Як обчислити площу нерівної фігури – Як знайти площу нерівної фігури

Як знайти площу геометричної фігури за клітинами?

Припустимо, ми маємо довільну фігуру, побудовану на аркуші в клітку. Необхідно обчислити її площу.

Площа фігури за клітинами

Для того, щоб знайти площа будь-який фігури за клітинамиможна використовувати формулу Піка.

Дана формула заснована на підрахунку кількості вузлів, що лежать усередині фігури та на її кордоні.

Вузол - це точка, що лежить на перетині 2 ліній даної сітки: вертикальних та горизонтальних.

Площа фігури за клітинами знаходиться за формулою:

N — кількість вузлів, що знаходяться усередині фігури.

M — кількість вузлів, що знаходяться на кордонах (на вершинах та сторонах).

Приклади знаходження площі за клітинами

1) Знайдемо площу трикутника. Вважатимемо, що одна клітина — це 1 см.

Зазначимо внутрішні вузли та вузли, що знаходяться на кордонах.

M = 8 (вузли на границях).

Площа трикутника S = 7 + 8/2 - 1 = 10 см ².

2) Знайдемо площу трапеції за клітинами, одна клітина — це 1 см. Відзначимо всі вузли та підрахуємо їх кількість.

M = 12 (вузли на кордонах).

Площа трапеції S = 11 + 12/2 - 1 = 16 см ².

3) Знайдемо площу довільного багатокутника. Одна клітина – це 1 см.

Відзначимо внутрішні вузли та вузли, розташовані на межах фігури. Підрахуємо їхню кількість.

N = 6 (внутрішні вузли).

M = 8 (вузли на границях).

Площа багатокутника S = 6 + 10/2 - 1 = 10 см ².

Обчислення площ фігур, зображених на папері.

Під час підготовки до основного державного іспиту я зустрівся із завданнями, в яких потрібно обчислити площу фігури, зображеної на аркуші паперу.Як правило, ці завдання не викликають великих труднощів, якщо фігура є трапецією, паралелограмом або трикутником. Досить добре знати формули обчислення площ цих фігур, порахувати кількість клітинок і обчислити площу. Якщо фігура є деяким довільним багатокутником, то тут необхідно використовувати особливі прийоми. Мене зацікавила ця тема. І природно виникли питання: де у повсякденному житті можуть виникнути завдання на обчислення площ на папері? У чому особливість таких завдань? Чи існують інші методи або універсальна формула для обчислення площ геометричних фігур, зображених на папері?

Вивчення спеціальної літератури та інтернет джерел показало, що існує універсальна формула, що дозволяє обчислити площу фігури, зображеної на клітці. Ця формула називається формулою Піка. Однак, у рамках шкільної програми дана формула не розглядається, незважаючи на свою простоту у застосуванні та отриманні результату. Більше того, мною проведено опитування друзів та однокласників (у двох формах: за особистої бесіди та соціальних мереж), в якому взяли участь 43 учні шкіл міста Тобольська. Дане опитування показало, що лише одна людина (учень 11 класу) знайома з формулою Піка для обчислення площ.

Нехай задана прямокутна система координат. У цій системі розглянемо багатокутник, який має цілі координати. У навчальній літературі точки з цілими координатами називаються вузлами. Причому багатокутник не обов'язково має бути опуклим. І нехай потрібно визначити його площу.

Можливі такі випадки.

1. Фігура являє собою трикутник, паралелограм, трапецію:

1) підраховуючи клітини необхідно визначити висоту, діагоналі або сторони, які потрібні для обчислення площі;

2) підставити знайдені величини формулу площі.

Наприклад, потрібно обчислити площу фігури, зображеної малюнку 1 з розміром клітини 1см на 1 див.

Рішення. Підраховуємо клітини і знаходимо: . За формулою отримуємо: .

2 Фігура є багатокутником

Якщо фігура є багатокутником, то можна використовувати такі методи.

1) розбити багатокутник на трикутники, прямокутники;

2) обчислити площі одержаних фігур;

3) визначити суму всіх площ отриманих фігур.

Наприклад, потрібно обчислити площу фігури, зображеної малюнку 2 з розміром клітини 1см на 1 см методом розбиття.

Рішення. Способів розбиття існує безліч. Ми розіб'ємо фігуру на прямокутні трикутники і прямокутник, як показано на малюнку 3.

Мал. 3. Багатокутник. Метод розбиття

Площі трикутників рівні: , , , Площа прямокутника - . Складаючи площі всіх фігур отримаємо:

Метод додаткової побудови

1) добудувати фігуру до прямокутника

2) знайти площі отриманих додаткових фігур та площу самого прямокутника

3) від площі прямокутника відняти площі всіх «зайвих» фігур.

Наприклад, потрібно обчислити площу фігури, зображеної малюнку 2 з розміром клітини 1см на 1 см методом додаткової побудови.

Рішення. Добудуємо нашу фігуру до прямокутника, як показано на малюнку 4.

Мал. 4. Багатокутник. Метод доповнення

Площа великого прямокутника дорівнює , прямокутника, розташованого всередині - , площі «зайвих» трикутників - , , Тоді площа шуканої фігури .

При обчисленні площ багатокутників на картатому папері можливо використовувати ще один метод, який носить назву формула Піка на прізвище вченого, який її відкрив.

Нехай у багатокутника, зображеного на картатому папері, лише цілочисленні вершини. Точки у яких обидві координати цілі називаються вузлами ґрат. Причому багатокутник може бути як опуклим, так і непуклим.

Площа багатокутника з цілими вершинами дорівнює , де B - кількість цілих точок всередині багатокутника, а Г - кількість цілих точок на межі багатокутника.

Наприклад, для багатокутника, зображеного малюнку 5.

Мал. 5. Вузли у формулі Піка

Наприклад, потрібно обчислити площу фігури, що зображена на малюнку 2 з розміром клітини 1см на 1 см за формулою Піка.

Мал. 6. Багатокутник. Формула Піка

Рішення. На малюнку 6: В=9, Г=10, тоді за формулою Піка маємо:

Нижче наведено приклади деяких завдань, розроблених автором на обчислення площ фігур, зображених на папері.

1. У дитсадку діти зробили аплікації батькам у подарунок (рис.7). Знайдіть площу аплікації. Розмір кожної клітини дорівнює 1см  1см.

Мал. 7. Умова задачі 1

2. Один гектар ялинових насаджень може затримувати на рік до 32 т пилу, соснових – до 35 т, в'яза – до 43 т, дуба – до 50 т. Бука – до 68 т. Порахуйте, скільки тонн пилу затримає ялинник за 5 років. План ялинника зображено малюнку 8 (масштаб 1 див. — 200 м.).

Мал. 8. Умова задачі 2

3. В орнаментах хантів та мансі, переважають геометричні мотиви. Часто зустрічаються стилізовані зображення тварин. На малюнку 9 зображено фрагмент мансійського орнаменту "Заячі вушка". Обчисліть площу зафарбованої частини орнаменту.

Мал. 9. Умова задачі 3

4. Потрібно пофарбувати стіну заводської будівлі (рис. 10).Розрахуйте потрібну кількість водоемульсійної фарби (у літрах). Витрата фарби: 1 літр на 7 кв. метрів Масштаб 1см - 5м.

Мал. 10. Умова задачі 4

5. Зірчастий багатокутник - плоска геометрична фігура, складена з трикутних променів, що виходять із загального центру, що зливаються в точці сходження. На особливу увагу заслуговує п'ятикутна зірка — пентаграма. Пентаграма – це символ досконалості, розуму, мудрості та краси. Це найпростіша форма зірки, яку можна зобразити одним розчерком пера, жодного разу не відірвавши його від паперу і при цьому жодного разу не пройшовши двічі по одній лінії. Намалюйте п'ятикутну зірочку не відриваючи олівця від аркуша картатого паперу, так, щоб всі кути багатокутника, що вийшов, знаходилися у вузлах клітини. Обчисліть площу отриманої фігури.

Проаналізувавши математичну літературу і розібравши велику кількість прикладів на тему дослідження, я дійшов висновку, що вибір методу обчислення площі фігури на папері залежить від форми фігури. Якщо фігура є трикутником, прямокутником, паралелограмом або трапецією, то зручно скористатися всіма відомими формулами для обчислення площ. Якщо фігура є опуклим багатокутником, то можна використовувати як метод розбиття, так і доповнення (у більшості випадків зручніше — метод доповнення). Якщо фігура є неопуклим або зірчастим багатокутником, то зручніше застосувати формулу Піка.

Оскільки формула Піка є універсальною формулою для обчислення площ (якщо вершини багатокутника знаходяться у вузлах ґрат), то її можна використовувати для будь-якої фігури.Однак, якщо багатокутник займає досить велику площу (або клітини дрібні), то велика ймовірність припуститися помилки в підрахунках вузлів решітки. ), а результат перевірити за формулою Піка.

1. Вавілов В. В., Устинов А. В. Багатокутники на гратах. - М.: МЦНМО, 2006. - 72 с.
2. Васильєв І. Н. Навколо формули Піка// Науково-популярний фізико-математичний журнал «Квант» - 1974. - № 12. Режим доступу: http://kvant.mccme.ru/1974/12/vokrug_formuly_pika.htm
3. Жарковська Н., Рісс Е. Геометрія картатого паперу.// Перше вересня.

Площа криволінійної трапеції, обмеженої зверху графіком функції, ліворуч і праворуч — прямими.

Знизу - віссю (рис. 17.9), обчислюється за формулою

Площа криволінійної трапеції (рис. 17.10), обмеженої праворуч

Графіком функції, зверху та знизу – відповідно прямими

, ліворуч - віссю, визначається формулою

Площа криволінійної фігури, обмеженої зверху графіком

Функції, знизу – графіком функції, зліва та справа

Прямими (рис. 17.11), обчислюється за такою формулою

Площа фігури Обмеженої зліва і праворуч відповідно гра

Фіками функцій, знизу та зверху - прямими

(рис. 17.12), визначається формулою

Якщо лінія, що обмежує криволінійну трапецію зверху, задана параметричними рівняннями

Площа сектора (рис. 17.13), обмеженого дугою лінії, заданої рівнянням у полярних координатах, та двома полярними радіусами

І, відповідно до значень, визначається формулою

Приклад 17.13. Знайти площу фігури, обмеженою лінією та віссю.

Щоб визначити межі інтегрування, знайдемо точки перетину лінії (параболи) із віссю (рис. 17.14). Вирішуючи систему рівнянь

За формулою (17.26) знаходимо

Приклад 17.14. Знайти площу фігури, обмеженою лінієюІ віссю

Ця фігура є криволінійною трапецією, що прилягає до осі (див. рис. 17.15). Знайдемо точки перетину лінії з віссю, навіщо вирішимо систему рівнянь. З цієї системи отримуємо

; це означає, що у формулі (17.27), якою тут необхідно користуватися, потрібно покласти

Примір 17.5, Обчислити площу фігури, обмеженою лініями

Дана фігура обмежена зверху дугою еліпса Знизу - дугою пара

Площу обчислимо за формулою (17.28).

Вирішуючи систему рівнянь знаходимо - абсциси точок пе

Розсічення заданих ліній; отже,

’ Кожне з рівнянь дозволяємо

(У формулі (17.28) через позначено функцію, графік якої обмежує фігуру зверху.)

Таким чином, потрібна площа

Для обчислення першого інтеграла застосуємо підстановку, тоді

Приклад 17.16. Обчислити площу області, обмежену еліпсом

У силу симетрії еліпса щодо координатних осей достатньо обчислити площу частини області, що лежить у першій чверті, і результат помножити на 4. Зауважимо, що в цьому випадку Змінюється від 0 до Тому Буде змінюватися від До 0. За формулою (17.30) знаходимо

Зауваження. В окремому випадку, коли, отримуємо-

Площа кола радіусу

Приклад 17.17. Обчислити площу області, обмеженою лемніскатою

Беручи до уваги симетрію лінії щодо її осі (див. п. 2.10), за формулою (17.31) отримуємо

Розрахунок площі кімнати: способи, формули, приклади

Процедура проведення ремонту у приміщенні вимагає обов'язкового розрахунку площі стін, стелі та підлоги.Так як під час купівлі будівельних матеріалів ці значення допомагають не помилитися в їхній кількості. Про способи та приклади розрахунку площі приміщення поговоримо далі.

Зміст:

1. Причини проведення розрахунку площі кімнати
2. Площа кімнати: проведення розрахунку площі підлоги
3. Визначення площі прямокутної кімнати та стелі
4. Яка площа кімнати в якій є ніші та виступи
5. Як визначити площу кімнати з нерівними стінами
6. Як вирахувати площу кімнати, в якій є багаторівнева стеля
7. Визначення загальної площі кімнати
8. Визначення мінімальної площі кімнати
9. Оптимальна площа кімнати

Причини проведення розрахунку площі кімнати

Існує велика кількість причин, з яких визначається площа стін, стелі чи підлоги у приміщенні. У деяких випадках необхідні дані про загальну площу кімнати. Пропонуємо ознайомитися з причинами визначення площі кімнати або окремих її частин, що найчастіше зустрічаються:

• якщо плануються роботи зі встановлення підвісних стель, необхідно визначити загальну площу стелі, визначення кількості матеріалів, використовуваних під час проведення робіт;

• при установці натяжних стель також потрібно обчислити загальну площу стелі, щоб попередньо спланувати матеріальні засоби;
• для фарбування або обробки стелі також слід знати його площу, практично всі лакофарбові вироби та ґрунтовки мають у технічних характеристиках показник витрати на один квадратний метр;
• оздоблення стін гіпсокартоном вимагає обчислення загальної площі стін для купівлі потрібної кількості матеріалу;
• при наймі будівельників, наприклад, для обробки підлоги плиткою, кожен квадратний метр має певну вартість, яка вважається в кінці виконання робіт;
• При продажу будинку або при його оформленні такий параметр як житлова площа, площа кухні та інших кімнат також є особливо важливим.

Площа кімнати: проведення розрахунку площі підлоги

Для визначення площі підлоги є різні причини: ремонт та купівля матеріалів для її обробки, проведення теплоізоляції, обчислення корисної площі тощо.

Найпростіше визначити площу приміщення квадратної чи прямокутної форми. У такому разі знадобиться значення довжини та ширини підлоги, які множаться один на одного. Даний варіант не вимагає звільнення приміщення від шаф та інших меблів. Достатньо просто виміряти відстань. Однак, за наявності каміна в кімнаті, слід його площу відняти від загального отриманого результату.

У принципі, всі предмети, які знаходяться на підлозі постійно і не мають можливості в переміщенні, наприклад, шафи, що вбудовуються, обчислюються із загальної площі підлоги.

Більш складним є розрахунок площі підлоги в приміщенні, яке має неправильну форму. Стандартні кімнати звичайно мають форму прямокутника або квадрата, хоча існують приміщення з різного роду нішами, поглибленнями, арками, виступами і т.д. Такий варіант підрахунку площі підлоги складніший, оскільки вимагає обчислення площі фігур, що входять до складу приміщення окремо.

Для обчислення загальної площі слід розбити простір кілька правильних фігур, як прямокутників, трапецій, квадратів тощо. Наприклад, якщо приміщення має г-подібну форму, достатньо його розділити на два прямокутники, обчислити площу кожного з них і підсумовувати отримані результати.

Якщо приміщення має г-подібну форму, проте вона проходить не під прямим кутом, то крім двох прямокутників у ньому ще є трикутний простір, площа якого також обчислюється. Для обчислення площі трикутника достатньо катет помножити на інший.

За наявності напівкруглих фрагментів у вигляді циліндричних або сегментних частинок розрахунки ускладнюються. Для розрахунку площі підлоги в такій кімнаті потрібно розділити простір на кілька частин, площа яких обчислюється окремо.

Бувають варіанти приміщень, які мають різні рівні підлоги, тобто височини чи ухили. Таким чином приміщення розділяється на кілька зон. Наприклад, у кухні виділяється їдальня та робоча частини. Те саме і буває зі стелею, наприклад, багаторівневим. Для обчислення площі підлоги з уступами або височинами, слід знову ж таки розділити простір на частини у вигляді прямокутників або квадратів, а ті самі виступи, виміряти лінійкою і обчислити їх площу. У такий спосіб вдасться провести розрахунок загальної площі приміщення.

Зверніть увагу, що в такому випадку краще використовувати рулетку, яка встановлюється поблизу основи. Крім того, знадобиться олівець і зошит, для записування всіх значень. У результаті, покупка фарби та визначення кількості оздоблювального матеріалу для підлоги виконається швидко.

Не виконуйте виміри по стіні, оскільки вона може бути кривою і призведе до виникнення неточності у процесі визначення площі підлоги. Особливою складністю відрізняються роботи з визначення площі підлоги, на якій є уступи у вигляді півкола або хвилі.Дана ситуація передбачає вимірювання кожної з дуг, знаходження радіусів та подрібнення площі на кілька геометричних фігур. За допомогою визначення площі кожної з них обчислюється загальна формула асиметричного сегмента.

Визначення площі прямокутної кімнати та стелі

Прямокутне приміщення є найбільш типовим варіантом, що часто зустрічається. Для розрахунку площі достатньо довжину приміщення помножити на його ширину. Наприклад, якщо довжина кімнати становить 3,40 м, а її ширина 5,20 м, то для визначення площі стелі достатньо 3,40х5,20, в результаті вийде 17, 68 квадратних метрів площі. Для розрахунку периметра стелі використовується інша формула, яка передбачає суму подвоєних її довжини та ширини. Тобто, периметр стелі дорівнює 2х3, 40 +2 х5, 20 = 17,2 м.

Тому в процесі закупівлі профілів потрібно 17,2 метра матеріалу. Однак, рекомендується, навіть при проведенні найточніших розрахунків, купувати матеріал із запасом у 10-15 відсотків, для компенсації різноманітних механічних пошкоджень та стиків.

Яка площа кімнати в якій є ніші та виступи

Для визначення площі такого приміщення слід добряче попрацювати і виконати такі дії:

1. Зробіть проект кімнати з урахуванням конструктивних особливостей.

2. Виміряйте та позначте значення висоти та довжини по всіх рівних стінах.

3. За допомогою лінійки та косинця розділіть простір на кілька зон у вигляді правильних фігур.

4. Кожну зі сторін фігури слід виміряти та позначити у проекті.

5. Згідно з формулою для розрахунку площі фігури визначте значення кожної з них та підсумуйте отримані результати.

Як визначити площу кімнати з нерівними стінами

За наявності приміщення, в якому стіни мають вигляд багатогранників або непрямих непропорційних фігур, розрахунки проводити набагато складніше. Виміряти периметр у такому приміщенні досить просто. Слід використовувати рулетку та пройти з нею по всій кімнаті, вимірюючи кожну з ділянок окремо.

Площа кімнати визначається шляхом проведення замальовок та проектування приміщення. Після того, як ескіз готовий, розбиваємо простір таким чином, щоб отримати максимальну кількість пропорційних фігур у вигляді квадрата, трикутника чи прямокутника.

Для того, щоб визначити площу сегмента, який має форму прямокутника з однаковими ребрами, достатньо виміряти величину катетів, які множаться між собою та поділяються навпіл. Тобто для визначення площі трикутного сегмента з катетами 0,5 і 0,9 м слід провести такі розрахунки:

0,5 х0, 9/2 = 0,225 метра квадратних.

Як вирахувати площу кімнати, в якій є багаторівнева стеля

Стеля, на якій є уступи, розрахувати складніше, проте цілком реально. Існують багатоярусні стелі, які мають форму прямих ліній їх розрахунок проводити легко, але бувають такі конструкції, які вимагають особливої ​​уваги, так як вони складаються з дуго-або хвилеподібних фрагментів для розрахунку яких потрібно докласти особливих зусиль.

Розраховувати кожну з ділянок занадто довго і витратно, тим більше, що в результаті вийде не завжди правильний результат. Адже дуги, сконструйовані на стелі, можуть бути довільними.

Найпростіше визначити площу кімнати за загальною площею підлоги. Для цього слід виконати ряд дій:

1. Виміряйте всі прямі ділянки стін.

Переважно проводити виміри ближче до стелі, оскільки довжина стіни зверху та знизу приміщення може відрізнятися.

2. Визначте площу підлоги за раніше вказаними способами.

3. На кожній з вертикальних ділянок виміряйте їх висоту та довжину та помножте ці показники.

4. Додайте їх до загального значення площі підлоги.

Визначення загальної площі кімнати

Для того, щоб відповісти на питання, як дізнатися площу кімнати в квадратних метрах, пропонуємо ознайомитися з інструкцією, яка допоможе виконати це завдання:

1. Подбайте про очищення простору біля стін.

Стіни кімнати мають бути у вільному доступі. Таким чином, підвищиться правильність та точність виміру. При можливості краще звільнити приміщення цілком, оскільки у проведенні певних розрахунків потрібно буде вимірювати і центральні ділянки.

2. Визначте у приміщенні ділянки, що мають правильну форму.

Якщо приміщення має вигляд прямокутника, то поділу воно не потребує. Інакше кімната поділяється на фігури у вигляді квадратів, півколів, трапецій, трикутників або прямокутників.

3. Зробіть ескіз приміщення, тому працювати стане легше.

Вимірювання площі кімнати потрібно виконувати за ескізом, на якому відзначаються всі виміри. Порада: За відсутності паперу та при необхідності проведення термінового виміру використовуйте клейку стрічку, яка кріпиться на кожну стіну.

4. Довжина та ширина кімнати, площа.

Кожна стіна має бути виміряна по ширині та довжині бажано двічі. Для того, щоб не вимірювати всю стіну повністю, її потрібно розбити на кілька фрагментів, а в результаті отримані результати підсумовувати.

Щоб переконатися у правильності проведення розрахунку, за наявності вільного часу, виміри проводяться двічі.

5.Визначте площу кожної з ділянок:

• площа прямокутника дорівнює множенню його довжини на ширину;
• площа квадрата, це з його сторін у квадраті;
• площа трикутника - висота і сторона, множаться між собою і отримане значення поділяється на два;
• площа кола число Пі множиться на радіус у квадраті.

6. Площі раніше визначених ділянок складаються між собою.

Визначення мінімальної площі кімнати

1. Ділянки як прямокутника.

За допомогою рулетки вимірюється довжина та ширина ділянки, вони множаться між собою. Дані найчастіше округляють до сантиметрів.

Площа цієї ділянки визначається шляхом множення однієї сторони трикутника на його висоту, тобто лінію, опущену з вершини трикутника, яка поділяє його на дві рівні частини. Отримане значення подвоюється.

3. Коло або півколо.

Визначення радіусу. Це значення переводиться в квадрат, множиться на число Пі. За наявності півкола значення поділяється на два.

Крім того, в інтернеті існують спеціальні онлайн калькулятори, що дозволяють провести всі розрахунки швидко та якісно. Для роботи з ними достатньо вибрати форму ділянки кімнати, виміряти її за допомогою рулетки та ввести дані. Програма сама проведе всі необхідні розрахунки та визначить площу.

Оптимальна площа кімнати

Кожна кімната має свій розмір, і під час планування будинку цей фактор враховується відповідно до їх призначення. Мінімальне значення площі звичайної житлової кімнати становить вісім квадратних метрів.

Площа загальної кімнати або вітальні має становити від 13 до 23 квадратних метрів. Спальня повинна розташовуватись у кутку будинку, і бути не прохідним приміщенням.

Мінімальна висота житлового приміщення – 240 см.Не рекомендується облаштовувати кімнати з висотою більше 300 см, тому що вони зовсім непрактичні, для їхнього обігріву в зимовий час буде потрібно багато матеріальних вкладень.

Кожна кімната повинна відрізнятися наявністю природного освітлення. Мінімум 30% всіх стін повинні припадати на вікна.

Якщо житлова площа будинку або квартири складає від 15 до 55 метрів квадратних, то мінімальна площа кухні має бути 6 метрів квадратних.

Якщо кухня займає більше 10 квадратних метрів, можливий варіант її використання як їдальня або кімната для прийому гостей.

Для дитячої кімнати достатньо площі в 10-15 квадратних метрів. Найменшими повинні бути ванна і туалет.

Площа складних фігур — Пам'ятки з математики — Пам'ятки учням

Площа всієї фігури дорівнює сумі площ її частин.

Завдання: знайти площу городньої ділянки.

Оскільки фігура малюнку перестав бути ні квадратом, ні прямокутником, розрахувати її площу можна використовуючи правило вище.

Розділимо фігуру на два прямокутники, чиї площі ми можемо легко розрахувати за відомою формулою.

S_ABCE = AB • BC
S_EFKL = 10 • 3 = 30 м2
S_CDEF = FC • CD
S_CDEF = 7 • 5 = 35 м2

Щоб знайти площу всієї фігури, складемо площі знайдених прямокутників.

S = S_ABCE + S_EFKL
S = 30 + 35 = 65 м2

Відповідь: S = 65 м 2 – площа городньої ділянки.

Властивість нижче може знадобитися при вирішенні завдань на площу.

Діагональ прямокутника ділить прямокутник на два рівні трикутники.

Площа будь-якого з цих трикутників дорівнює половині площі прямокутника.

АС – діагональ прямокутника ABCD. Знайдемо площу трикутників ABC та ACD.

Спочатку знайдемо площу прямокутника за формулою.

S_ABCD = AB • BC
S_ABCD = 5 • 4 = 20 см 2

S _ABC = 20: 2 = 10 см 2

6 способів знайти площу трапеції

Трапеція — це геометрична фігура, яка має дві паралельні сторони, які називаються основами, і дві непаралельні сторони, які називаються бічними сторонами. Знайти площу трапеції можна у різний спосіб, залежно від відомих даних. У статті ми розглянемо шість різних способів розрахунку площі трапеції. Ці методи можуть бути корисними як для навчальних цілей, так і у повсякденному житті.

1. Як знайти площу трапеції через основи та висоту

Для розрахунку площі трапеції через основи та висоту використовується наступна формула:

S = ((a + b) * h) / 2

• S - площа трапеції,
• a і b - довжини основ,
• h – висота трапеції.

Щоб знайти площу трапеції, виміряйте довжини обох основ (a і b) і висоту (h), потім підставте значення формулу. Наприклад, якщо a = 5 см, b = 9 см та h = 4 см, то площа трапеції буде:

S = ((5 + 9) * 4) / 2 = 28 квадратних див.

Цей метод підходить, якщо відомі довжини обох основ та висота трапеції.

2. Як обчислити площу трапеції через висоту та середню лінію

Якщо відома висота трапеції та довжина її середньої лінії (середньої осі), можна використати таку формулу:

S = a * h

• S - площа трапеції,
• a - Довжина середньої лінії (середньої осі),
• h – висота трапеції.

Виміряйте довжину середньої лінії (a) і висоту (h), потім підставте значення формулу. Наприклад, якщо a = 7 см та h = 5 см, то площа трапеції буде:

S = 7 * 5 = 35 квадратних див.

Цей метод підходить, якщо відома висота та довжина середньої лінії трапеції.

3. Як знайти площу трапеції через діагоналі та кут між ними

Якщо відомі довжини діагоналей трапеції та кут між ними, можна скористатися такою формулою:

S = (d1 * d2 * sin (α)) / 2

• S - площа трапеції,
• d1 і d2 - довжини діагоналей трапеції,
• α - кут між діагоналями (у радіанах).

Виміряйте довжини обох діагоналей (d1 та d2) та кут α між ними, потім підставте значення у формулу. Наприклад, якщо d1 = 8 см, d2 = 10 см та α = 60 градусів, то площа трапеції буде:

S = (8 * 10 * sin (60 °)) / 2 ≈ 34.64 квадратних див.

Цей метод підходить, якщо відомі довжини діагоналей та кут між ними.

4. Як знайти площу трапеції через чотири сторони

Якщо відомі довжини всіх чотирьох сторін трапеції, можна використовувати формулу напівпериметра та радикала Герона для обчислення площі:

S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c) * (p - d))

• S - площа трапеції,
• a, b, c і d - Довжини сторін трапеції,
• p - напівпериметр (p = (a + b + c + d) / 2).

Виміряйте довжини всіх чотирьох сторін (a, b, c і d), потім обчисліть напівпериметр (p) і підставте значення формулу. Наприклад, якщо a = 6 см, b = 8 см, c = 10 см та d = 7 см, то площа трапеції буде:

p = (6 + 8 + 10 + 7) / 2 = 15.5 см

S = √(15.5 * (15.5 - 6) * (15.5 - 8) * (15.5 - 10) * (15.5 - 7)) ≈ 34.48 квадратних див.

Цей метод підходить, якщо відомі довжини всіх чотирьох сторін трапеції.

5. Як обчислити площу рівнобедреної трапеції через чотири сторони

Для рівнобедреної трапеції можна використовувати більш простий метод, якщо відомі довжини всіх чотирьох сторін (a, b, c та d):

S = (a + b) * h / 2

• S - площа рівнобедреної трапеції,
• a і b - довжини основ,
• h – висота трапеції.

Виміряйте довжини обох основ (a і b) і висоту (h), потім підставте значення формулу. Наприклад, якщо a = 6 см, b = 6 см і h = 5 см, то площа рівнобедреної трапеції буде:

S = (6 + 6) * 5 / 2 = 30 квадратних див.

Цей метод підходить для рівнобедрених трапецій, якщо відомі довжини обох основ та висота.

6. Як знайти площу рівнобедреної трапеції через радіус вписаного кола та кут

Для рівнобедреної трапеції можна використовувати інший метод, якщо відомий радіус вписаного кола (r) і кут при вершині (у градусах):

S = (r^2 * π * α) / 360

• S - площа рівнобедреної трапеції,
• r - радіус вписаного кола,
• α - кут при вершині трапеції (у градусах),
• π - число пі (приблизне значення 3.14159).

Виміряйте радіус вписаного кола (r) і кут α при вершині трапеції, потім підставте значення формулу. Наприклад, якщо r = 4 см та α = 60 градусів, то площа рівнобедреної трапеції буде:

S = (4 ^ 2 * 3.14159 * 60) / 360 ≈ 12.57 квадратних див.

Цей метод підходить, якщо відомий радіус вписаного кола та кут при вершині рівнобедреної трапеції.

Тепер ви знаєте шість різних способів знаходження площі трапеції, залежно від доступних даних. Використовуйте відповідний метод для вирішення завдань, пов'язаних з цією геометричною фігурою.