як спрощувати вирази з корінням та дробами
Ірраціональні вирази (вирази з корінням) та їх перетворення
Стаття розкриває зміст ірраціональних виразів та перетворення з ними. Розглянемо саме поняття ірраціональних виразів, перетворення та характерні вирази.
Що таке ірраціональні вирази?
При знайомстві з коренем у школі ми вивчаємо поняття ірраціональних виразів. Такі висловлювання тісно пов'язані з корінням.
Ірраціональні висловлювання - Це вирази, які мають корінь. Тобто це вирази, які мають радикали.
Основні види перетворень ірраціональних виразів
При обчисленні таких виразів слід звернути увагу до ОДЗ. Часто вони вимагають додаткових перетворень як розкриття дужок, приведення подібних членів, угруповань тощо. Основа таких перетворень – події з числами. Перетворення ірраціональних виразів дотримуються суворого порядку.
Необхідно виконати заміну числа 9 вираз, що містить корінь. Тоді отримуємо, що
Отриманий вираз має подібні доданки, тому виконаємо приведення та угруповання. Отримаємо
Результат тотожних перетворень призвів до твору двох раціональних виразів, які потрібно було знайти.
Можна виконувати низку інших перетворень, які стосуються ірраціональних виразів.
Перетворення підкореного виразу
Використання властивостей коренів
Для правильного перетворення використовують перетворення ірраціональних виразів із використанням властивостей коренів.
Внесення множника під знак кореня
Винесення множника з-під знака кореня
Винесення множника з-під кореня необхідне спрощення висловлювання та її швидкого перетворення.
Перетворення дробів, що містять коріння
Необхідно звернути увагу, що необхідно змінювати знак лише чисельника чи лише знаменника. Отримаємо, що
Скорочення дробу найчастіше використовується при спрощенні. Отримуємо, що
Перед скороченням необхідно виконувати перетворення, які полегшують вираз і дають можливість розкласти на множники складний вираз. Найчастіше застосовують формули скороченого множення.
Скорочення дробів або приведення подібних необхідно лише на ОДЗ зазначеного дробу. При множенні чисельника та знаменника на ірраціональний вираз отримуємо, що ми позбавляємося ірраціональності у знаменнику.
Як спростити підкорене вираз
У створенні цієї статті брала участь наша досвідчена команда редакторів та дослідників, які перевірили її на точність та повноту.
Команда контент-менеджерів wikiHow ретельно слідкує за роботою редакторів, щоб гарантувати відповідність кожної статті нашим високим стандартам якості.
Кількість переглядів цієї статті: 139 218.
Підкорене вираз – це вираз алгебри, який знаходиться під знаком кореня (квадратного, кубічного або вищого порядку). Іноді значення різних виразів можуть бути однаковими, наприклад, 1/(√2 - 1) = √2 + 1. Спрощення підкореного виразу покликане призвести до деякої канонічної форми запису. Якщо два вирази, записані в канонічній формі, як і різні, їх значення не рівні. У математиці вважається, що канонічна форма запису підкорених виразів (а також виразів з корінням) відповідає наступним правилам:
- Якщо можна, позбавтеся дробу під знаком кореня
- Позбавтеся виразу з дробовим показником
- Якщо можна, позбавтеся коріння в знаменнику
- Позбавтеся операції множення кореня на корінь
- Під знаком кореня потрібно залишити лише ті члени, з яких не можна вилучити цілісний корінь
Ці правила можна застосувати до виконання тестових завдань. Наприклад, якщо ви вирішили завдання, але результат не збігається з жодною з наведених відповідей, запишіть результат у канонічній формі. Майте на увазі, що відповіді до тестових завдань даються в канонічній формі, тому якщо записати результат у тій самій формі, ви легко визначите правильну відповідь. Якщо завдання «спростити відповідь» чи «спростити підкорені висловлювання», необхідно записати результат у канонічній формі. Більше того, канонічна форма спрощує вирішення рівнянь, хоча з деякими рівняннями легше впоратися, якщо на якийсь час забути про канонічну форму запису.
Якщо потрібно, згадайте правила виконання операцій з корінням та ступенями (запам'ятайте: підкорене вираз – це вираз із дробовим показником ступеня), тому що такі правила знадобляться надалі. Більше того, згадайте правила звернення та спрощення багаточленів та раціональних виразів.
Звільнення від повних квадратів та повних кубів
- Наприклад, 121 – це повний квадрат, тому що 11 х 11 = 121. Таким чином, √121 = 11 (тобто позбавляємося знака кореня та записуємо ціле число).
- Щоб полегшити обчислення, запам'ятайте наступні повні квадрати: 1 х 1 = 1, 2 х 2 = 4, 3 х 3 = 9, 4 х 4 = 16, 5 х 5 = 25, 6 х 6 = 36, 7 х 7 = 49 , 8 х 8 = 64, 9 х 9 = 81, 10 х 10 = 100, 11 х 11 = 121, 12 х 12 = 144.
спрощення виразів алгебри 8 клас приклади з рішенням
Деякі приклади алгебри одним видом здатні наводити жах на школярів. Довгі висловлювання як лякають, а й дуже ускладнюють обчислення.Намагаючись відразу зрозуміти, що й за чим слід, недовго заплутатися. Саме з цієї причини математики завжди намагаються максимально спростити «моторошне» завдання і лише потім приступають до його вирішення. Як не дивно, такий трюк значно пришвидшує процес роботи.
Спрощення є одним із фундаментальних моментів в алгебрі. Якщо в простих завданнях без нього ще можна обійтися, то складніші для обчислення приклади можуть виявитися «не по зубах». Отут і знадобляться ці навички! Тим більше що складних математичних знань не потрібно: достатньо буде лише запам'ятати і навчитися застосовувати на практиці кілька базових прийомів і формул.
Необхідні знання та вміння
Незалежно від складності обчислень при вирішенні будь-якого виразу важливо дотримуватись порядку виконання операцій з числами:
Останні два пункти можна спокійно поміняти місцями і це ніяк не вплине на результат. Але складати два сусідні числа, коли поруч із одним із них стоїть знак множення категорично не можна! Відповідь якщо і вийде, то неправильна. Тому слід запам'ятати послідовність.
Застосування таких
До таких елементів відносяться числа зі змінною одного порядку або однакового ступеня. Існують і звані вільні члени, які мають поруч із собою літерного позначення невідомого.
Суть у тому, що за відсутності дужок можна спростити вираз, складаючи або віднімаючи між собою подібні.
Декілька наочних прикладів:
Розкладання числа на множники
Ця маленька математична хитрість, якщо навчитися її правильно використовувати, у майбутньому неодноразово допоможе впоратися з каверзним завданням. Та й зрозуміти, як працює «система», нескладно: розкладанням називають добуток кількох елементів, обчислення якого дає вихідне значення. Таким чином, 20 можна подати як на 20×1, 2×10, 5×4, 2×5×2 або іншим способом.
На замітку: множники завжди збігаються з дільниками Тож шукати робочу «пару» для розкладання потрібно серед чисел, на які вихідне ділиться без залишку.
Робити таку операцію можна як із вільними членами, так і з цифрами за змінної. Головне, не втратити останню під час обчислень — навіть після розкладання невідома не може взяти і «піти в нікуди». Вона залишається при одному з множників:
Прості числа, які можна розділити лише на себе або 1, ніколи не розкладаються - у цьому немає сенсу.
Основні способи спрощення
Перше, за що чіпляється погляд:
Алгебраїчні приклади у шкільній програмі часто складаються з урахуванням того, що їх можна красиво спростити.
Обчислення у дужках
Уважно стежте за знаком, що стоїть перед дужками! Множення або розподіл застосовується до кожного елемента всередині, а мінус змінює наявні знаки «+» або «-» на протилежні.
Дужки обчислюються за правилами або за формулами скороченого множення, після чого наводяться такі.
Скорочення дробів
Скорочувати дроби теж нескладно. Вони самі через раз «охоче тікають», варто зробити операції з приведенням таких членів. Але спростити приклад можна ще раніше: звертайте увагу на чисельник та знаменник. Вони часто містять явні або приховані елементи, які можна взаємно скоротити. Правда, якщо в першому випадку потрібно лише викреслити зайве, у другому доведеться подумати, наводячи частину виразу для спрощення. Використовувані методи:
Коли вираз або його частина знаходиться під коренем, Першорядне завдання спрощення практично аналогічна випадку з дробами. Необхідно шукати способи повністю його позбутися або, якщо це неможливо, максимально скоротити знак, що заважає обчисленням, знак. Наприклад, до ненав'язливого √(3) чи √(7).
Вірний спосіб спростити підкорене вираження спробувати розкласти його на множники, частина у тому числі виноситься межі знака. Наочний приклад: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).
Інші маленькі хитрощі та нюанси:
Спрощення статечного вираження
Якщо у разі простих обчислень на мінус або плюс приклади спрощуються за рахунок приведення подібних, то як бути при множенні чи розподілі змінних із різними ступенями? Їх можна легко спростити, запам'ятавши два основні моменти:
Єдина умова для такого спрощення — однакова підстава для обох членів. Приклади для наочності:
Зазначаємо, що операції з числовими значеннями, що стоять перед змінними, відбуваються за звичайними математичними правилами. І якщо придивитися, то стає зрозуміло, що статечні елементи вираження «працюють» аналогічно:
Як і в будь-якій справі, при спрощенні виразів алгебри необхідно не тільки знання основ, але і практика. Вже через кілька занять приклади, що колись здаються складними, скорочуватимуться без особливих зусиль, перетворюючись на короткі і легко розв'язувані.
Відео
Це відео допоможе вам розібратися та запам'ятати, як спрощуються вирази.
Як спростити вираз (ЄДІ 2022)
Хочеш дізнатися, що таке Досада?
Це коли на ЄДІ ти побачиш, що знаєш, як вирішити нерівність, але не зможеш її спростити.
І «проїдеш повз касу».
Щоб цього не сталося, потрібно освоїти перетворення алгебраїчних виразів.
Приведення подібних, розкладання на множники, скорочення, додавання і віднімання, розподіл і множення дробів - ось це все…
До речі, від 30 до 40% помилок на ЄДІ – це помилки саме у подібних простих речах.
Постався до них серйозно!
Як спростити вираз алгебри — коротко про головне
Базові операції спрощення
Приведення подібних: щоб скласти (навести) подібні доданки, треба скласти їх коефіцієнти і приписати буквену частину.
Розкладання на множники: винесення загального множника за дужки, застосування формул скороченого множення тощо.
Скорочення дробу: чисельник і знаменник дробу можна множити або ділити на те саме ненульове число, від чого величина дробу не змінюється.
1) чисельник та знаменник розкласти на множники
2) якщо в чисельнику та знаменнику є спільні множники, їх можна викреслити.
ВАЖЛИВО: скорочувати можна лише множники!
Додавання та віднімання дробів:
Множення та поділ дробів:
Як спростити вираз - докладно
Часто ми чуємо цю неприємну фразу: «спростіть вираз». Зазвичай при цьому перед нами якесь чудовисько типу цього:
Зараз я навчу тебе не боятися подібних завдань.
Понад те, наприкінці заняття ти сам спростиш цей приклад до (лише!) звичайного числа −1.
Але перш ніж приступити до цього заняття, тобі необхідно вміти поводитися з дробами та розкладати багаточлени на множники. Освіжи ці теми, якщо забув.
Згадав? А зараз розберемо основні прийоми, які використовуються при спрощенні виразів.
Найпростіший із них – це…
Приведення подібних
Що таке? Ти проходив це у 7 класі, як тільки вперше в математиці з'явилися букви замість чисел.
Подібні – це доданки (одночлени) з однаковою літерною частиною.
Наприклад, у сумі \( \displaystyle 2ab+3ab+b\) подібні доданки - це \( \displaystyle 2ab\) і \( \displaystyle 3ab\).
Навести подібні - означає скласти кілька подібних доданків один з одним і отримати один доданок.
А як нам скласти один з одним літери? - Запитаєш ти.
Це дуже легко зрозуміти, якщо уявити, що літери – це якісь предмети.
Наприклад, літера (displaystyle a) - це стілець. Тоді чому дорівнює вираз (displaystyle 2a + 3a)?
Два стільці плюс три стільці, скільки буде? Правильно, \(\displaystyle 5\) стільців: \(\displaystyle 2a+3a=5a\).
А тепер спробуй такий вислів: \(\displaystyle 2a+3b-a+8b+7a\).
Щоб не заплутатися, нехай різні літери позначають різні предмети.
Наприклад, \(\displaystyle a\) - це (як зазвичай) стілець, а \(\displaystyle b\) - це стіл.
\( \displaystyle 2a+3b-a+8b+7a=2\)стіла\( \displaystyle+3\)стіла\( \displaystyle-\)стіл\( \displaystyle+8\)столів\( \displaystyle +7 \) стільців \ ( \ displaystyle = 8 \) стільців \ ( \ displaystyle +11 \) столів \ ( \displaystyle=8a+11b\)
Числа, на які множаться літери в таких доданках, називаються коефіцієнтами.
Отже, правило приведення таких:
Щоб скласти (навести) подібні доданки, треба скласти їх коефіцієнти і приписати літерну частину.
Потренуйтеся наводити такі на наступних прикладах:
приклади.
Відповіді:
Читати далі…
Щоб користуватися підручником ЮКлева без обмежень, зареєструйтесь один раз:
Розкладання на множники
Це зазвичай найважливіша частина у спрощенні виразів.
Після того як ти навів подібні, найчастіше отриманий вираз потрібний розкласти на множники, тобто подати у вигляді твору.
Особливо це важливо у дробах: адже щоб можна було скоротити дріб, чисельник та знаменник мають бути представлені у вигляді твору.
Докладно способи розкладання виразів на множники ти проходив у темі «Розкладання на множники», тому тут тобі залишається лише згадати вивчене.
Для цього розв'яжи кілька прикладів (розкласти на множники).
Приклади
Відповіді:
Читати далі…
Щоб користуватися підручником ЮКлева без обмежень, зареєструйтесь один раз:
Скорочення дробу
Ну що може бути приємніше, ніж закреслити частину чисельника та знаменника, і викинути їх зі свого життя?
У цьому вся краса скорочення.
Якщо чисельник і знаменник містять однакові множники, їх можна скоротити, тобто забрати з дробу.
Це правило випливає з основної властивості дробу:
Чисельник і знаменник дробу можна множити або ділити на те саме ненульове число, від чого величина дробу не змінюється.
Тобто суть операції скорочення в тому, що чисельник і знаменник дробу ділимо (або множимо) на те саме число (або на те саме вираз).
Щоб скоротити дріб, потрібно:
Приклади
Принцип, я гадаю, зрозумілий?
Хочу звернути увагу на одну типову помилку під час скорочення. Хоч ця тема і проста, але дуже багато хто робить все неправильно, не розуміючи, що скоротити – це означає поділити чисельник і знаменник одне й те число.
Скорочувати можна лише множники.
Жодних скорочень, якщо в чисельнику чи знаменнику сума.
Наприклад: треба спростити \( \displaystyle \frac ^ >+2x+3> ^ >+2x-3>\).
Деякі роблять так: \( \displaystyle \frac ^ >+2x+3> ^ >+2x-3>=-1\), що абсолютно невірно.
Ще приклад: скоротити \( \displaystyle \frac ^ >+xy+1> ^ >+xy+1>\).
«Найрозумніші» зроблять так:
Скажи мені, що тут не так? Здавалося б: \( \left( x+y \right)\) - це множник, отже можна скорочувати.
Але ні: \( \displaystyle \left( x+y \right)\) - це множник тільки одного доданку в чисельнику, але сам чисельник загалом на множники не розкладено.
Ось інший приклад: \(\frac\).
\( \displaystyle \frac \) - цей вираз розкладено на множники, значить, можна скоротити, тобто поділити чисельник і знаменник на \(a\), а потім і на \(c\):
Можна і відразу поділити на (ac):
Щоб не допускати подібних помилок, запам'ятай легкий спосіб, як визначити, чи розкладено вираз на множники:
Арифметична дія, яка виконується останнім при підрахунку значення виразу, є «головною».
Тобто, якщо ти підставиш замість літер якісь (будь-які) числа, і спробуєш обчислити значення виразу, то якщо останньою дією буде множення – значить, у нас твір (вираз розкладено на множники).
Якщо останньою дією буде додавання або віднімання, це означає, що вираз не розкладено на множники (а отже, скорочувати не можна).
Для закріплення виріши самостійно кілька прикладів.
Приклади:
Рішення:
1. Сподіваюся, ти не кинувся одразу ж скорочувати \(^>\) та \(x\)? Ще не вистачало «зменшити» одиниці типу такого:
Першим дією має бути розкладання на множники:
Читати далі…
Щоб користуватися підручником ЮКлева без обмежень, зареєструйтесь один раз:
Складання та віднімання дробів. Приведення дробів до спільного знаменника
Додавання і віднімання звичайних дробів - операція добре знайома: шукаємо спільний знаменник, домножуємо кожен дріб на недостатній множник і складаємо/віднімаємо чисельники.
Давай згадаємо:
3) \(\displaystyle 3\frac -1\frac \)
Відповіді:
Читати далі…
Щоб користуватися підручником ЮКлева без обмежень, зареєструйтесь один раз:
Зовсім інша річ, якщо дроби містять літери, наприклад:
Знаменники не містять букв
Тут все те ж, що і зі звичайними числовими дробами: знаходимо спільний знаменник, домножуємо кожен дріб на множник, що бракує, і складаємо/віднімаємо чисельники:
Тепер у чисельнику можна наводити подібні, якщо є, і розкладати на множники:
Приклади:
Відповіді:
Читати далі…
Щоб користуватися підручником ЮКлева без обмежень, зареєструйтесь один раз:
Знаменники містять літери
Давай згадаємо принцип знаходження спільного знаменника без літер:
Приклад: \( \displaystyle \frac +\frac \).
Щоб визначити спільні множники знаменників, спершу розкладемо їх на прості множники:
\ ( \ displaystyle 12 = 2 \ cdot 2 \ cdot 3 \);
\( \displaystyle 30 = 2 \ cdot 3 \ cdot 5 \).
\( \displaystyle 12=\underline \cdot 2\cdot \underline >\);
\( \displaystyle 30=\underline \cdot \underline >\cdot 5\).
Підкреслимо спільні множники:
Тепер випишемо спільні множники по одному разу і допишемо до них усі загальні (не підкреслені) множники:
\( \displaystyle \underline >\cdot \underline >>\cdot \text \cdot \text =60\) - це і є спільний знаменник.
Повернемося до букв. Знаменники наводяться за такою ж схемою:
Отже, по порядку (і корисна хитрість!):
1) розкладаємо знаменники на множники:
2) визначаємо загальні (однакові) множники:
3) виписуємо всі загальні множники по одному разу і примножуємо їх на всі інші (непідкреслені) множники:
А ось і корисна хитрість:
Якщо в різних знаменниках є один і той же множник різною мірою, то в загальному знаменнику такий множник буде максимальною з цих ступенів.
Бачимо в знаменниках одні й самі множники, тільки з різними показниками.До спільного знаменника підуть:
\( \displaystyle x\) у ступені \( \displaystyle 3\)
\( \displaystyle b\) у ступені \( \displaystyle 3\)
\( \displaystyle y\) у ступені \( \displaystyle 4\).
Ускладнимо завдання:
Як зробити у дробів однаковий знаменник?
Якщо ти зараз кинувся віднімати в першому дробі з (displaystyle x) одиницю, то ти дуже і дуже неправий!
Давай пригадаємо основну властивість дробу:
Чисельник і знаменник дробу можна множити або ділити на те саме ненульове число, від чого величина дробу не змінюється.
Ніде не сказано, що з чисельника і знаменника дробу можна віднімати (або додавати) те саме число. Тому що це не так!
Отже, чергове непорушне правило:
Коли наводиш дроби до спільного знаменника, користуйся тільки операцією множення!
Але на що ж треба домножити (displaystyle x), щоб отримати (displaystyle x + 1)?
Ось на \( \displaystyle \left( x+1 \right)\) і домнож. А \( \displaystyle \left( x+1 \right)\) домножай на \( \displaystyle x\):
Вирази, які неможливо розкласти на множники називатимемо «елементарними множниками».
Наприклад, \(\displaystyle x\) - це елементарний множник. \( \displaystyle \left( x+1 \right)\) - теж. А ось \( \displaystyle ^ >\) - ні: він розкладається на множники \( \displaystyle ^ >=x\cdot x\).
Це як у фізиці: елементарна частка - це неподільна частка, тобто вона не складається з жодних інших частинок.
Наприклад, молекула – це елементарна частка, оскільки складається з кількох атомів.
Атом – теж не елементарна, оскільки складається з протонів, нейтронів та електронів.
А ось ці протони, нейтрони та електрони поділити не можна. Отже, вони є елементарними частинками.
Що скажеш про вираз \( \displaystyle ^ >-1\)? Воно елементарне?
Ні, оскільки його можна розкласти на множники: \( \displaystyle ^ >-1=\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\)
(Про розкладання на множники ти вже читав у темі «Розкладання на множники»).
Так ось, елементарні множники, на які ти розкладаєш вираз із літерами – це аналог простих множників, на які ти розкладаєш числа. І робитимемо з ними так само.
Вирішимо кілька прикладів
Приклад №1:
Бачимо, що в обох знаменниках є множник \(\displaystyle\left(x-1\right)\). Він піде у спільний знаменник у ступені \(\displaystyle 2\) (пам'ятаєш, чому?).
Читати далі…
Щоб користуватися підручником ЮКлева без обмежень, зареєструйтесь один раз:
Приклад №2
Перш ніж у паніці перемножувати ці знаменники, треба подумати, як їх розкласти на множники? Обидва вони представляють формули скороченого множення:
\( \displaystyle ^ >-4=\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\);
Читати далі…
Щоб користуватися підручником ЮКлева без обмежень, зареєструйтесь один раз:
Приклад №3
Як завжди, розкладемо знаменники на множники. У першому знаменнику просто виносимо за дужки (displaystyle x); у другому – різниця квадратів:
Здавалося б, спільних множників немає. Але якщо придивитися, то \( \displaystyle \left( y-2x \right)\) і \( \displaystyle \left( 2x-y \right)\) так схожі ... І правда:
\( \displaystyle \left( y-2x \right)=-\left( 2x-y \right)\).
Читати далі…
Щоб користуватися підручником ЮКлева без обмежень, зареєструйтесь один раз:
Приклад №4
Читати далі…
Щоб користуватися підручником ЮКлева без обмежень, зареєструйтесь один раз:
Приклад №5
Приклад №6
Тут треба згадати ще одну формулу скороченого множення – різницю кубів:
Зверніть увагу, що у знаменнику другого дробу не формула «квадрат суми»! Квадрат суми виглядав так: \( \displaystyle ^ >= ^ >+4x+4\).
А \( \displaystyle ^ >+2x+4= ^ >+2\cdot x+ ^ >\) – це так званий неповний квадрат суми: другий доданок у ньому – це твір першого і останнього, а не подвоєний їх твір.
Неповний квадрат суми – це один із множників у розкладанні різниці кубів:
Читати далі…
Щоб користуватися підручником ЮКлева без обмежень, зареєструйтесь один раз:
Що робити, якщо дробів три штуки?
Та те саме! Насамперед зробимо так, щоб максимальна кількість множників у знаменниках була однаковою:
Зверніть увагу: якщо поміняти знаки всередині однієї дужки, знак перед дробом змінюється на протилежний. Коли міняємо знаки у другій дужці, знак перед дробом знову змінюється протилежним. В результаті він (знак перед дробом) не змінився.
До загального знаменника виписуємо повністю перший знаменник, а потім дописуємо до нього всі множники, які ще не написані, з другого, а потім із третього (і так далі, якщо дробів більше). Тобто виходить ось так:
Читати далі…
Щоб користуватися підручником ЮКлева без обмежень, зареєструйтесь один раз:
9) \( \displaystyle 2-\frac >-1>-\frac \).
Хм... З дробами зрозуміло що робити. Але як бути з двійкою?
Все просто: адже ти вмієш складати дроби? Отже, треба зробити так, щоб двійка стала дробом! Згадуємо: дріб – це операція поділу (числитель ділиться на знаменник, якщо ти раптом забув).
І нічого простіше, ніж розділити число на \( \displaystyle 1\). При цьому саме число не зміниться, але перетвориться на дріб:
Читати далі…
Щоб користуватися підручником ЮКлева без обмежень, зареєструйтесь один раз:
Множення та поділ дробів
Ну що ж, найскладніше тепер позаду. А попереду у нас найпростіше, але при цьому найважливіше:
Порядок дій
Який порядок дій при підрахунку числового виразу? Згадай, порахувавши значення такого виразу:
Насамперед обчислюється ступінь.
Другим – множення та розподіл. Якщо множень і поділок одночасно кілька, робити їх можна у будь-якому порядку.
І наостанок виконуємо складання та віднімання. Знову ж таки, в будь-якому порядку.
Але: вираз у дужках обчислюється позачергово!
Якщо кілька дужок множаться або діляться один на одного, обчислюємо спочатку вираз у кожній із дужок, а потім множимо або поділи їх.
А якщо всередині дужок є ще одні дужки? Ну, давай подумаємо: усередині дужок написано якийсь вираз. А при обчисленні виразу насамперед треба робити що? Правильно, обчислювати дужки. Ну ось і розібралися: спочатку обчислюємо внутрішні дужки, потім решту.
Отже, порядок дій для вираження вище такий:
Добре, це просто.
Але ж це не те саме, що вираз з літерами?
Ні, це те саме!
Тільки замість арифметичних дій треба робити алгебраїчну, тобто дії, описані в попередньому розділі: приведення подібних, додавання дробів, скорочення дробів і так далі.
Єдиною відмінністю буде дія розкладання багаточленів на множники (його часто застосовуємо при роботі з дробами). Найчастіше для розкладання на множники потрібно застосовувати формули скороченого множення або просто виносити загальний множник за дужки.
Зазвичай наша мета – уявити вираз у вигляді твору чи приватного.
Наприклад:
Спростимо вираз \( \displaystyle \left( \frac -\frac \right)\cdot \frac \).
1) Першим спрощуємо вираз у дужках.Там у нас різниця дробів, а наша мета – уявити її як твір чи приватний. Отже, наводимо дроби до спільного знаменника і складаємо:
Більше цього виразу спростити неможливо, всі множники тут – елементарні (ти ще пам'ятаєш, що це означає?).
Розмноження дробів: що може бути простіше.
3) Тепер можна і скоротити:
От і все. Нічого складного, правда?
Ще приклад:
Спочатку спробуй вирішити сам, і тільки потім подивися рішення.
Рішення:
Насамперед визначимо порядок дій.
Спочатку виконаємо складання дробів у дужках, вийде замість двох дробів один.
Потім виконаємо поділ дробів. Ну і результат складемо з останнім дробом.
Схематично пронумерую дії:
Тепер покажу звістку процес:
Насамкінець дам тобі дві корисні поради:
Розберемо 4 приклади
І обіцяна на самому початку:
Відповіді:
Рішення (короткі):
Якщо ти впорався хоча б із першими трьома прикладами, то тему ти, вважай, опанував.
Бонус: Вебінари з нашого курсу підготовки до ЄДІ з математики
Вебінар: Виділення повного квадрата
Виділення повного квадрата - найголовніша навичка, що відноситься до формул скороченого множення.
Ця навичка допоможе вам вирішувати квадратні рівняння, розкладати вираз на множники, розібратися з рівнянням кола в задачі з параметром (18-та задача), яка дає цілих 4 первинних бали.
Загалом метод виділення повного квадрата - безцінний навик.
Беріть зошит, ручку та дивіться відео. Олексій розбере 8 прикладів! Слухайте умову, ставте на паузу, вирішуйте, а потім порівнюйте з тим, як вирішив Олексій.
До речі, саме відео — це уривок із вебінару, повністю присвяченого формулам скороченого множення (вирішено 119 завдань). Його можна подивитися трохи нижче.
Формули скороченого множення.Розбір 119 завдань
Навіщо потрібні формули скороченого множення та де вони застосовуються.
Ці формули необхідні завдання №9 – на перетворення выражений. Також вони потрібні для вирішення рівнянь та нерівностей, дуже часто стають у нагоді в завданнях №13 і 15.
А в 18-му завданні без них взагалі нічого робити.
Мета цього відео в тому, щоб ви тему «Формули скороченого множення» закрили повністю, щоб навчилися вирішувати будь-яке завдання на ЄДІ. Для цього ви разом із репетитором Олексієм Шевчуком вирішите 119 завдань.
Які формули скороченого множення ви навчитеся застосовувати, переглянувши це відео? Та все…
