2.2. Як обчислити об'єм тіла за допомогою потрійного інтегралу?

За допомогою потрійного інтеграла обчислити об'єм тіла, обмеженого поверхнями.

Будь ласка, перепишіть на папір наступний список:

і дайте відповідь на запитання: чи знаєте Ви, які поверхні задають ці рівняння? Чи зрозумілий Вам неформальний зміст цих рівнянь? Чи уявляєте Ви, як ці поверхні розташовані в просторі?

Якщо Ви схиляєтеся до загальної відповіді «швидше ні, ніж так», то обов'язково опрацюйте матеріали геометрії, які я рекомендував на попередній сторінці. Без цього далі нікуди.

Рішення: використовуємо формулу

Для того, щоб з'ясувати порядок обходу тіла і перейти до повторним інтегралам потрібно (все геніальне просто) зрозуміти, що це тіло. І такому розумінню в багатьох випадках здорово сприяють креслення.

За умовою, тіло обмежене кількома поверхнями. З чого почати шикування? Пропоную наступний порядок дій:

Спочатку зобразимо паралельну ортогональну проекцію тіла на координатну площину. Це тінь тіла, коли сонечко світить на нього зверху :).

Якщо проектування проводиться вздовж осі, то в першу чергу доцільно розібратися з поверхнями, які паралельні до цієї осі. Нагадую, що рівняння таких поверхонь не містять літери «зет». У нашому завданні їх три:

- Рівняння задає координатну площину, яка проходить через вісь;
- Рівняння задає координатну площину, яка проходить через вісь;
– рівняння задає площина, що проходить через «одноіменну» «плоску» пряму паралельно осі.

Виходячи з вищесказаного, шукана проекція, швидше за все, є наступним трикутником:

Можливо, не всі остаточно зрозуміли, про що йдеться. Уявіть, що з екрана монітора виходить вісь і втикається прямо у ваш перенісся (тобто. виходить, що Ви дивитеся на 3-мірний креслення зверху). Досліджуване просторове тіло знаходиться в нескінченному тригранному «коридорі», і його проекція на площину, найімовірніше, є заштрихованим трикутником.

Звертаю особливу увагу, що поки що ми висловили лише припущення про проекцію і застереження «найшвидше», «найімовірніше» були випадкові. Справа в тому, що проаналізовані ще не всі поверхні і може статися так, що якась із них «відтяпає» частину трикутника. Як наочний приклад напрошується сфера з центром на початку координат радіусом меншим одиниці, наприклад, сфера – її проекція на площину (коло ) не повністю «накриє» заштриховану область, і підсумкова проекція тіла буде зовсім не трикутником (коло «зріже» йому гострі кути).

На другому етапі з'ясуємо, чим тіло обмежене зверху, ніж знизу і виконаємо просторовий креслення. Повертаємося до умови завдання та дивимося, які поверхні залишилися. Рівняння задає саму координатну площину, а рівняння – параболічний циліндр, який розташований над площиною і проходить через вісь. Таким чином, проекція тіла дійсно є трикутником.

Акуратно зобразимо фрагмент параболічного циліндра та шукане тіло:

Після виконання креслень з порядком обходу тіла жодних проблем!

Спочатку визначимо порядок обходу проекції (при цьому НАЙЗручніше використовувати двовимірне креслення – див. вище). Це робиться АБСОЛЮТНО ТАК Ж, Як і в подвійних інтегралах! Згадуємо лазерну указку та «сканування» плоскої області.

Виберемо «традиційний» 1-й спосіб обходу:

Далі беремо до рук чарівний ліхтарик, дивимося на тривимірний креслення та строго знизу нагору просвічуємо пацієнта. Промені входять у тіло через площину і виходять із нього через поверхню. Таким чином, порядок обходу тіла:

Перейдемо до повторних інтегралів:

З інтегралами знову (ще раз знову) рекомендую розбиратися окремо:

1) Почати слід із самого нутра – «зетового» інтеграла:

Підставимо результат у «ігровий» інтеграл:

Що вийшло? По суті, рішення звелося до подвійного інтеграла, і саме – до формули об'єму циліндричного бруса! Подальше добре знайоме:

3) Останній інтеграл зручно взяти методом підведення під знак диференціалу - Ще раз загострюю увагу на цьому вигідному способі вирішення:

Обчислення завжди можна записати і «одним рядком»:

Але з цим способом будьте обережнішими – виграш у швидкості загрожує втратою якості, і чим важчий приклад, тим більше шансів припуститися помилки.

Відповімо на важливе технічне питання:

Чи потрібно робити креслення, якщо умова завдання не потребує їх виконання?

Можна піти чотирма шляхами:

1) Зобразити проекцію та саме тіло. Це найвиграшніший варіант - якщо є можливість виконати два пристойних креслення, не лінуйтеся, робіть обидва креслення. Рекомендую насамперед.

2) Зобразити лише тіло. Годиться, коли у тіла нескладна та очевидна проекція. Так, наприклад, у розібраному прикладі вистачило б і тривимірного креслення. Однак тут є і мінус – по 3D-картинці незручно визначати порядок обходу проекції, і цей спосіб я радив би тільки людям з хорошим рівнем підготовки.

3) Зобразити лише проекцію.Теж непогано, але тоді обов'язкові додаткові письмові коментарі, ніж обмежена область зверху та знизу.
На жаль, третій варіант часто буває вимушеним - коли тіло занадто великий або його побудова пов'язана з іншими труднощами. І такі приклади ми також розглянемо.

4) Обійтися взагалі без креслень. В цьому випадку потрібно представляти тіло подумки і закоментувати його форму/розташування письмово. Підходить для дуже простих тіл чи завдань, де виконання обох креслень важко. Але все ж таки краще зробити хоча б схематичний малюнок, оскільки «голе» рішення можуть і забракувати.

Наступне тіло для самостійної справи:

Приклад 33

За допомогою потрійного інтегралу обчислити об'єм тіла, обмеженого поверхнями

В даному випадку область інтегрування задана переважно нерівностями, і це навіть краще – безліч нерівностей задає 1-й октант, включаючи координатні площини, а нерівність задає напівпростір, що містить початок координат (перевірте) + саму площину. «Вертикальна» площина розтинає параболоїд по параболі і на кресленні бажано побудувати цей перетин. Для цього потрібно знайти додаткову опорну точку, найкраще – вершину параболи (розглядаємо значення та розраховуємо відповідне «зет»).

…Темний ліс? Вам сюди + сюди або сюди - Піднімаємо геометрію!

Зразок оформлення завдання наприкінці уроку.

Приклад 34

Обчислити за допомогою потрійного інтеграла об'єм тіла обмеженого зазначеними поверхнями. Виконати креслення.

Рішення: формулювання "виконати креслення" дає нам деяку свободу, але, швидше за все, передбачає виконання просторового креслення.Однак і проекція теж не завадить, тим більше вона тут не найпростіша.

Дотримуємося відпрацьованої раніше тактики, спочатку розберемося з поверхнями, паралельні осі аплікату. Рівняння таких поверхонь не містять явно змінну «зет»:
- Рівняння задає координатну площину , що проходить через вісь (вісь абсцис на площині визначається «одноіменним» рівнянням );
– рівняння задає площина, що проходить через «одноіменну» «плоську» пряму паралельно осі.

Але дві прямі не задають обмежену проекцію, і, очевидно, параболічний циліндр своїми лініями перетину з координатною площиною замикає пласку фігуру. Щоб з'ясувати їх рівняння, потрібно вирішити найпростішу систему:
Підставимо до першого рівняння: – отримано дві прямі, що лежать у площині та паралельні осі .

Зобразимо проекцію тіла на площину:

Ну а шукане тіло обмежене площиною знизу і параболічним циліндром зверху:

Визначимо порядок обходу тіла, при цьому «іксові» та «ігрокові» межі інтегрування зручніше з'ясовувати за двовимірним кресленням:
- Промінь лазера просвічує тіло строго знизу нагору!
- Дивимося на проекцію тіла.

2) Нагадую, що при інтегруванні по "ігрок" - "ікс" вважається константоюТому константу зручно відразу винести за знак інтеграла.

3) І заключний, уважний акорд:

Так, мало не забув, здебільшого отриманий результат малокорисно (і навіть шкідливо) звіряти з тривимірним кресленням, оскільки з великою ймовірністю виникне ілюзія обсягу, Про яку я розповів в одній із статей сайту. Суть ілюзії у тому, що схильні невірно оцінювати обсяг «на око», ми його або занижуємо, або завищуємо.

Так, людина за середньостатистичне життя сумарно випиває об'ємом рідини зі стандартну кімнату 18 кв. м., що здається дуже малим обсягом. У нашій задачі навпаки – якщо ви подивіться на просторовий креслення, то здасться, що тіло містить більше чотирьох «кубиків».

І після пізнавального відступу завдання для самостійного вирішення:

Приклад 35

Обчислити за допомогою потрійного інтеграла об'єм тіла обмеженого зазначеними поверхнями. Зробити креслення даного тіла та його проекції на площину.

Зверніть увагу, що умова цього завдання безваріантно вимагає виконання обох креслень. Орієнтовний візерунок оформлення в кінці книги.

Не рідкість, коли виконання тривимірного креслення утруднено, і цій ситуації присвячені найближчі приклади:

Приклад 36

За допомогою потрійного інтегралу знайти об'єм тіла, обмеженого поверхнями

Рішення: проекція тут нескладна, але ось над порядком її обходу треба подумати. Якщо вибрати 1-й спосіб, то фігуру доведеться розділити на 2 частини, що неілюзорно загрожує обчисленням суми двох потрійних інтегралів. У цьому набагато перспективніше виглядає другий шлях. Виразимо, зобразимо проекцію на кресленні:

і виберемо більш вигідний порядок обходу фігури:

Тепер справа за тілом. Знизу воно обмежене площиною, зверху – площиною, яка проходить через вісь. І все б було нічого, але остання площина занадто крута і побудувати тіло не так просто. Вибір тут незавидний: або ювелірна робота в дрібному масштабі (бо тіло досить тонке), або креслення заввишки близько 20 сантиметрів (та й те, якщо поміститься на зошит).

Але є і третій, споконвічно російський метод вирішення проблеми – забити =).І замість тривимірного креслення обійтися словесним описом: «Це тіло обмежене циліндрами та площиною збоку, площиною знизу і площиною зверху».

«Вертикальні» межі інтегрування, очевидно, такі:

Обчислимо об'єм тіла, не забуваючи, що проекцію ми обійшли менш поширеним способом:

Як ви помітили, пропоновані в задачах тіла часто обмежені площиною знизу. Але це не є якесь правило, тому завжди потрібно бути напоготові – може потрапити завдання, де тіло розташоване і під площиною. Так, наприклад, якщо в розглянутій задачі замість розглянути площину, то досліджене тіло відобразиться симетрично в нижній напівпростір і буде обмежено площиною знизу, а площиною вже зверху!

Легко переконатися, що вийде той самий результат:

(Пам'ятаємо, що тіло потрібно обходити строго знизу нагору!)

Крім того, «улюблена» площина може виявитися взагалі не при справах, найпростіший приклад: куля, Розташований вище площині – при обчисленні його обсягу рівняння не знадобиться взагалі.

Всі ці випадки ми розглянемо, а поки що аналогічне завдання для самостійного вирішення:

Приклад 37

За допомогою потрійного інтеграла знайти об'єм тіла, обмеженого поверхнями:

Звіряємося з рішенням наприкінці книги та переходимо до параграфу з не менш популярними матеріалами:

Повну та свіжу версію даного курсу у pdf-форматі,
а також курси з інших тем можна знайти тут.

Також ви можете вивчити цю тему детальніше – просто, доступно, весело та безкоштовно!

З найкращими побажаннями, Олександр Ємелін

© mathprofi.ru/com, 2010-2025, Вища математика – просто та доступно!

Як обчислити об'єм тіла обертання
за допомогою певного інтегралу?

Крім знаходження площі плоскої фігури за допомогою певного інтегралу найважливішим додатком теми є обчислення об'єму тіла обертання. Матеріал простий, але читач має бути підготовленим: необхідно вміти вирішувати невизначені інтеграли середньої складності та застосовувати формулу Ньютона-Лейбніца в певному інтегралі. Як і для завдання знаходження площі, потрібні впевнені навички побудови креслень – це чи не найважливіше (оскільки інтеграли власними силами частіше будуть легкими). Освоїти грамотну та швидку техніку побудови графіків можна за допомогою методичних матеріалів Графіки та властивості Елементарних функцій та геометричні перетворення графіків. Але, власне, про важливість креслень я вже неодноразово говорив на уроці Певний інтеграл. Як обчислити площу фігури.

Взагалі в інтегральному обчисленні дуже багато цікавих додатків, за допомогою певного інтеграла можна обчислити площу фігури, об'єм тіла обертання, довжину дуги, площу поверхні обертання та багато іншого. Тому буде весело, будь ласка, налаштуйтеся на оптимістичний лад!

Подайте деяку плоску фігуру на координатній площині. Уявили? . Цікаво, хто що представив… =))) Її площу ми вже знаходили. Але, крім того, цю фігуру можна ще й крутити, причому крутити двома способами:

- навколо осі абсцис;
- Навколо осі ординат.

У цій статті буде розібрано обидва випадки. Особливо цікавий другий спосіб обертання, він викликає найбільші труднощі, але насправді рішення практично таке саме, як і в більш поширеному обертанні навколо осі абсцис. Як бонус я повернуся до задачі знаходження площі фігури, і розповім вам, як знаходити площу другим способом - по осі. Навіть не так бонус, скільки матеріал успішно вписується в тему.

Почнемо з найбільш популярного різновиду обертання.

Обчислення об'єму тіла, утвореного обертанням
плоскої фігури навколо осі

Обчислити об'єм тіла, отриманого обертанням фігури, обмеженою лініями навколо осі .

Рішення: Як і в задачі на перебування площі, рішення починається з креслення плоскої фігури. Тобто, на площині необхідно побудувати фігуру, обмежену лініями, при цьому не забуваємо, що рівняння задає вісь. Як раціональніше і швидше виконати креслення, можна дізнатися на сторінках Графіки та властивості Елементарних функцій і Певний інтеграл. Як обчислити площу фігури. Це китайське нагадування, і зараз я більше не зупиняюся.

Креслення тут досить простий:

В результаті обертання виходить така трохи яйцевидна літаюча тарілка, яка симетрична щодо осі. Насправді у тіла є математична назва, але за довідником щось ліньки уточнювати, тому їдемо далі.

Як обчислити об'єм тіла обертання?

Об'єм тіла обертання можна обчислити за формулою:

У формулі перед інтегралом обов'язково є число . Так повелося – все, що у житті крутиться, пов'язане з цією константою.

Як розставити межі інтегрування «а» та «бе», гадаю, легко здогадатися з виконаного креслення.

Функція … що це за функція? Давайте подивимося на креслення. Плоска фігура обмежена графіком параболи зверху. Це і є та функція, що мається на увазі у формулі.

У практичних завданнях плоска фігура іноді може розташовуватися нижче осі. Це нічого не змінює - підінтегральна функція у формулі зводиться в квадрат: таким чином інтеграл завжди невід'ємнийщо дуже логічно.

Обчислимо об'єм тіла обертання, використовуючи цю формулу:

Як я вже зазначав, інтеграл майже завжди виходить простим, головне, бути уважним.

У відповіді потрібно обов'язково вказати розмірність – кубічні одиниці. Тобто у нашому тілі обертання приблизно 3,35 «кубиків». Чому саме кубічні одиниці? Тому що найбільш універсальне формулювання. Можуть бути кубічні сантиметри, можуть бути кубічні метри, можуть бути кубічні кілометри і т.д., це вже скільки зелених чоловічків вашу уяву помістить в тарілку, що літає.

Знайти об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі фігури, обмеженою лініями , ,

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Розглянемо два складніші завдання, які теж часто зустрічаються на практиці.

Обчислити об'єм тіла, отриманого при обертанні навколо осі абсцис фігури, обмеженої лініями , ,

Рішення: Зобразимо на кресленні плоску фігуру, обмежену лініями , , , , не забуваючи при цьому, що рівняння задає вісь :

Шукана фігура заштрихована синім кольором. При її обертанні навколо осі виходить такий сюрреалістичний бублик із чотирма кутами.

Обсяг тіла обертання обчислимо як різницю обсягів тіл.

Спочатку розглянемо фігуру, обведену червоним кольором. При її обертанні навколо осі виходить усічений конус. Позначимо обсяг цього зрізаного конуса через .

Розглянемо фігуру, обведену зеленим кольором.Якщо обертати цю фігуру навколо осі, то вийде також усічений конус, тільки трохи менше. Позначимо його обсяг через .

І, очевидно, різниця обсягів – точно обсяг нашого «бублика».

Використовуємо стандартну формулу для знаходження об'єму тіла обертання:

1) Фігура, обведена червоним кольором обмежена зверху прямою, тому:

2) Фігура, обведена зеленим кольором обмежена зверху прямою, тому:

3) Обсяг шуканого тіла обертання:

Цікаво, що у разі рішення можна перевірити, використовуючи шкільну формулу для обчислення обсягу зрізаного конуса.

Саме рішення частіше оформляють коротше, приблизно так:

Тепер трохи відпочинемо, і розповім про геометричні ілюзії.

У людей часто виникають ілюзії, пов'язані з обсягами, які помітив ще Перельман (інший) у книзі Цікава геометрія. Подивіться на плоску фігуру у вирішеному завданні - вона начебто невелика за площею, а об'єм тіла обертання становить трохи більше 50 кубічних одиниць, що здається занадто великим. До речі, середньостатистична людина за все своє життя випиває рідину об'ємом із кімнату площею 18 квадратних метрів, що, навпаки, видається надто маленьким об'ємом.

Взагалі, система освіти в СРСР справді була найкращою. Та сама книга Перельмана, видана ще 1950 року, дуже добре розвиває, як сказав гуморист, міркування і вчить шукати оригінальні нестандартні вирішення проблем. Нещодавно з великим інтересом перечитав деякі розділи, рекомендую, доступні навіть для гуманітаріїв. Ні, не треба посміхатися, що я запропонував безпонтове проведення часу, ерудиція та широкий кругозір у спілкуванні – чудова штука.

Після ліричного відступу якраз доречно вирішити творче завдання:

Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням щодо осі плоскої фігури, обмеженою лініями , , де .

Це приклад самостійного рішення. Зверніть увагу, що всі відносини відбуваються в смузі, іншими словами, фактично дані готові межі інтегрування. Правильно накресліть графіки тригонометричних функцій, нагадаю матеріал уроку про геометричних перетвореннях графіків: якщо аргумент ділиться на два: , то графіки розтягуються по осі вдвічі. Бажано знайти хоча б 3-4 крапки за тригонометричними таблицями, щоб точніше виконати креслення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку. До речі, завдання можна вирішити раціонально та не дуже раціонально.

Обчислення об'єму тіла, утвореного обертанням
плоскої фігури навколо осі

Другий параграф буде ще цікавішим, ніж перший. Завдання на обчислення об'єму тіла обертання навколо осі ординат теж досить частий гість у контрольних роботах. Принагідно буде розглянута завдання про знаходження площі фігури Другим способом - інтегруванням по осі, це дозволить вам не тільки покращити свої навички, але і навчить знаходити найбільш вигідний шлях рішення. У цьому є практичний життєвий сенс! Як з усмішкою згадувала мій викладач за методикою викладання математики, багато випускників дякували її словам: «Нам дуже допоміг Ваш предмет, тепер ми ефективні менеджери та оптимально керуємо персоналом». Користуючись нагодою, я теж висловлюю їй велику подяку, тим більше, що використовую отримані знання за прямим призначенням =).

Рекомендую для прочитання всім навіть повним чайникам. Більш того, засвоєний матеріал другого параграфа надасть неоціненну допомогу при обчисленні подвійних інтегралів.

Дана плоска фігура, обмежена лініями , , .

1) Знайти площу плоскої фігури, обмеженої даними лініями.
2) Знайти об'єм тіла, отриманого обертанням плоскої фігури, обмеженою даними лініями навколо осі .

Увага! Навіть якщо ви хочете ознайомитися тільки з другим пунктом, спочатку обов'язково прочитайте перший!

Рішення: Завдання складається з двох частин Почнемо із площі.

Легко помітити, що функція визначає верхню гілку параболи, а функція – нижню гілку параболи. Перед нами тривіальна парабола, яка лежить на боці.

Потрібна фігура, площу якої належить знайти, заштрихована синім кольором.

Як знайти площу фігури? Її можна знайти «звичайним» способом, що розглядався на уроці Певний інтеграл. Як обчислити площу фігури. Причому площа фігури знаходиться як сума площ:
- На відрізку;
- На відрізку.

Чим у разі поганий простий шлях рішення? По-перше, вийшло два інтеграли. По-друге, під інтегралами коріння, а коріння в інтегралах – не подарунок, до того ж можна заплутатися у підстановці меж інтегрування. Насправді, інтеграли, звичайно, не вбивчі, але на практиці все буває значно сумнішим, просто я підібрав для завдання функції «краще».

Є більш раціональний шлях рішення: він полягає в переході до зворотних функцій та інтегрування по осі.

Як перейти до зворотних функцій? Грубо кажучи, треба висловити "ікс" через "ігрок". Спочатку розберемося з параболою:

Цього достатньо, але переконаємося, що таку саму функцію можна вивести з нижньої гілки:

Для самоперевірки рекомендую усно або на чернетці підставити координати 2-3 пікселів параболи в рівняння, вони обов'язково повинні задовольняти даному рівнянню.

Тепер дивимося на вісь: будь ласка, періодично нахиляйте голову вправо на 90 градусів по ходу пояснень (це не прикол!). Потрібна нам постать лежить на відрізку, який позначений червоним пунктиром. При цьому на відрізку пряма розташована вище параболи, а значить, площу фігури слід знайти за вже знайомою вам формулою: . Що змінилося у формулі? Тільки буква, і не більше.

! Примітка: Межі інтегрування по осі слід розставляти строго знизу нагору!

Зверніть увагу, як я здійснив інтегрування, це раціональний спосіб, і в наступному пункті завдання буде зрозуміло – чому.

Для читачів, які сумніваються у коректності інтегрування, знайду похідні:

Отримано вихідну підінтегральну функцію, отже інтегрування виконано правильно.

2) Обчислимо об'єм тіла, утвореного обертанням цієї фігури, навколо осі.

Перемалюю креслення трохи в іншому оформленні:

Отже, фігура, заштрихована синім кольором, обертається довкола осі. В результаті виходить «високий метелик», який крутиться навколо своєї осі.

Для знаходження об'єму тіла обертання інтегруватимемо по осі. Спочатку потрібно перейти до зворотних функцій. Це вже зроблено та детально розписано у попередньому пункті.

Тепер знову нахиляємо голову вправо та вивчаємо нашу фігуру. Очевидно, що об'єм тіла обертання слід знайти як різницю об'ємів.

Обертаємо фігуру, обведену червоним кольором, навколо осі, в результаті виходить зрізаний конус. Позначимо цей обсяг через .

Повертаємо фігуру, обведену зеленим кольором, навколо осі та позначаємо через об'єм отриманого тіла обертання.

Обсяг нашого метелика дорівнює різниці обсягів.

Використовуємо формулу для знаходження об'єму тіла обертання:

У чому на відміну від формули попереднього параграфа? Лише у букві.

А ось і перевага інтегрування, про яку я нещодавно говорив, набагато легше знайти, ніж попередньо зводити підінтегральну функцію в 4-у ступінь.

Однак нехилий метелик.

Зверніть увагу, що якщо цю ж плоску фігуру обертати навколо осі, то вийде зовсім інше тіло обертання, іншого, природно, об'єму.

Дана плоска фігура, обмежена лініями, та віссю.

1) Перейти до зворотних функцій та знайти площу плоскої фігури, обмеженої даними лініями, інтегруванням по змінній .
2) Обчислити об'єм тіла, отриманого обертанням плоскої фігури, обмеженою даними лініями навколо осі .

Це приклад самостійного рішення. Бажаючі також можуть знайти площу фігури «звичайним» способом, виконавши цим перевірку пункту 1). А от якщо, повторюся, обертатимете плоску фігуру навколо осі, то вийде зовсім інше тіло обертання з іншим обсягом, до речі, правильна відповідь (теж для любителів вирішувати).

Повне рішення двох запропонованих пунктів завдання наприкінці уроку.

Так, і не забувайте нахиляти голову праворуч, щоб розібратися в тілах обертання та в межах інтегрування!

Хотів було вже закінчити статтю, але сьогодні принесли цікавий приклад якраз на знаходження об'єму тіла обертання навколо осі ординат. Свіжачок:

Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі фігури, обмеженою кривими та .

Рішення: Виконаємо креслення:

Принагідно знайомимося з графіками деяких інших функцій. Такий цікавий графік парної функції ….

Для мети знаходження об'єму тіла обертання достатньо використовувати праву половину фігури, яку я заштрихував синім кольором.Обидві функції є парними, їх графіки симетричні щодо осі, симетрична та наша фігура. Таким чином, заштрихована права частина, обертаючись навколо осі, неодмінно збігається з нештрихованою лівою частиною.

Перейдемо до зворотних функцій, тобто висловимо «ікси» через «ігреки»:

Зверніть увагу, що правою гілкою параболи відповідає зворотна функція . Лівою гілці параболи , що не використовується , відповідає зворотна функція . У таких випадках нерідко виникають сумніви, яку функцію вибрати? Сумніви легко, розвіюються, візьміть будь-яку точку правої гілки та підставте її координати у функцію . Координати підійшли, отже, функція задає саме праву гілку, а чи не ліву.

До речі, та сама історія і з функцій . Чайнику, який завжди буває відразу зрозуміло, яку зворотну функцію вибрати: або . Насправді я і сам завжди страхуюсь, підставляючи в знайдену зворотну функцію кілька точок графіка.

Тепер нахиляємо голову праворуч і помічаємо таку річ:

- На відрізку над віссю розташований графік функції;
- На відрізку над віссю розташований графік функції;

Логічно припустити, що об'єм тіла обертання слід шукати вже як суму об'ємів тіл обертань!

У задачі знаходження площі фігури підсумовування площ використовується часто, а підсумовування обсягів тіл обертання, мабуть, рідкість, оскільки такий різновид мало не випав з мого поля зору. Все-таки добре, що вчасно навернувся розглянутий приклад – вдалося витягти чимало корисного.

Крім всього перерахованого, іноді лінії можуть бути задані параметрично, і такі завдання також розглянуті на сайті!

Успішної розкрутки фігур!

І на ціпок: як знайти об'єм тіла, якщо воно не є тілом обертання? Використовуємо загальний принцип інтегрування.

Приклад 2: Рішення: Виконаємо креслення:

Об'єм тіла обертання:

Відповідь:

Приклад 4: Рішення: Виконаємо креслення:

Об'єм тіла обертання обчислимо як різницю об'ємів за допомогою формули:

В даному випадку:

Відповідь:
Примітка: зверніть увагу на використання властивості лінійності інтеграла – в даному випадку при інтегруванні вигідно перетворити два інтеграли на один (це можна зробити, оскільки константи перед інтегралами та межі інтегрування однакові), а потім використовувати формулу косинуса подвійного кута.

Приклад 6: Рішення:
1) Виконаємо креслення:

Перейдемо до зворотної функції:

На відрізку , тому:

Відповідь:

2) Обчислимо об'єм тіла, утвореного обертанням цієї фігури, навколо осі.
Об'єм тіла обертання знайдемо як різницю обсягів тіл обертання за допомогою формули:

Відповідь:

Автор: Ємелін Олександр

(Перехід на головну сторінку)

знижка 15% на перший замовлення, при оформленні введіть промокод: 5530-hihi5

© Copyright Олександр Ємелін, mathprofi.ru, 2010-2025, зроблено в Блокноті