac<3\left( -\frac\right)^2+6\left(-\frac\right)><4-9\left(-\frac\right)^2>;$$ Виявляється, що ми не зможемо це порахувати, так як в знаменнику виходить нуль, а ділити на нуль не можна. У такому разі кажуть, що знайдений корінь не підходить, і ми його не записуємо. А якщо підставити $-\frac$, то все буде нормально.
Відповідь:$x=-\frac.$

Область допустимих значень. ОДЗ

Приклади вище показали нам, що не завжди знайдені значення (x) будуть корінням вихідного рівняння.

Чому так відбувається?

Коли ми вирішуємо рівняння, ми перетворюємо його: переносимо доданки з однієї частини рівняння до іншої, приводимо до спільного знаменника, вважаємо подібні доданки, позбавляємося знаменника і т.д. Ці перетворення змінюють вигляд нашого рівняння. У новому зміненому рівнянні "зникає" інформація, наприклад, про те, що в ньому раніше був знаменник.

Тому ми підставляли знайдені $x$ у ВИХІДНЕ рівняння, щоб перевірити, чи дійсно вони є корінням, і чи не порушуються правила математики, такі, як поділ на нуль.

Але рішень у рівнянні може бути багато, та й саме рівняння може бути більшим і складним. Підставляти туди кожен знайдений корінь і перевіряти, чи він є коренем вихідного рівняння, може бути проблематично.

Щоб не займатися трудомісткою підстановкою, найкраще знаходити область значень (x) (ще її називають область визначення), при яких не порушуються правила математики для вихідного рівняння. І вже на цій області (x) шукати коріння: якщо знайдений корінь лежить у дозволеній області, значить він може бути коренем, а якщо ні, то викидаємо його.

Дозволена область значень (x) називається «областю допустимих значень», скорочено ОДЗ. Щоб знайти ОДЗ в дробово-раціональних рівняннях, потрібно прирівняти до нуля всі знаменники вихідного рівняння і вирішити рівняння, що вийшло. Інакше кажучи, шукаємо такі (x), у яких виникає заборонене поділ на нуль у вихідному рівнянні. Всі (x), які не є корінням цих рівнянь, і будуть нашою областю допустимих значень.

Знайдемо ОДЗ рівняння з прикладу №9: $$\frac+\frac=\frac;$$ Виписуємо всі знаменники і знаходимо $x$, при яких вони не дорівнюють нулю: $$ \begin 3x+2 \neq 0, \ \ 3x-2 \neq 0, \ (2-3x)(2+3x) \neq 0. \end$$ Третя нерівність у системі зводиться до перших двох, тому його можна виключити з розгляду. $$ \begin x \neq -\frac, \ x \neq \frac. \end$$ Вирішивши нерівності, ми отримали, що $x$ може набувати будь-яких значень, крім $\frac$ і $-\frac$. Це і є ОДЗ.

Нагадаю, що в прикладі №9 у нас вийшло коріння $x_1=-\frac$ і $x_2=-\frac$. Співвідносимо їх зі знайденим ОДЗ і бачимо, що корінь (x_1=-frac) не підходить. Для цього нам не знадобилося підставляти його на вихідне рівняння, як ми робили при вирішенні.

Алгоритм розв'язання дробово-раціональних рівнянь із використанням ОДЗ

Знаходимо ОДЗ.Для цього виписуємо всі знаменники та прирівнюємо їх до нуля;
Вирішуємо дробово-раціональне рівняння: перекидаємо все в ліву частину, приводимо до спільного знаменника, наводимо подібні доданки, позбавляємося знаменника і вирішуємо ціле раціональне рівняння, що вийшло;
Перевіряємо, щоб знайдене коріння задовольняло ОДЗ. Якщо не задовольняють, то їх відкидаємо.

Приклад 11 $$\frac=1;$$ Починаємо рішення з ОДЗ: $$x^2-9 \neq 0;$$ Різниця квадратів: $$(x-3)(x+3) \neq 0;$$ Твір одно нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю: $$x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3;$$ $$x+3 \neq 0 \Rightarrow x\ \neq -3;$$ ОДЗ знайшли, приступаємо до вирішення самого рівняння: $$\frac-1=0;$$ Приводимо до спільного знаменника $x^2-9$, для цього одиницю представимо в вигляді дробу $(1=\frac)$ і домножимо його на $x^2-9$: $$\frac-\frac=0;$$ $$\frac=0;$$ $$\frac=0;$$ $$\frac=0;$$ $$x^2+7x+12=0;$$ $$D=7^2-4 *1*12=49-48=1;$$ $$x_1=\frac=\frac=-3;$$ $$x_2=\frac=\frac=-4;$$ Звіряємо знайдене коріння з ОДЗ $(x \neq \pm 3)$ і бачимо, що корінь $x_1=-3$ не задовольняє ОДЗ.
Відповідь: $x=-4.$

Приклад 12 $$\frac-\frac=0;$$ Завжди починаємо вирішувати з ОДЗ: $$ \begin x-1 \neq 0, \ x^2-3x+2 \neq 0. \end$$ $$ \begin x \neq 1, \ x \neq 2. \end$$ Щоб привести до спільного знаменника, розкладемо квадратний багаточлен у знаменнику другого дробу на множники: $$\frac-\frac=0;$$ Тепер видно, що спільний знаменник: $(x-1)(x-2)$. Домножимо перший дріб на $(x-2)$: $$\frac-\frac=0;$$ Якщо перемножити дужки в чисельнику, то вийде багаточлен третього ступеня.Вирішувати рівняння третього ступеня не хочеться, тому спробуємо спростити наше завдання: розкладемо на множники багаточлен (x^2-6x+8=(x-2)(x-4)\): $$\frac-\frac=0; $$ $$\frac=0;$$ Дроб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю: $$(x-2)^2(x-4)-(x-4)=0;$$ Винесемо загальний множник: дужку $(x-4)$: $$(x-4)((x-2)^2-1)=0;$$ $$(x-4)(x^2-4x+4-1 )=0;$$ $$(x-4)(x^2-4x+3)=0;$$ Твір дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю: $$x-4=0 \Rightarrow x_1 = 4; $ $ $$x^2-4x+3=0;$$ $$D=(-4)^2-4*1*3=16-12=4;$$ $$x_2=\frac>=\frac= 3;$$ $$x_3=\frac> =\frac=1;$$ Перевіряємо, щоб знайдене коріння задовольняло ОДЗ $(x \neq 1; \quad x \neq 2)$ і бачимо, що корінь $ x_3=1$ не підходить.
Відповідь: $x_1=4, \qquad x_2=3.$

Щоб навчитися вирішувати більшість рівнянь зі шкільної програми, необхідно також знати метод заміни змінної. Це дуже важливий метод, який використовується для вирішення деяких раціональних і дробово-раціональних рівнянь, і не тільки, тому він заслуговує на те, щоб поговорити про нього в окремій статті, дуже рекомендую.

Що якщо дріб дорівнює нулю