Спрощення алгебраїчних виразів

Алгебраїчний вираз — одна або кілька величин алгебри (чисел і змінних), які об'єднані за допомогою знаків арифметичних дій у вигляді додавання, віднімання, множення, поділу, вилучення кореня, зведення в ступінь (при цілих значеннях показників кореня і ступеня), знаків послідовності, що визначають порядок застосування даних операцій (дужки різного виду).

Обов'язковою умовою для виразу алгебри є кінцева кількість величин, що його становлять. Даний принцип стане в нагоді математикам для вирішення завдань у середніх класах школи. Визначення 2

Спростити вираз — це означає зменшити кількість арифметичних дій, необхідні обчислення значення даного висловлювання з урахуванням певних значень змінних.

Важко розібратися у темі? Записуйся на безкоштовне онлайн-заняття з репетитором прямо зараз та розберемося разом! Записатись 📚

Правила спрощення алгебраїчних виразів

• приведення подібних;
• розкладання на множники;
• скорочення дробу;
• додавання та віднімання дробів;
• множення та розподіл дробів.

У процесі приведення виразу у простішу форму слід використовувати корисні поради:

1. За наявності подібних їх рекомендується навести, при цьому не має значення, в який момент вони утворилися.
2. При появі першої можливості скорочення дробів, рекомендується їй відразу скористатися. Винятком є ​​дроби з однаковими знаменниками, які потрібно віднімати чи підсумовувати. Такі дроби можна зменшити після виконання необхідних дій.

Приведення подібних

Приведення подібних доданків теоретично полягає у складанні їх коефіцієнтів і приписуванні буквеної частини.

Подібними є складові (одночлени), які мають буквену частину.

У виразі 2ab+3ab+b одночлени 2ab і 3ab є подібними доданками.

Навести подібні — отже, виконати додавання кількох подібних доданків для одержання в результаті одного доданку.

Наприклад, наведемо доданки:

Розглянемо вираз із квадратним ступенем:

Тут число 3 є коефіцієнтом.

Розкладання на множники

Розкласти вираз на множники можна, якщо винести загальний множник за дужки, застосувати формули скороченого множення та інші.

У процесі скорочення дробу допустимо виконувати множення або розподіл чисельника і знаменника дробу на однакове число, відмінне від нуля, внаслідок чого величина дробу залишається незмінною.

Пояснення алгоритму дій при скороченні дробів:

• розкладання на множники чисельника та знаменника;
• за наявності в чисельнику та знаменнику загальних множників їх допустимо виключити з виразу.

Важливо зауважити, що скорочення підлягають виключно множники.

Озвучене правило є наслідком ключової якості дробу. Воно полягає в допустимості множення або поділу чисельника і знаменника дробу на те саме число, яке не дорівнює нулю. В результаті значення дробу залишиться без змін.

Існує простий спосіб, керуючись яким можна визначити, чи розкладено вираз на множники. Арифметичну дію, яка виконується в останню чергу при обчисленні значення виразу, вважається «головною».

Дане правило полягає в тому, що, коли при підстановці будь-яких чисел на заміну буквам і обчисленні значення виразу остання дія є множенням, можна зробити висновок, що перед нами твір, тобто вираз розкладено на множники. У тому випадку, коли на останньому кроці в процесі розрахунків виконується додавання або віднімання, розкладання виразу на множники не виконано, тобто скорочення не допускається.

Додавання та віднімання дробів

При складанні і відніманні звичайних дробів потрібно знайти спільний знаменник, помножити кожну з дробів на множник, що бракує, і скласти або відняти чисельники:

Розберемо правило на конкретних прикладах. Обчислимо:

Розберемо самостійний випадок, коли знаменники не містять букв. При цьому алгоритм дій такий самий, як і при діях із звичайними дробами:

• визначити загальний множник;
• помножити кожен дріб на множник, що бракує;
• скласти чи відняти чисельники.

Розглянемо приклад, коли потрібно спростити вираз:

Важко з математикою? Не хвилюйся, ми допоможемо! Реєструйся на курс математики для 5 класу і ми допоможемо зрозуміти предмет! Записатись 📙

Множення та поділ дробів

Множення та розподіл дробів виконують таким чином:

Арифметичні дії виконують у такому порядку:

• обчислення ступеня;
• множення та розподіл;
• додавання та віднімання.

Важливо зауважити, що за наявності дужок операції, які в них укладені, необхідно виконати в першу чергу. Далі можна приступати до розкриття дужок. Коли є кілька дужок з арифметичними діями, які потрібно помножити або розділити, спочатку проводять обчислення в кожній з дужок, а потім множення або розподіл отриманих результатів.За наявності внутрішніх дужок, укладених у дужки, дії в них виконують насамперед.

розкладання багаточленів на множники. Для цього слід користуватися формулами скороченого множення або винесення єдиного множника за дужки.

Ключовим завданням під час роботи з такими висловлюваннями є запис виразів як твори чи приватного.

Спробуємо спростити вираз:

Пояснення на прикладах

Потрібно спростити вирази:

Потрібно спростити вирази:

спрощення виразів алгебри 8 клас приклади з рішенням

Деякі приклади алгебри одним видом здатні наводити жах на школярів. Довгі висловлювання як лякають, а й дуже ускладнюють обчислення. Намагаючись відразу зрозуміти, що й за чим слід, недовго заплутатися. Саме з цієї причини математики завжди намагаються максимально спростити «моторошне» завдання і лише потім приступають до його вирішення. Як не дивно, такий трюк значно пришвидшує процес роботи.

Спрощення є одним із фундаментальних моментів в алгебрі. Якщо в простих завданнях без нього ще можна обійтися, то складніші для обчислення приклади можуть виявитися «не по зубах». Отут і знадобляться ці навички! Тим більше що складних математичних знань не потрібно: достатньо буде лише запам'ятати і навчитися застосовувати на практиці кілька базових прийомів і формул.

Необхідні знання та вміння

Незалежно від складності обчислень при вирішенні будь-якого виразу важливо дотримуватись порядку виконання операцій з числами:

Останні два пункти можна спокійно поміняти місцями і це ніяк не вплине на результат. Але складати два сусідні числа, коли поруч із одним із них стоїть знак множення категорично не можна! Відповідь якщо і вийде, то неправильна.Тому слід запам'ятати послідовність.

Застосування таких

До таких елементів відносяться числа зі змінною одного порядку або однакового ступеня. Існують і звані вільні члени, які мають поруч із собою літерного позначення невідомого.

Суть у тому, що за відсутності дужок можна спростити вираз, складаючи або віднімаючи між собою подібні.

Декілька наочних прикладів:

Розкладання числа на множники

Ця маленька математична хитрість, якщо навчитися її правильно використовувати, у майбутньому неодноразово допоможе впоратися з каверзним завданням. Та й зрозуміти, як працює «система», нескладно: розкладанням називають добуток кількох елементів, обчислення якого дає вихідне значення. Таким чином, 20 можна подати як на 20×1, 2×10, 5×4, 2×5×2 або іншим способом.

На замітку: множники завжди збігаються з дільниками Тож шукати робочу «пару» для розкладання потрібно серед чисел, на які вихідне ділиться без залишку.

Робити таку операцію можна як із вільними членами, так і з цифрами за змінної. Головне, не втратити останню під час обчислень — навіть після розкладання невідома не може взяти і «піти в нікуди». Вона залишається при одному з множників:

Прості числа, які можна розділити лише на себе або 1, ніколи не розкладаються - у цьому немає сенсу.

Основні способи спрощення

Перше, за що чіпляється погляд:

Алгебраїчні приклади у шкільній програмі часто складаються з урахуванням того, що їх можна красиво спростити.

Обчислення у дужках

Уважно стежте за знаком, що стоїть перед дужками! Множення або розподіл застосовується до кожного елемента всередині, а мінус змінює наявні знаки «+» або «-» на протилежні.

Дужки обчислюються за правилами або за формулами скороченого множення, після чого наводяться такі.

Скорочення дробів

Скорочувати дроби теж нескладно. Вони самі через один раз «охоче тікають», варто зробити операції з приведенням подібних членів. звертайте увагу на чисельник та знаменникВони нерідко містять явні або приховані елементи, які можна взаємно скоротити.

Коли вираз або його частина знаходиться під коренем, Першорядне завдання спрощення практично аналогічна випадку з дробами. Необхідно шукати способи повністю його позбутися або, якщо це неможливо, максимально скоротити знак, що заважає обчисленням, знак. Наприклад, до ненав'язливого √(3) або √(7).

Вірний спосіб спростити підкорене вираження спробувати розкласти його на множники, частина у тому числі виноситься межі знака. Наочний приклад: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).

Інші маленькі хитрощі та нюанси:

Спрощення статечного вираження

Якщо у випадку простих обчислень на мінус або плюс приклади спрощуються за рахунок приведення подібних, то як бути при множенні чи розподілі змінних з різними ступенями?

Єдина умова для такого спрощення – однакова підстава для обох членів.

Зазначаємо, що операції з числовими значеннями, що стоять перед змінними, відбуваються за звичайними математичними правилами. І якщо придивитися, то стає зрозуміло, що статечні елементи вираження «працюють» аналогічно:

Як і в будь-якій справі, при спрощенні виразів алгебри необхідне не тільки знання основ, але і практика. Вже через кілька занять приклади, що колись здаються складними, скорочуватимуться без особливих зусиль, перетворюючись на короткі і легко розв'язувані.

Відео

Це відео допоможе вам розібратися та запам'ятати, як спрощуються вирази.

Як спростити вираз (ЄДІ 2022)

Хочеш дізнатися, що таке Досада?

Це коли на ЄДІ ти побачиш, що знаєш, як вирішити нерівність, але не зможеш її спростити.

І «проїдеш повз касу».

Щоб цього не сталося, потрібно освоїти перетворення алгебраїчних виразів.

Приведення подібних, розкладання на множники, скорочення, додавання і віднімання, розподіл і множення дробів - ось це все…

До речі, від 30 до 40% помилок на ЄДІ – це помилки саме у подібних простих речах.

Постався до них серйозно!

Як спростити вираз алгебри — коротко про головне

Базові операції спрощення

Приведення подібних: щоб скласти (навести) подібні доданки, треба скласти їх коефіцієнти і приписати літерну частину.

Розкладання на множники: винесення загального множника за дужки, застосування формул скороченого множення тощо.

Скорочення дробу: чисельник і знаменник дробу можна множити або ділити на те саме ненульове число, від чого величина дробу не змінюється.
1) чисельник та знаменник розкласти на множники
2) якщо в чисельнику та знаменнику є спільні множники, їх можна викреслити.

ВАЖЛИВО: скорочувати можна лише множники!

Додавання та віднімання дробів:

Множення та поділ дробів:

Як спростити вираз - докладно

Часто ми чуємо цю неприємну фразу: «спростіть вираз». Зазвичай при цьому перед нами якесь чудовисько типу цього:

Зараз я навчу тебе не боятися подібних завдань.

Понад те, наприкінці заняття ти сам спростиш цей приклад до (лише!) звичайного числа −1.

Але перш ніж приступити до цього заняття, тобі необхідно вміти поводитися з дробами та розкладати багаточлени на множники. Освіжи ці теми, якщо забув.

Згадав? А зараз розберемо основні прийоми, які використовуються при спрощенні виразів.

Найпростіший із них – це…

Приведення подібних

Що таке? Ти проходив це у 7 класі, як тільки вперше в математиці з'явилися букви замість чисел.

Подібні – це доданки (одночлени) з однаковою літерною частиною.

Наприклад, у сумі \( \displaystyle 2ab+3ab+b\) подібні доданки - це \( \displaystyle 2ab\) і \( \displaystyle 3ab\).

Навести подібні - означає скласти кілька подібних доданків один з одним і отримати один доданок.

А як нам скласти один з одним літери? - Запитаєш ти.

Це дуже легко зрозуміти, якщо уявити, що літери – це якісь предмети.

Наприклад, літера (displaystyle a) - це стілець. Тоді чому дорівнює вираз (displaystyle 2a + 3a)?

Два стільці плюс три стільці, скільки буде? Правильно, \(\displaystyle 5\) стільців: \(\displaystyle 2a+3a=5a\).

А тепер спробуй такий вислів: \(\displaystyle 2a+3b-a+8b+7a\).

Щоб не заплутатися, нехай різні літери позначають різні предмети.

Наприклад, \(\displaystyle a\) - це (як зазвичай) стілець, а \(\displaystyle b\) - це стіл.

\( \displaystyle 2a+3b-a+8b+7a=2\)стіла\( \displaystyle+3\)стіла\( \displaystyle-\)стіл\( \displaystyle+8\)столів\( \displaystyle +7 \) стільців \ ( \ displaystyle = 8 \) стільців \ ( \ displaystyle +11 \) столів \ ( \displaystyle=8a+11b\)

Числа, на які множаться літери в таких доданках, називаються коефіцієнтами.

Отже, правило приведення таких:

Щоб скласти (навести) подібні доданки, треба скласти їх коефіцієнти і приписати літерну частину.

Потренуйтеся наводити такі на наступних прикладах:

приклади.

Відповіді:

Читати далі…

Щоб користуватися підручником ЮКлева без обмежень, зареєструйтесь один раз:

Розкладання на множники

Це зазвичай найважливіша частина у спрощенні виразів.

Після того як ти навів подібні, найчастіше отриманий вираз потрібний розкласти на множники, тобто подати у вигляді твору.

Особливо це важливо у дробах: адже щоб можна було скоротити дріб, чисельник та знаменник мають бути представлені у вигляді твору.

Докладно способи розкладання виразів на множники ти проходив у темі «Розкладання на множники», тому тут тобі залишається лише згадати вивчене.

Для цього розв'яжи кілька прикладів (розкласти на множники).

Приклади

Відповіді:

Читати далі…

Щоб користуватися підручником ЮКлева без обмежень, зареєструйтесь один раз:

Скорочення дробу

Ну що може бути приємніше, ніж закреслити частину чисельника та знаменника, і викинути їх зі свого життя?

У цьому вся краса скорочення.

Якщо чисельник і знаменник містять однакові множники, їх можна скоротити, тобто забрати з дробу.

Це правило випливає з основної властивості дробу:

Чисельник і знаменник дробу можна множити або ділити на те саме ненульове число, від чого величина дробу не змінюється.

Тобто суть операції скорочення в тому, що чисельник і знаменник дробу ділимо (або множимо) на те саме число (або на те саме вираз).

Щоб скоротити дріб, потрібно:

Приклади

Принцип, я гадаю, зрозумілий?

Хочу звернути увагу на одну типову помилку під час скорочення.Хоча ця тема і проста, але дуже багато хто робить все неправильно, не розуміючи, що скоротити – це означає поділити чисельник і знаменник одне й те число.

Скорочувати можна лише множники.

Жодних скорочень, якщо в чисельнику чи знаменнику сума.

Наприклад: треба спростити \(\displaystyle\frac^>+2x+3>^>+2x-3>\).

Деякі роблять так: \( \displaystyle \frac ^ >+2x+3> ^ >+2x-3>=-1\), що абсолютно невірно.

Ще приклад: скоротити \( \displaystyle \frac ^ >+xy+1> ^ >+xy+1>\).

«Найрозумніші» зроблять так:

Скажи мені, що тут не так? Здавалося б: \( \left( x+y \right)\) - це множник, отже можна скорочувати.

Але ні: \( \displaystyle \left( x+y \right)\) - це множник тільки одного доданку в чисельнику, але сам чисельник загалом на множники не розкладено.

Ось інший приклад: \(\frac\).

\( \displaystyle \frac \) - цей вираз розкладено на множники, значить, можна скоротити, тобто поділити чисельник і знаменник на \(a\), а потім і на \(c\):

Можна і відразу поділити на (ac):

Щоб не допускати подібних помилок, запам'ятай легкий спосіб, як визначити, чи розкладено вираз на множники:

Арифметична дія, яка виконується останнім при підрахунку значення виразу, є «головною».

Тобто, якщо ти підставиш замість літер якісь (будь-які) числа, і спробуєш обчислити значення виразу, то якщо останньою дією буде множення – значить, у нас твір (вираз розкладено на множники).

Якщо останньою дією буде додавання або віднімання, це означає, що вираз не розкладено на множники (а отже, скорочувати не можна).

Для закріплення виріши самостійно кілька прикладів.

Приклади:

Рішення:

1. Сподіваюся, ти не кинувся одразу ж скорочувати \(^>\) та \(x\)? Ще не вистачало «зменшити» одиниці типу такого:

Першим дією має бути розкладання на множники:

Читати далі…

Щоб користуватися підручником ЮКлева без обмежень, зареєструйтесь один раз:

Складання та віднімання дробів. Приведення дробів до спільного знаменника

Додавання і віднімання звичайних дробів - операція добре знайома: шукаємо спільний знаменник, домножуємо кожен дріб на недостатній множник і складаємо/віднімаємо чисельники.

Давай згадаємо:

3) \(\displaystyle 3\frac -1\frac \)

Відповіді:

Читати далі…

Щоб користуватися підручником ЮКлева без обмежень, зареєструйтесь один раз:

Зовсім інша річ, якщо дроби містять літери, наприклад:

Знаменники не містять букв

Тут все те ж, що і зі звичайними числовими дробами: знаходимо спільний знаменник, домножуємо кожен дріб на множник, що бракує, і складаємо/віднімаємо чисельники:

Тепер у чисельнику можна наводити подібні, якщо є, і розкладати на множники:

Приклади:

Відповіді:

Читати далі…

Щоб користуватися підручником ЮКлева без обмежень, зареєструйтесь один раз:

Знаменники містять літери

Давай згадаємо принцип знаходження спільного знаменника без літер:

Приклад: \( \displaystyle \frac +\frac \).

Щоб визначити спільні множники знаменників, спершу розкладемо їх на прості множники:

\ ( \ displaystyle 12 = 2 \ cdot 2 \ cdot 3 \);

\ ( \ displaystyle 30 = 2 \ cdot 3 \ cdot 5 \).

\( \displaystyle 12=\underline \cdot 2\cdot \underline >\);

\( \displaystyle 30=\underline \cdot \underline >\cdot 5\).

Підкреслимо спільні множники:

Тепер випишемо спільні множники по одному разу і допишемо до них усі загальні (не підкреслені) множники:

\( \displaystyle \underline >\cdot \underline >>\cdot \text \cdot \text =60\) - це і є спільний знаменник.

Повернемося до букв. Знаменники наводяться за такою ж схемою:

Отже, по порядку (і корисна хитрість!):

1) розкладаємо знаменники на множники:

2) визначаємо загальні (однакові) множники:

3) виписуємо всі загальні множники по одному разу і примножуємо їх на всі інші (непідкреслені) множники:

А ось і корисна хитрість:

Якщо в різних знаменниках є один і той же множник різною мірою, то в загальному знаменнику такий множник буде максимальною з цих ступенів.

Бачимо в знаменниках одні й самі множники, тільки з різними показниками. До спільного знаменника підуть:

\( \displaystyle x\) у ступені \( \displaystyle 3\)

\( \displaystyle b\) у ступені \( \displaystyle 3\)

\( \displaystyle y\) у ступені \( \displaystyle 4\).

Ускладнимо завдання:

Як зробити у дробів однаковий знаменник?

Якщо ти зараз кинувся віднімати в першому дробі з (displaystyle x) одиницю, то ти дуже і дуже неправий!

Давай згадаємо основну властивість дробу:

Чисельник і знаменник дробу можна множити або ділити на те саме ненульове число, від чого величина дробу не змінюється.

Ніде не сказано, що з чисельника і знаменника дробу можна віднімати (або додавати) те саме число. Тому що це не так!

Отже, чергове непорушне правило:

Коли наводиш дроби до спільного знаменника, користуйся лише операцією множення!

Але на що ж треба домножити (displaystyle x), щоб отримати (displaystyle x + 1)?

Ось на \( \displaystyle \left( x+1 \right)\) і домнож. А \( \displaystyle \left( x+1 \right)\) домножай на \( \displaystyle x\):

Вирази, які неможливо розкласти на множники називатимемо «елементарними множниками».

Наприклад, \(\displaystyle x\) - це елементарний множник.\( \displaystyle \left( x+1 \right)\) - теж. А ось \( \displaystyle ^ >\) - ні: він розкладається на множники \( \displaystyle ^ >=x\cdot x\).

Це як у фізиці: елементарна частка - це неподільна частка, тобто вона не складається з жодних інших частинок.

Наприклад, молекула – це елементарна частка, оскільки складається з кількох атомів.

Атом – теж не елементарна, оскільки складається з протонів, нейтронів та електронів.

А ось ці протони, нейтрони та електрони поділити не можна. Отже, вони є елементарними частинками.

Що скажеш про вираз \( \displaystyle ^ >-1\)? Воно елементарне?

Ні, оскільки його можна розкласти на множники: \( \displaystyle ^ >-1=\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\)

(Про розкладання на множники ти вже читав у темі «Розкладання на множники»).

Так ось, елементарні множники, на які ти розкладаєш вираз із літерами – це аналог простих множників, на які ти розкладаєш числа. І робитимемо з ними так само.

Вирішимо кілька прикладів

Приклад №1:

Бачимо, що в обох знаменниках є множник \(\displaystyle\left(x-1\right)\). Він піде у спільний знаменник у ступені \(\displaystyle 2\) (пам'ятаєш, чому?).

Читати далі…

Щоб користуватися підручником ЮКлева без обмежень, зареєструйтесь один раз:

Приклад №2

Перш ніж у паніці перемножувати ці знаменники, треба подумати, як їх розкласти на множники? Обидва вони представляють формули скороченого множення:

\( \displaystyle ^ >-4=\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\);

Читати далі…

Щоб користуватися підручником ЮКлева без обмежень, зареєструйтесь один раз:

Приклад №3

Як завжди, розкладемо знаменники на множники.У першому знаменнику просто виносимо за дужки (displaystyle x); у другому – різниця квадратів:

Здавалося б, спільних множників немає. Але якщо придивитися, то \( \displaystyle \left( y-2x \right)\) і \( \displaystyle \left( 2x-y \right)\) так схожі ... І правда:

\( \displaystyle \left( y-2x \right)=-\left( 2x-y \right)\).

Читати далі…

Щоб користуватися підручником ЮКлева без обмежень, зареєструйтесь один раз:

Приклад №4

Читати далі…

Щоб користуватися підручником ЮКлева без обмежень, зареєструйтесь один раз:

Приклад №5

Приклад №6

Тут треба згадати ще одну формулу скороченого множення – різницю кубів:

Зверніть увагу, що у знаменнику другого дробу не формула «квадрат суми»! Квадрат суми виглядав так: \( \displaystyle ^ >= ^ >+4x+4\).

А \( \displaystyle ^ >+2x+4= ^ >+2\cdot x+ ^ >\) – це так званий неповний квадрат суми: другий доданок у ньому – це твір першого і останнього, а не подвоєний їх твір.

Неповний квадрат суми – це один із множників у розкладанні різниці кубів:

Читати далі…

Щоб користуватися підручником ЮКлева без обмежень, зареєструйтесь один раз:

Що робити, якщо дробів аж три штуки?

Та те саме! Насамперед зробимо так, щоб максимальна кількість множників у знаменниках була однаковою:

Зверніть увагу: якщо поміняти знаки всередині однієї дужки, знак перед дробом змінюється на протилежний. Коли міняємо знаки у другій дужці, знак перед дробом знову змінюється протилежним. В результаті він (знак перед дробом) не змінився.

До загального знаменника виписуємо повністю перший знаменник, а потім дописуємо до нього всі множники, які ще не написані, з другого, а потім із третього (і так далі, якщо дробів більше). Тобто виходить ось так:

Читати далі…

Щоб користуватися підручником ЮКлева без обмежень, зареєструйтесь один раз:

9) \( \displaystyle 2-\frac >-1>-\frac \).

Хм... З дробами зрозуміло що робити. Але як бути з двійкою?

Все просто: адже ти вмієш складати дроби? Отже, треба зробити так, щоб двійка стала дробом! Згадуємо: дріб – це операція поділу (числитель ділиться на знаменник, якщо ти раптом забув).

І нічого простіше, ніж розділити число на \( \displaystyle 1\). При цьому саме число не зміниться, але перетвориться на дріб:

Читати далі…

Щоб користуватися підручником ЮКлева без обмежень, зареєструйтесь один раз:

Множення та поділ дробів

Ну що ж, найскладніше тепер позаду. А попереду у нас найпростіше, але при цьому найважливіше:

Порядок дій

Який порядок дій при підрахунку числового виразу? Згадай, порахувавши значення такого виразу:

Насамперед обчислюється ступінь.

Другим – множення та розподіл. Якщо множень і поділок одночасно кілька, робити їх можна у будь-якому порядку.

І наостанок виконуємо складання та віднімання. Знову ж таки, в будь-якому порядку.

Але: вираз у дужках обчислюється позачергово!

Якщо кілька дужок множаться або діляться один на одного, обчислюємо спочатку вираз у кожній із дужок, а потім множимо або поділи їх.

А якщо всередині дужок є ще одні дужки? Ну, давай подумаємо: усередині дужок написано якийсь вираз. А при обчисленні виразу насамперед треба робити що? Правильно, обчислювати дужки.Ну ось і розібралися: спочатку обчислюємо внутрішні дужки, потім решту.

Отже, порядок дій для вираження вище такий:

Добре, це просто.

Але ж це не те саме, що вираз з літерами?

Тільки замість арифметичних дій треба робити алгебраїчну, тобто дії, описані в попередньому розділі: приведення подібних, додавання дробів, скорочення дробів і так далі.

Єдиною відмінністю буде дія розкладання багаточленів на множники (його часто застосовуємо при роботі з дробами). Найчастіше для розкладання на множники потрібно застосовувати формули скороченого множення або просто виносити загальний множник за дужки.

Зазвичай наша мета – уявити вираз у вигляді твору чи приватного.

Наприклад:

Спростимо вираз \( \displaystyle \left( \frac -\frac \right)\cdot \frac \).

1) Першим спрощуємо вираз у дужках. Там у нас різниця дробів, а наша мета – уявити її як твір чи приватний. Отже, наводимо дроби до спільного знаменника і складаємо:

Більше цього виразу спростити неможливо, всі множники тут – елементарні (ти ще пам'ятаєш, що це означає?).

Розмноження дробів: що може бути простіше.

3) Тепер можна і скоротити:

От і все. Нічого складного, правда?

Ще приклад:

Спочатку спробуй вирішити сам, і тільки потім подивися рішення.

Рішення:

Насамперед визначимо порядок дій.

Спочатку виконаємо складання дробів у дужках, вийде замість двох дробів один.

Потім виконаємо поділ дробів. Ну і результат складемо з останнім дробом.

Схематично пронумерую дії:

Тепер покажу звістку процес:

Насамкінець дам тобі дві корисні поради:

Розберемо 4 приклади

І обіцяна на самому початку:

Відповіді:

Рішення (короткі):

Якщо ти впорався хоча б із першими трьома прикладами, то тему ти, вважай, опанував.

Бонус: Вебінари з нашого курсу підготовки до ЄДІ з математики

Вебінар: Виділення повного квадрата

Виділення повного квадрата - найголовніша навичка, що відноситься до формул скороченого множення.

Ця навичка допоможе вам вирішувати квадратні рівняння, розкладати вираз на множники, розібратися з рівнянням кола в задачі з параметром (18-та задача), яка дає цілих 4 первинних бали.

Загалом метод виділення повного квадрата - безцінний навик.

Беріть зошит, ручку і дивіться відео Олексій розбере 8 прикладів!

До речі, саме відео - це уривок з вебінару, повністю присвяченого формулам скороченого множення (вирішено 119 завдань).

Вебінар: Формули скороченого множення.

Навіщо потрібні формули скороченого множення та де вони застосовуються.

Ці формули потрібні для задачі №9 – на перетворення виразів.

А в 18-му завданні без них взагалі нічого робити.

Мета цього відео полягає в тому, щоб ви тему «Формули скороченого множення» закрили повністю, щоб навчилися вирішувати будь-яке завдання на ЄДІ. Для цього ви разом із репетитором Олексієм Шевчуком вирішите 119 завдань.

Які формули скороченого множення ви навчитеся застосовувати, подивившись це відео?