Гіперкуб

Ще коли я був студентом-першокурсником у мене з одним моїм одногрупником вийшла гаряча суперечка. Він казав, що чотиривимірний куб уявити не можна ні в якому вигляді, а я запевняв, що його можна уявити досить виразно. Тоді я навіть зробив із скріпок проекцію гіперкуба на наш тривимірний простір... Але давайте про все по-порядку.

Що таке гіперкуб та чотиривимірний простір

У нашому звичному просторі три виміри. З геометричної точки зору це означає, що в ньому можна вказати три взаємно-перпендикулярні прямі. Тобто для будь-якої прямої можна знайти другу, перпендикулярну до першої, а для пари можна знайти третю пряму, перпендикулярну до двох перших. Знайти четверту пряму, перпендикулярну до трьох наявних, вже не вдасться.

Чотиривимірний простір відрізняється від нашого лише тим, що в ньому є ще один додатковий напрямок. Якщо у вас вже є три взаємно перпендикулярні прямі, то ви можете знайти четверту, таку, що вона буде перпендикуляра всім трьом.

Гіперкуб це просто куб у чотиривимірному просторі.

Чи можна уявити чотиривимірний простір та гіперкуб?

Це питання схоже на питання: «чи можна уявити Тайну Вечерю, подивившись на однойменну картину (1495-1498) Леонардо да Вінчі (1452-1519)?»

З одного боку, ви звичайно не уявите те, що бачив Ісус (він сидить обличчям до глядача), тим більше ви не відчуєте запаху саду за вікном і смаку їжі на столі, не почуєте співу птахів… Ви не отримаєте повного уявлення про те, що відбувалося в той вечір, але не можна сказати, що ви не дізнаєтеся нічого нового і що картина не становить жодного інтересу.

Аналогічна ситуація і з питанням про гіперкуб.Цілком уявити його не можна, але можна наблизитися до розуміння, яким він є.

Побудова гіперкубу

0-мірний куб

Почнемо з початку – з 0-мірного куба. Цей куб містить 0 взаємно перпендикулярних граней, тобто це просто точка.

1-мірний куб

В одновимірному просторі ми маємо лише один напрямок. Зсуваємо точку в цьому напрямку та отримуємо відрізок.

2-мірний куб

У нас з'являється другий вимір, зрушуємо наш одномірний куб (відрізок) у напрямку другого виміру та отримуємо квадрат.

Це куб у двовимірному просторі.

3-мірний куб

З появою третього виміру чинимо аналогічно: зрушуємо квадрат і отримуємо звичайний тривимірний куб.

4-мірний куб (гіперкуб)

Тепер у нас з'явився четвертий вимір. Тобто у нашому розпорядженні є напрямок, перпендикулярний всім трьом попереднім. Скористаємося ним так само. Чотиривимірний куб виглядатиме ось так.

Звичайно, тривимірний і чотиривимірний куби не можна зобразити на двовимірній площині екрану. Те, що намалював я, — це проекції. Про проекції ми поговоримо трохи пізніше, а поки що трохи голих фактів і цифр.

Кількість вершин, ребер, граней

Зверніть увагу, що межею гіперкуба є наш звичайний тривимірний куб. Якщо уважно подивитися на малюнок гіперкуба, то можна знайти вісім кубів.

Проекції та зір мешканця чотиривимірного простору

Декілька слів про зір

Ми живемо у тривимірному світі, але бачимо його двовимірним.Це пов'язано з тим, що сітківка наших очей розташована в площині, що має лише два виміри. Саме тому ми здатні сприймати двовимірні картини та знаходити їх схожими на реальність. (Звичайно, завдяки акомодації, око може оцінити відстань до об'єкта, але це вже побічне явище, пов'язане з оптикою, вбудованою в наше око.)

Очі мешканця чотиривимірного простору повинні мати тривимірну сітківку. Така істота може відразу побачити тривимірну фігуру повністю: всі її межі та начинки. (Так само ми можемо побачити двовимірну фігуру, всі її грані і начинки.)

Таким чином, за допомогою наших органів зору ми не здатні сприйняти чотиривимірний куб так, як його сприймав би мешканець чотиривимірного простору. На жаль. Залишається тільки сподіватися на уявний погляд і фантазію, які, на щастя, не мають фізичних обмежень.

Проте, зображуючи гіперкуб на площині, я змушений робити його проекцію на двовимірний простір. Зважайте на цю обставину, при вивченні малюнків.

Перетину ребер

Звичайно, ребра гіперкуба не перетинаються. Перетини з'являються лише на малюнках. Втім, це не повинно викликати подиву, адже ребра звичайного куба на малюнках теж перетинаються.

Довжини ребер

Всі грані і ребра чотиривимірного куба рівні. На малюнку вони виходять не рівними тільки тому, що розташовані під різними кутами напряму погляду. Однак можна розгорнути гіперкуб так, що всі проекції матимуть однакову довжину.

До речі, на цьому малюнку виразно видно вісім кубів, які є гранями гіперкубу.

Гіперкуб усередині порожній

У це важко повірити, але між кубами, що обмежують гіперкуб, міститься деякий простір (фрагмент чотиривимірного простору).

Щоб це краще зрозуміти, розглянемо двовимірну проекцію звичайного тривимірного куба (я спеціально зробив її дещо схематичною).

Чи можна по ній здогадатися, що всередині куба є певний простір? Так, але тільки застосувавши уяву. Око цього простору не бачить. Це тому, що ребра, які у третьому вимірі (яке не можна зобразити на плоскому малюнку), тепер перетворилися на відрізки, що у площині малюнка. Вони більше не забезпечують обсягу.

Квадрати, що обмежують простір куба, наклалися один на одного. Але можна уявити, що у вихідній фігурі (тривимірному кубі) ці квадрати розташовувалися в різних площинах, а не один поверх іншого в одній площині, як це вийшло на малюнку.

Так само справа і з гіперкубом. Куби-грані гіперкуба насправді не накладаються, як це здається нам на проекції, а розташовуються у чотиривимірному просторі.

Розгортки

Отже, мешканець чотиривимірного простору може побачити тривимірний об'єкт одночасно з усіх боків. Чи можемо ми одночасно з усіх боків побачити тривимірний куб? Оком – ні. Але люди вигадали спосіб, як зобразити на плоскому малюнку всі грані тривимірного куба одночасно. Таке зображення називається розгорткою.

Розгортка тривимірного куба

Як утворюється розгортка тривимірного куба, всі напевно знають. Цей процес показано на анімації.

Для наочності краю граней куба зроблені напівпрозорими.

Слід зазначити, що ми здатні сприйняти цю двовимірну картинку лише завдяки уяві. Якщо розглянути фази розгортання з суто двомірної точки зору, то процес здаватиметься дивним і зовсім не наочним.

Він виглядає, як поступова поява спершу контурів спотворених квадратів, а потім їхнє розповзання на свої місця з одночасним прийняттям необхідної форми.

Якщо дивитися на куб, що розгортається в напрямку однієї з його граней (з цієї точки зору куб виглядає як квадрат), то процес утворення розгортки ще менш наочний. Все виглядає як виповзання квадратів із початкового квадрата (не розгорнутого куба).

Але не наочна розгортка тільки для око. Саме завдяки уяві з неї можна отримати багато інформації.

Розгортка чотиривимірного куба

Зробити анімований процес розгортання гіперкуба хоч наочним просто неможливо. Але цей процес можна уявити. (Для цього треба подивитися на нього очима чотиривимірної істоти.)

Тут видно всі вісім кубів, що обмежують гіперкуб.

Однаковими квітами пофарбовані грані, які мають поєднатися при згортанні. Сірими залишені грані для яких парних не видно. Після згортки верхня грань верхнього куба повинна поєднатися з нижньою гранню нижнього куба. (Аналогічно згортається розгортка тривимірного куба.)

Зверніть увагу, що після згортки всі грані восьми кубиків прийдуть у дотик, замкнувши гіперкуб. І нарешті, представляючи процес згортання, не забувайте, що при згортанні відбувається не накладення кубів, а обертання ними якоїсь (гіперкубічної) чотиривимірної області.

Сальвадор Далі (1904-1989) багато разів зображував розп'яття, а хрести фігурують у багатьох його картинах. На картині "Розп'яття" (1954) використовується розгортка гіперкуба.

Простір-час та евклідовий чотиривимірний простір

Сподіваюся, що вам вдалося уявити гіперкуб.Але чи вдалося вам наблизитися до розуміння, як влаштовано чотиривимірний простір-час у якому ми живемо? На жаль, не зовсім.

Тут ми говорили про евклідове чотиривимірне простір, але простір-час має зовсім інші властивості. Зокрема, при будь-яких поворотах відрізки залишаються завжди нахилені до осі часу або під кутом менше 45 градусів або під кутом більше 45 градусів.

Властивості простору часу я присвятив серію нотаток.

Тессеракт

Поточна версія сторінки поки не перевірялася досвідченими учасниками та може значно відрізнятися від версії, перевіреної 2 серпня 2023; перевірки вимагають 14 поправок.

Тессеракт (від грец. τέσσαρες ἀκτῖνες — «чотири промені») — чотиривимірний гіперкуб, аналог звичайного тривимірного куба в чотиривимірному просторі. Інші назви: 4-куб, тетракуб, восьмиячейник [ 1 ] , октахор (від др.-грец. οκτώ «вісім» + χώρος «місце, простір»), гіперкуб (якщо кількість вимірів не обумовлюється). Тессеракт - один із шести правильних багатоосередників у чотиривимірному просторі.

Згідно з Оксфордським словником, слово "тессеракт" було придумано Чарльзом Говардом Хінтоном (1853-1907) і вперше використано в 1888 році в його книзі "Нова ера думки".

Геометрія

Звичайний тессеракт в евклідовому чотиривимірному просторі визначається як опукла оболонка крапок (±1, ±1, ±1, ±1).Інакше кажучи, він може бути представлений у вигляді наступної множини:

Тессеракт обмежений вісьмома гіперплощинами x i = ± 1 , i = 1 , 2 , 3 , 4 = \ pm 1, \; . Кожна пара непаралельних тривимірних граней перетинається, утворюючи двовимірні грані (квадрати), і таке інше. Остаточно, тессеракт має 8 тривимірними гранями, 24 двовимірними, 32 ребрами та 16 вершинами.

Чотиривимірний гіпероб'єм тесеракту зі стороною довжини a розраховується за формулою:
V 4 = a 4 =a^>

Об'єм гіперповерхні тесеракту можна знайти за формулою:
V 3 (hypersurface) = 8 a 3 (>) = 8a^>

Радіус описаної гіперсфери:
R = a

Радіус вписаної гіперсфери:
r = a 2 >>

Популярний опис

Спробуємо уявити, як виглядатиме гіперкуб, не виходячи з тривимірного простору.

У одновимірному «просторі» — лінії — виділимо відрізок АВ довжиною L. На двовимірної площині з відривом L від АВ намалюємо паралельний йому відрізок DC і з'єднаємо їх кінці. Вийде квадрат CDBA. Повторивши цю операцію із площиною, отримаємо тривимірний куб CDBAEGHF. А зсунувши куб у четвертому вимірі (перпендикулярно першим трьом) на відстань L, ми отримаємо гіперкуб CDBAGHFEKLJIOPNM.

Побудова тесеракту на площині Розгортка тесеракту

Одновимірний відрізок АВ є стороною двовимірного квадрата CDBA, квадрат — стороною куба CDBAEGHF, який, у свою чергу, буде стороною чотиривимірного гіперкуба. Відрізок прямий має дві граничні точки, квадрат – чотири вершини, куб – вісім. У чотиривимірному гіперкубі, таким чином, виявиться 16 вершин: 8 вершин вихідного куба і 8 зрушеного в четвертому вимірі.Він має 32 ребра - по 12 дають початкове і кінцеве положення вихідного куба, і ще 8 ребер "намалюють" вісім його вершин, що перемістилися в четвертий вимір. Ті ж міркування можна виконати і для граней гіперкуба. У двовимірному просторі вона одна (сам квадрат), у куба їх 6 (по дві грані від квадрата, що перемістився, і ще чотири опишуть його сторони). Чотиривимірний гіперкуб має 24 квадратні грані — 12 квадратів вихідного куба у двох положеннях та 12 квадратів від дванадцяти його ребер.

Як сторонами квадрата є 4 одновимірні відрізки, а сторонами (гранями) куба є 6 двомірних квадратів, так і для «чотиривимірного куба» (тесеракта) сторонами є 8 тривимірних кубів. Простір протилежних пар кубів тессеракта (тобто тривимірні простори, яким ці куби належать) паралельні. На малюнку це куби: CDBAEGHF та KLJIMOPN, CDBAKLJI та GHFEOPNM, EFBAMNJI та GHDCOPLK, CKIAGOME та DLJBHPNF.

Аналогічним чином можна продовжити міркування для гіперкубів більшої кількості вимірювань, але набагато цікавіше подивитися, як для нас, мешканців тривимірного простору, виглядатиме чотиривимірний гіперкуб. Скористаємося для цього вже знайомим методом аналогій.

Візьмемо дротяний куб ABCDHEFG і подивимось на нього одним оком з боку грані. Ми побачимо і можемо намалювати на площині два квадрати (ближню та далеку його грані), з'єднані чотирма лініями – бічними ребрами. Аналогічним чином чотиривимірний гіперкуб у просторі трьох вимірів буде виглядати як два кубічні «ящики», вставлені один в одного і з'єднані вісьмома ребрами.При цьому самі «ящики» — тривимірні грані — проектуватимуться на «наш» простір, а лінії, що їх з'єднують, простягнуться у напрямку четвертої осі. Можна спробувати уявити собі куб над проекції, а просторовому зображенні.

Подібно до того, як тривимірний куб утворюється квадратом, зрушеним на довжину грані, куб, зрушений у четвертий вимір, сформує гіперкуб. Його обмежують вісім кубів, які в перспективі виглядатимуть як досить складна фігура. Сам же чотиривимірний гіперкуб складається з нескінченної кількості кубів, подібно до того, як тривимірний куб можна «нарізати» на нескінченну кількість плоских квадратів.

Розрізавши шість граней тривимірного куба, можна розкласти його на плоску фігуру — розгортку. Вона матиме по квадрату з кожного боку вихідної грані плюс ще один - грань, протилежну їй. А тривимірна розгортка чотиривимірного гіперкуба складатиметься з вихідного куба, шести кубів, що «виростають» із нього, плюс ще одного — кінцевої «гіперграні».

Властивості тесеракта є продовженням властивостей геометричних фігур меншої розмірності в чотиривимірний простір.

Розгортки тесеракту

Аналогічно тому, як поверхня куба може бути розгорнута в багатокутник, що складається з шести квадратів, поверхня тессеракта може бути розгорнута тривимірне тіло, що складається з восьми кубів [2].

Існує 261 розгортка тесеракта [3]. Розгортки гіперкуба можуть бути знайдені перерахуванням «здвоєних дерев», де «здвоєне дерево» (paired tree) - це дерево з парною кількістю вершин, які розбиті на пари так, що жодна пара не складається з двох суміжних вершин.Між «здвоєними деревами» з 8 вершинами та розгортками тессеракта існує взаємно однозначна відповідність.

Хрестоподібна розгортка тесеракта є елементом картини Сальвадора Далі «Corpus Hypercubus» (1954) [5].

У оповіданні Роберта Хайнлайна «Будинок, який побудував Тіл», каліфорнійський архітектор Квінтус Тіл будує будинок у формі розгортки гіперкуба, який під час землетрусу складається в тесеракт [5].

Проекції

На двовимірний простір

Дана структура складна для уяви, але можливо спроектувати тессеракт у двовимірні або тривимірні простори. Крім того, проеціювання на площину дозволяє легко зрозуміти розташування вершин гіперкубу. зв'язку вершин, як у попередніх прикладах:

На тривимірний простір

Одна з проекцій тесеракта на тривимірний простір являє собою два вкладені тривимірні куби, відповідні вершини яких з'єднані між собою відрізками. Внутрішній та зовнішній куби мають різні розміри у тривимірному просторі, але у чотиривимірному просторі це рівні куби. Для розуміння рівності всіх кубів тессеракта була створена модель тессеракта, що обертається.

• Шість усічених пірамід по краях тессеракта - це зображення рівних шести кубів. Однак ці куби для тессеракта як квадрати (грані) для куба. Але насправді тессеракт можна розділити на нескінченну кількість кубів, як куб на нескінченну кількість квадратів, або квадрат на нескінченну кількість відрізків.

Ще одна цікава проекція тесеракта на тривимірне простір є ромбододекаедр з проведеними чотирма його діагоналями, що з'єднують пари протилежних вершин при великих кутах ромбів. При цьому 14 з 16 вершин тессеракта проектуються в 14 вершин ромбододекаедра, а проекції 2 збігаються в його центрі. У такій проекції тривимірне простір зберігаються рівність і паралельність всіх одновимірних, двовимірних і тривимірних сторін.

Стереопара

Стереопара тесеракт зображується як дві проекції на площину одного з варіантів тривимірного подання тесеракт. Стереопара розглядається так, щоб кожне око бачив лише одне з цих зображень, виникає стереоскопічний ефект, що дозволяє краще сприйняти проекцію тесеракту на тривимірний простір.

Тессеракт у культурі

• У оповіданні «Будинок, який збудував Тіл» (англ.And He Built a Crooked House; «І побудував він собі скрючений хатинку») Роберта Хайнлайна описаний восьмикімнатний будинок у формі розгорнутого тесеракту.
• Розповідь Генрі Каттнера «Всі теналі борогові» (англ. Mimsy Were the Borogoves) описує розвиваючу іграшку для дітей з далекого майбутнього, за будовою схожу на тессеракт.
• В оповіданні Роберта Шеклі «Міс Мишка і четвертий вимір» письменник-езотерик, знайомець автора, намагається побачити тессеракт, годинами дивлячись на сконструйований ним прилад: кулю на ніжці з застромленими стрижнями, на які насаджені куби, обклеєні всіма поспіль езотеричними. У оповіданні згадується праця Хінтона.
• У фантастичній розповіді Марка Кліфтона «На стрічці Мебіуса» діти-вундеркінди подорожують через простір та час, використовуючи моделі стрічки Мебіуса, пляшки Клейна та тесеракту.
• У Кінематографічному всесвіті MarvelТессеракт є артефактом-носієм одного з шести каменів нескінченності.
• Сюжет фільму Анджея Секули "Куб 2: Гіперкуб" розгортається всередині лабіринту з кімнат, поміщеного в гіперкуб.
• У науково-фантастичному фільмі «Інтерстеллар» головний герой Джозеф Купер і робот ТАРС після перетину горизонту подій Гаргантюа – надмасивної чорної діри – опиняються всередині масивного тесеракту, побудованого людьми майбутнього.
• Британська прогресив-рок група Tesseract, яка вважається одним з піонерів джент-напрямку в прогресивному металі, відрізняється складними композиціями зі змінними ритмами.

Примітки

1. ↑Д. До. Бобильов.Чотиривимірний простір // Енциклопедичний словник Брокгауза та Єфрона: в 86 т. (82 т. та 4 дод.). - СПб. , 1890-1907.
2. ↑Gardner, 1989, pp. 48-50.
3. ↑ Gardner, 1989, p.272: «Петер Турней, в його 1984 році paper "Unfolding the Tesseract", використовує графічну теорію до твору, що є 261 різниці unfoldings.".
4. ↑Peter Turney.Unfolding the Tesseract(англ.) // Journal of Recreational Mathematics: journal. - 1984-85. - Vol. 17, no. 1 . Архівовано 25 липня 2018 року.
5. ↑ 12Gardner, 1989, p.

Література

• Charles H. Хінтон. Fourth Dimension, 1904. ISBN 0-405-07953-2
• Gardner M.Mathematical Carnival. - Washington, DC: MAA, 1989. - P. 41-54, 272. - ISBN 0-88385-448-1.
• Ian Stewart, Concepts of Modern Mathematics, 1995. ISBN 0-486-28424-7
• Гальперін Г.А. Багатовимірний куб. - М. : МЦНМО, 2015. - 80 с. - ISBN 978-5-4439-0296-8.
• Дужин С., Рубцов Ст.Чотиривимірний куб // Квант. - 1986. - № 6. - С. 3-7.

Посилання

Англійською мовою

• Tesseract
• Cut The Knot! The Tesseract
• Charles Howard Hinton
• A four dimensional version of Rubik's Cube
• Fourth Dimension: Tetraspace
• Mushware Limited - програма виведення тесеракту (Tesseract Trainer, ліцензія сумісна з GPLv2) і шутер від першої особи в чотиривимірному просторі (Adanaxis; графіка, в основному, тривимірна; є версія під GPL в репозиторіях ОС).

• Моноедр (1) [англ.]
• Діедр (2)
• Тріедр (3)
• Тетраедр (4)
• Пентаедр (5)
• Гексаедр (6)
• Гептаедр (7) [англ.]
• Октаедр (8)
• Еннеаедр (9)
• Декаедр (10)
• Ендекаедр (11) [англ.]
• Додекаедр (12)
• Тридекаедр (13)
• Тетрадекаедр (14) [англ.]
• Пентадекаедр (15) [англ.]
• Гексадекаедр (16)
• Гептадекаедр (17) [англ.]
• Октадекаедр (18) [англ.]
• Еннеадекаедр (19)
• Ікосаедр (20)
• Ікосотетраедр (24) [кіт.]
• Тріаконтаедр (30)
• Гексаконтаедр (60) [англ.]
• Еннеаконтаедр (90) [англ.]
• Гектотріадіоедр (132) [англ.]
• Апейроедр (∞) [англ.]
• Осоедр

• Кубооктаедр
• Ікосододекаедр
• Усічений тетраедр
• Усічений октаедр
• Усічений ікосаедр
• Усічений куб
• Усічений додекаедр
• Ромбокубооктаедр
• Ромбоїкосододекаедр
• Усічений кубооктаедр
• Ромбоусічений ікосододекаедр
• Курносий куб
• Курносий додекаедр

• Ромбододекаедр
• Ромботріаконтаедр
• Тріакістетраедр
• Тетракісгексаедр
• Пентакісдодекаедр
• Тріакісоктаедр
• Тріакісікосаедр
• Дельтоїдальний ікосітетраедр
• Дельтоїдальний гексеконтаедр
• Гекзакісоктаедр
• Гекзакісікосаедр
• Пентагональний ікосітетраедр
• Пентагональний гексеконтаедр

• Трикутна призма
• Чотирикутна призма
• П'ятикутна призма
• Шестикутна призма
• Семикутна призма [англ.]
• Восьмикутна призма
• Дев'ятикутна призма [англ.]
• Десятикутна призма
• Одинадцятикутна призма [англ.]
• Дванадцятикутна призма [англ.]

• Квадратна піраміда
• П'ятикутна піраміда
• Трисхилий купол
• Чотирисхилий купол
• П'ятисхилий купол
• П'ятискатна ротонда
• Подовжена трикутна піраміда
• Подовжена чотирикутна піраміда
• Подовжена п'ятикутна піраміда
• Скручено подовжена чотирикутна піраміда
• Скручено подовжена п'ятикутна піраміда
• Трикутна біпіраміда
• П'ятикутна біпіраміда
• Подовжена трикутна біпіраміда
• Подовжена чотирикутна біпіраміда
• Подовжена п'ятикутна біпіраміда
• Скручено подовжена чотирикутна біпіраміда
• Подовжена трисхилий купол
• Подовжена чотирисхилий купол
• Подовжена п'ятискатна купол
• Подовжена п'ятискатна ротонда
• Скручено подовжений трисхилий купол
• Скручено подовжена чотирисхилий купол
• Скручено подовжений п'ятискатний купол
• Скручено подовжена п'ятискатна ротонда
• Гіробіфастігіум
• Трисхилий прямий бікупол
• Чотирисхилий прямий бікупол
• Чотирисхилий повернутий бікупол
• П'ятисхилий прямий бікупол
• П'ятисхилий повернутий бікупол
• П'ятискатна пряма куполоротонда
• П'ятискатна повернена куполоротонда
• П'ятискатна пряма біротонда
• Подовжений трисхилий прямий бікупол
• Подовжений трисхилий повернутий бікупол
• Подовжений квадратний гіробикупол
• Подовжений п'ятискатний прямий бікупол
• Подовжений п'ятискатний повернутий бікупол
• Подовжена п'ятискатна пряма куполоротонда
• Подовжена п'ятискатна повернена куполоротонда
• Подовжена п'ятискатна пряма біротонда
• Подовжена п'ятискатна повернена біротонда
• Скручено подовжений трисхилий бікупол
• Скручено подовжений чотирисхилий бікупол
• Скручено подовжений п'ятискатний бікупол
• Скручено подовжена п'ятискатна куполоротонда
• Скручено подовжена п'ятискатна біротонда
• Нарощена трикутна призма
• Двічі нарощена трикутна призма
• Тричі нарощена трикутна призма
• Нарощена п'ятикутна призма
• Двічі нарощена п'ятикутна призма
• Нарощена шестикутна призма
• Двічі протилежно нарощена шестикутна призма
• Двічі косо нарощена шестикутна призма
• Тричі нарощена шестикутна призма
• Нарощений додекаедр
• Двічі протилежно нарощений додекаедр
• Двічі косо нарощений додекаедр
• Тричі нарощений додекаедр
• Двічі косо відтятий ікосаедр
• Тричі відтятий ікосаедр
• Нарощений тричі відтятий ікосаедр
• Нарощений усічений тетраедр
• Нарощений усічений куб
• Двічі нарощений усічений куб
• Нарощений усічений додекаедр
• Двічі протилежно нарощений усічений додекаедр
• Двічі косо нарощений усічений додекаедр
• Тричі нарощений усічений додекаедр
• Скручений ромбоїкосододекаедр
• Двічі протилежно скручений ромбоїкосододекаедр
• Двічі косо скручений ромбоїкосододекаедр
• Тричі скручений ромбоїкосододекаедр
• Відтятий ромбоїкосододекаедр
• Протилежно скручений відтятий ромбоїкосододекаедр
• Косо скручений відтятий ромбоїкосододекаедр
• Двічі косо скручений відтятий ромбоїкосододекаедр
• Двічі протилежно відтятий ромбоїкосододекаедр
• Двічі косо відтятий ромбоїкосододекаедр
• Скручений двічі відтятий ромбоїкосододекаедр
• Тричі відтятий ромбоїкосододекаедр
• Плосконосий двокліноїд
• Плосконоса квадратна антипризму
• Клинокорона
• Нарощена клинокорона
• Велика клинокорона
• Сплощена велика клинокорона
• Підперезаний двоклинник
• Подвійна серпоротонда
• Сплощена трикутна кліноротонда

• Піраміда
• Біпіраміда
• Антипризму
• Зоноедр
• Паралелепіпед
• Ромбоедр
• Призматоїд
• Тетраедр
• Усічена піраміда
• Пентагондодекаедр
• Паралелоедр
• Купол
• Ротонда
• Біротонда
• Дельтаедр
• Трапецеромбічний додекаедр
• Додекаедр Білінського
• Циклічний багатогранник

• Символ Шлефлі
• Нотація Конвею
• Багатогранник Силаші
• Багатогранник Годинника
• Багатогранник Шенхардта
• Багатогранник, що згинається (Багатогранник Штеффена)
• Багатогранник Ханнера
• Холіедр
• Перестановний багатогранник
• Ортоцентричний тетраедр
• Рівногранний тетраедр
• Прямокутний паралелепіпед
• Група багатогранника
• Дванадцятигранники
• Тілесний кут
• Поодинокий куб
• Розгортка
• Паркет
• Скутоїд