Багатогранники – це геометричні фігури: види, формули, властивості

Багатогранники – дивовижні геометричні фігури, які оточують нас усюди. Давайте розберемося, що ж є ці постаті, які бувають види багатогранників, які формули описують їх характеристики.

1. Визначення багатогранників

Багатогранником називається геометричне тіло у просторі, яке обмежене кінцевим числом плоских багатокутників. Елементами багатогранника є:

• Грані – плоскі багатокутники, з яких складається багатогранник
• Ребра – сторони багатокутників-гранів
• Вершини - точки перетину ребер

Прикладами найпростіших багатогранників є тетраедр (чотиригранник) та октаедр (восьмигранник). Їх гранями є трикутники.

2. Види багатогранників

Багатогранники – це різноманітні геометричні фігури, які діляться на кілька видів.

Випуклі та невипуклі

Якщо багатогранник цілком розташовується по одну сторону від кожної своєї грані, він називається опуклим. В іншому випадку багатогранник невипуклий.

У опуклому багатограннику сума всіх плоских кутів при будь-якій вершині менше 360 °.

Правильні багатогранники

Правильні багатогранники - це опуклі багатогранники, у яких усі грані є правильними однаковими багатокутниками, проте діагоналі рівні.

Існує лише 5 видів правильних багатогранників: тетраедр, куб, октаедр, додекаедр та ікосаедр.

Інші види

Крім того, розрізняють:

Властивості та приклади таких багатогранників будуть розглянуті далі.

3. Формули для опуклих багатогранників

Для опуклих багатогранників справедливо важливе співвідношення, яке виражається теоремою Ейлера:

Ця формула дозволяє знаходити одну з величин, якщо відомі дві інші. Наприклад, для куба:

Звідси знаходимо число ребер:

P = B + Г - 2 = 8 + 6 - 2 = 12

Крім теореми Ейлера, для конкретних багатогранників існують формули площі поверхні та обсягу. Розглянемо їх на прикладі тетраедра.

Формули для тетраедра

Нехай а – довжина ребра тетраедра, а d – висота однієї з його бічних граней. Тоді:

1. Площа бічної грані = \(\frac>\)a 2
2. Площа повної поверхні = 2ad
3. Об'єм = \(\frac\)a 2 d

3. Формули для опуклих багатогранників

Аналогічні формули площі поверхні та обсягу існують і для інших видів опуклих багатогранників:

Наприклад, для прямокутного паралелепіпеда з ребрами a, b і c справедливі наступні співвідношення:

Знаючи форму конкретного багатогранника і формули цієї форми, можна обчислити різні його характеристики.

4. Призма та її властивості

Одним із важливих видів багатогранників є призма. Розглянемо докладніше її визначення та властивості.

Елементи призми

Призма утворена двома рівними та паралельними багатокутними основами, з'єднаними бічними гранями-паралелограмами.

Основні елементи призми:

• Основи - два рівні багатокутники
• Бічні грані
• Висота - перпендикуляр до основ
• Бокове ребро

Види призм

Розрізняють пряму та похилу призму. У прямій призми бічні ребра перпендикулярні до основ, а бічні грані - прямокутники.

5. Паралелепіпед

Якщо підстави призми є паралелограмами, така призма називається паралелепіпедом. Розглянемо його докладніше.

Елементи паралелепіпеда

У паралелепіпеда всі грані (шість штук) є паралелограмами. Протилежні грані паралельні та рівні.

6. Піраміди

Піраміда – ще один поширений вид багатогранника. Розглянемо визначення та властивості пірамід.

Визначення піраміди

Піраміда - багатогранник, у якого одна грань (основа) є багатокутником, а інші грані (бічні грані) - трикутники із загальною вершиною.

Елементи піраміди

Основними елементами піраміди є:

• Основа - багатокутна грань
• Бічні грані – трикутники
• Вершина піраміди - точка перетину бічних ребер
• Висота піраміди - перпендикуляр із вершини до площини основи
• Апофема - висота бічної грані піраміди, опущена на площину основи

Правильна піраміда

Якщо основою піраміди є правильний багатокутник, проте бічні грані - рівні правильні трикутники, то така піраміда називається правильної.

Площа бічної поверхні

Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює добутку периметра основи апофему піраміди.

Об'єм піраміди

Обсяг піраміди дорівнює третині твору площі основи висоту піраміди.

Побудова піраміди

Для побудови піраміди, знаючи її основу та бічні ребра, можна використовувати наступний алгоритм:

1. Накреслити основу піраміди (багатокутник)
2. Відзначити центр основи – це буде вершина піраміди
3. З'єднати вершину з кожною вершиною багатокутника-основи
4. Отримані трикутники будуть бічними гранями піраміди.

Для побудови правильної піраміди всі бічні ребра мають бути рівними довжини.

Застосування пірамід

Завдяки своїй формі, піраміди знаходять застосування в:

Також піраміди можна використовувати як основу для різних макетів та моделей.

7. Завдання на багатогранники

Вирішення завдань - важлива частина вивчення будь-якої теми. Давайте розглянемо приклади завдань на тему "Многогранники".

Приклад завдання 1

Даний куб зі стороною a. Знайти:

1. Кількість вершин
2. Кількість ребер
3. Кількість граней
4. Площа повної поверхні
5. Об'єм куба

1. У куба у кожній вершині сходяться 3 ребра. Оскільки всього ребер 12 (див. нижче), то вершин 8
2. Кожна грань куба має 4 ребра. Усього 6 граней. Значить, ребер 6*4 = 24
3. У куба 6 квадратних граней
4. S = 6a^2
5. V = a^3

Приклад завдання 2

У правильній чотирикутній піраміді всі бічні ребра дорівнюють 13 см, а висота дорівнює 20 см. Знайти площу основи та об'єм піраміди.

Використовуємо формули для правильної піраміди.

Розбір розв'язання задачі 2

Скористаємося тим, що у правильній піраміді апофема дорівнює половині бічного ребра. Тоді апофема дорівнює 13/2 = 6,5 див.

Периметр основи піраміди дорівнює 4∙13 = 52 см.

За формулою площа бічної поверхні піраміди S = ​​ph, де p – периметр основи, h – апофема. Підставляючи значення, отримуємо:

Об'єм піраміди обчислюємо за формулою V = Сосн⋅H/3, де Сосн - площа основи, H - висота.

Сосн = 338/(4⋅6,5) = 13 (см2)

Підставляючи це і H = 20 см у формулу для обсягу, знаходимо:

Приклад задачі 3

Даний прямокутний паралелепіпед. Знайти площу повної поверхні та об'єм, якщо довжина його ребер: 3 см, 4 см та 7 см.

Розбір розв'язання задачі 3

Скористаємося відомими формулами для прямокутного паралелепіпеда:

де a, b, c - Довжини ребер паралелепіпеда.

Підставляючи числові значення, маємо:

S = 2 (3 · 4 + 3 · 7 + 4 · 7) = 2 (12 + 21 + 28) = 122 (см2)

Відповідь: площа повної поверхні дорівнює 122 см2, обсяг дорівнює 84 см3.

8. Застосування багатогранників

Багатогранні форми широко використовують у різних областях.

В архітектурі та будівництві

Багатогранні форми часто зустрічаються в архітектурі:

• Дахи будинків мають форму піраміди або призми.
• Фасади можуть повторювати контури куба або паралелепіпеда.
• Арочні конструкції нагадують циліндр

Міцність та стійкість багатогранних опор використовується при зведенні мостів, веж, хмарочосів.

У дизайні

Багатогранні форми застосовуються в дизайні:

• В інтер'єрі для створення геометричних композицій
• У меблів та предметах обстановки
• У художніх інсталяціях

Такі форми надають інтер'єрам та об'єктам виразності, динаміки, футуристичності.

У техніці

Конструкція багатьох технічних виробів полягає в використанні властивостей багатогранників:

Багатогранник

БАГАТОГРАНИК, частина простору, обмежена сукупністю кінцевого числа плоских багатокутників, з'єднаних таким чином, що кожна сторона будь-якого багатокутника є стороною рівно одного іншого багатокутника (званого суміжним), причому навколо кожної вершини існує рівно один цикл багатокутників. Ці багатокутники називаються гранями, їхні сторони ребрами, а вершини вершинами багатогранника.

На рис. 1 представлені кілька відомих багатогранників. Перші два є прикладами р-Вугільних пірамід, тобто. багатогранників, що складаються з р-кутника, званого основою, та р трикутників, що примикають до основи та мають загальну вершину (звану вершиною піраміди). При р = 3 (см. рис. 1,а) основою може бути будь-яка грань піраміди. Піраміда, основа якої має форму правильного р-кутника, називається правильною р-вугільною пірамідою. Так, можна говорити про квадратні, правильні п'ятикутні і т.д. піраміди. На рис. 1,в, 1,г та 1,д наведено приклади деякого класу багатогранників, вершини яких можна розділити на дві множини з однакового числа точок; точки кожної з цих множин є вершинами р-кутника, причому площини обох p-кутників паралельні. Якщо ці два р-кутника (основи) конгруентні і розташовані так, що вершини одного р-кутника з'єднані з вершинами іншого р-кутника паралельними прямолінійними відрізками, то такий багатогранник називається р-вугільною призмою. Прикладами двох р-вугільних призм можуть служити трикутна призма (р = 3) на рис. 1,в і п'ятикутна призма (р = 5) на рис. 1,г. Якщо ж підстави розташовані так, що вершини одного р-кутника з'єднані з вершинами іншого р-кутника зигзагоподібної ламаною, що складається з 2р прямолінійних відрізків, як у рис. 1,д, то такий багатогранник називається р-вугільною антипризмою.

Крім двох підстав, у р-Вугільної призми є р граней – паралелограмів. Якщо паралелограми мають форму прямокутників, то призма називається прямою, а якщо до того ж основами служать правильні р-кутники, то призма називається прямою правильною р-вугільною призмою. р-вугільна антипризму має (2p + 2) граней: 2р трикутних граней і два p-Вугільні основи. Якщо основами служать конгруентні правильні р-кутники, а пряма, що з'єднує їх центри, перпендикулярна до їх площин, то антипризму називається прямою правильною р-вугільною антипризмою.

У визначенні багатогранника останнє застереження зроблено у тому, щоб виключити з розгляду такі аномалії, як дві піраміди із загальною вершиною. Тепер ми введемо додаткове обмеження безлічі допустимих багатогранників, вимагаючи, щоб жодні дві грані не перетиналися, як на рис. 1,е. Будь-який багатогранник, що задовольняє цю вимогу, ділить простір на дві частини, одна з яких кінцева і називається «внутрішньою». Інша частина, що залишилася, називається зовнішньою.

Багатогранник називається опуклим, якщо жоден прямолінійний відрізок, що з'єднує будь-які дві точки, не містить точок, що належать зовнішньому простору. Багатогранники на рис. 1,а, 1,б, 1,в та 1,д опуклі, а п'ятикутна призма на рис. 1,г не випукла, тому що, наприклад, відрізок PQ містить точки, що лежать у зовнішньому просторі призми.

ПРАВИЛЬНІ МНОГОГРАНИКИ

Випуклий багатогранник називається правильним, якщо він задовольняє наступним двом умовам:

-283(i) усі його грані – конгруентні правильні багатокутники;

(ii) до кожної вершини примикає те саме число граней.

Якщо всі грані – правильні р-кутники та q з них примикають до кожної вершини, то такий правильний багатогранник позначається p, q>. Це позначення було запропоновано Л.Шлефлі (1814–1895), швейцарським математиком, якому належить чимало витончених результатів у геометрії та математичному аналізі.

Існують непуклі багатогранники, у яких грані перетинаються і які називаються «правильними зірчастими багатогранниками». Оскільки ми домовилися такі багатогранники не розглядати, то під правильними багатогранниками ми розумітимемо виключно опуклі правильні багатогранники.

Платонові тіла.

На рис. 2 зображені правильні багатогранники. Найпростішим із них є правильний тетраедр, гранями якого є чотири рівносторонні трикутники і до кожної з вершин примикають по три грані. Тетраедру відповідає запис. Це не що інше, як окремий випадок трикутної піраміди. Найбільш відомий із правильних багатогранників куб (іноді званий правильним гексаедром) – пряма квадратна призма, усі шість граней якої – квадрати.Оскільки до кожної вершини примикають по 3 квадрати, куб позначається . Якщо дві конгруентні квадратні піраміди з гранями, що мають форму рівносторонніх трикутників, поєднати основами, то вийде багатогранник, який називається правильним октаедром. Він обмежений вісьмома рівносторонніми трикутниками, до кожної з вершин примикають по чотири трикутники, і отже, йому відповідає запис . Правильний октаедр можна розглядати і як окремий випадок прямої правильної трикутної антипризми. Розглянемо тепер пряму правильну п'ятикутну антипризму, грані якої мають форму рівносторонніх трикутників, і дві правильні п'ятикутні піраміди, основи яких конгруентні основи антипризми, а грані мають форму рівносторонніх трикутників. Якщо ці піраміди приєднати до антипризми, поєднавши їх підстави, то вийде ще один правильний багатогранник. Двадцять граней мають форму рівносторонніх трикутників, до кожної вершини примикають по п'ять граней. Такий багатогранник називається правильним ікосаедром і позначається. Крім чотирьох названих вище правильних багатогранників існує ще один – правильний додекаедр, обмежений дванадцятьма п'ятикутними гранями; до кожної його вершині примикають три грані, тому додекаэдр позначається як .

П'ять перерахованих вище правильних багатогранників, які часто називають також «тілами Платона», захопили уяву математиків, містиків і філософів давнини понад дві тисячі років тому. Давні греки навіть встановили містичну відповідність між тетраедром, кубом, октаедром та ікосаедром та чотирма природними засадами – вогнем, землею, повітрям та водою. Що ж до п'ятого правильного багатогранника, додекаэдра, всі вони розглядали його як форму Всесвіту.Ці ідеї не є лише надбанням минулого. І зараз, через два тисячоліття, багатьох приваблює естетичний початок, що лежить в їх основі. Про те, що вони не втратили свою привабливість і досі, дуже переконливо свідчить картина іспанського художника Сальвадора Далі. Таємна вечеря.

Давніми греками досліджувалися також багато геометричні властивості платонових тіл; з плодами їх досліджень можна ознайомитися за 13-ю книгою Почав Евкліда. Вивчення платонових тіл і пов'язаних із ними фігур триває й досі. І хоча основними мотивами сучасних досліджень є краса і симетрія, вони мають також і деяке наукове значення, особливо в кристалографії. Кристали кухонної солі, тіоантимоніду натрію та хромових галунів зустрічаються в природі у вигляді куба, тетраедра та октаедра відповідно. Ікосаедр та додекаедр серед кристалічних форм не зустрічаються, але їх можна спостерігати серед форм мікроскопічних морських організмів, відомих під назвою радіолярій.

Число правильних багатогранників.

Звичайно запитати, чи існують крім платонових тіл інші правильні багатогранники. Як показують такі прості міркування, відповідь має бути негативною. Нехай p, q> - Довільний правильний багатогранник. Так як його гранями служать правильні р-кутники, їх внутрішні кути, як легко показати, рівні (180 – 360/р) або 180 (1 – 2/р) градусам. Так як багатогранник p, q> опуклий, сума всіх внутрішніх кутів по граням, що примикають до будь-якої з його вершин, повинна бути меншою за 360 градусів. Але до кожної вершини примикають q граней, тому має виконуватися нерівність

де символ 5 допустимих значень q немає.Отже, інших правильних багатогранників, крім тіл Платона, немає.

Усі п'ять правильних багатогранників перелічені у таблиці, наведеній нижче. У трьох останніх стовпцях вказано N₀ - Число вершин, N₁ - Число ребер і N₂ - Число граней кожного багатогранника.

На жаль, визначення правильного багатогранника, що наводиться в багатьох підручниках геометрії, неповно. Поширена помилка полягає в тому, що у визначенні потрібно лише виконання наведеної вище умови (i), але не береться до уваги умова (ii). Тим часом умова (ii) абсолютно необхідна, у чому найпростіше переконатися, розглянувши опуклий багатогранник, що задовольняє умові (i), але не задовольняє умові (ii). Найпростіший приклад такого роду можна побудувати, ототожнивши грань правильного тетраедра з гранню ще одного тетраедра, конгруентного першому. У результаті отримаємо опуклий багатогранник, шістьма гранями якого є конгруентні рівносторонні трикутники. Однак до одних вершин примикають три грані, а до інших – чотири, що порушує умову (ii).

П'ять правильних багатогранників

Властивості правильних багатогранників.

Вершини будь-якого правильного багатокутника лежать на сфері (що навряд чи викликає подив, якщо згадати, що вершини будь-якого правильного багатокутника лежать на колі). Крім цієї сфери, яка називається «описаною сферою», є ще дві важливі сфери. Одна з них, «середня сфера», проходить через середини всіх ребер, а інша, «вписана сфера», стосується всіх граней у їхніх центрах. Усі три сфери мають загальний центр, який називається центром багатогранника.

Подвійні багатогранники.

Розглянемо правильний багатогранник p, q> та його серединну сферу S. Середня точка кожного ребра стосується сфери.Замінюючи кожне ребро відрізком перпендикулярної прямої, що стосується S у тій же точці, ми отримаємо N₁ ребер багатогранника, двоїстого багатогранника p, q>. Неважко показати, що гранями двоїстого багатогранника служать правильні q-кутники і що до кожної вершини примикають р граней. Отже, багатограннику p, q> двоїстий правильний багатогранник q, p>. Багатограннику двоїстий інший багатогранник, конгруентний вихідному (тому називається самодвійним багатогранником), багатограннику двоїстий багатогранник, а багатограннику - багатогранник. На рис. 3 багатогранники та показані в положенні двоїстості один одному. Крім того, кожній вершині, кожному ребру та кожній грані багатогранника p, q> відповідає єдина грань, єдине ребро і єдина вершина двоїстого багатогранника q, p>. Отже, якщо p, q> має N₀ вершин, N₁ ребер та N₂ граней, то q, p> має N₂ вершин, N₁ ребер та N₀ граней.

Бо кожна з N₂ граней правильного багатогранника p, q> обмежена р ребрами і кожне ребро є загальним рівно для двох граней, то є pN₂/2 ребер, тому N₁ = pN₂/2. У двоїстого багатогранника q, p> ребер також N₁ і N₀ граней, тому N₁ = qN₀/2. Таким чином, числа N₀, N₁ і N₂ для будь-якого правильного багатогранника p, q> пов'язані співвідношенням

Симетрія.

Основний інтерес до правильних багатогранників викликає велику кількість симетрій, які вони мають.Під симетрією (або перетворенням симетрії) багатогранника ми розуміємо такий його рух як твердого тіла у просторі (наприклад, поворот навколо деякої прямої, відображення щодо деякої площини тощо), що залишає незмінними безлічі вершин, ребер та граней багатогранника. Інакше висловлюючись, під впливом перетворення симетрії вершина, ребро чи грань або зберігає своє вихідне становище, або перетворюється на вихідне становище інший вершини, іншого ребра чи інший грані.

Існує одна симетрія, яка властива всім багатогранникам. Йдеться про тотожне перетворення, що залишає будь-яку точку у вихідному положенні. З менш тривіальним прикладом симетрії ми зустрічаємося у разі прямої правильної р-Вугільної призми. Нехай l - Пряма, що з'єднує центри основ. Поворот навколо l на будь-яке ціле кратне кута 360/р градусів є симетрією. Нехай, далі, p - Площина, що проходить посередині між основами паралельно їм. Відображення щодо площини p (Рух, що переводить будь-яку точку P у крапку P у , таку, що p перетинає відрізок PP у під прямим кутом і ділить його навпіл) – ще одна симетрія. Комбінуючи відображення щодо площини p з поворотом навколо прямої l, ми отримаємо ще одну симетрію

Будь-яку симетрію багатогранника можна у вигляді твори відбитків. Під добутком кількох рухів багатогранника як твердого тіла тут розуміється виконання окремих рухів у певному заздалегідь встановленому порядку. Наприклад, згадуваний вище поворот на кут 360/р градусів навколо прямої l є твір відбитків щодо будь-яких двох площин, що містять l і утворюють відносно один одного кут 180/р градусів. Симетрія, що є твором парного числа відбитків, називається прямою, інакше – зворотною. Таким чином, будь-який поворот навколо прямої – пряма симетрія. Будь-яке відображення є зворотною симетрією.

Розглянемо докладніше симетрії тетраедра, тобто. правильного багатогранника. Будь-яка пряма, що проходить через будь-яку вершину та центр тетраедра, проходить через центр протилежної грані. Поворот на 120 або 240 градусів навколо цієї прямої належить до симетрій тетраедра. Так як у тетраедра 4 вершини (і 4 грані), ми отримаємо всього 8 прямих симетрій. Будь-яка пряма проходить через центр і середину ребра тетраедра проходить через середину протилежного ребра. Поворот на 180 градусів (напівобіг) навколо такої прямої також є симетрією. Так як у тетраедра 3 пари ребер, ми отримуємо ще 3 прямі симетрії. Отже, загальна кількість прямих симетрій, включаючи тотожне перетворення, сягає 12. Можна показати, що інших прямих симетрій немає і що є 12 зворотних симетрій. Таким чином, тетраедр допускає лише 24 симетрії. Для наочності корисно побудувати картонну модель правильного тетраедра і переконатися, що тетраедр дійсно має 24 симетрії. Розгортки, які можна вирізати з тонкого картону і, склавши, склеїти їх п'ять правильних багатогранників, наведені на рис. 4.

Прямі симетрії решти правильних багатогранників можна описати не окремо, а всі разом. Умовимося розуміти під p, q> будь-який правильний багатогранник, крім . Пряма, що проходить через центр p, q> будь-яку вершину, проходить через протилежну вершину, і будь-який поворот на ціле кратне 360/q градусів навколо цієї прямої є симетрією.Отже, для кожної такої прямої існують, включаючи тотожне перетворення (q - 1) різних симетрій. Кожна така пряма з'єднує дві з N₀ вершин; отже, всього таких прямих – N₀/2, що дає (q – 1) > N₀/ 2 симетрій. Крім того, пряма, що проходить через центр багатогранника p, q> і центр будь-якої грані, проходить через центр протилежної грані, і будь-який поворот навколо такої прямої на ціле кратне 360/р градусів є симетрією. Оскільки загальна кількість таких ліній дорівнює N₂/2, де N₂ - Число граней багатогранника p, q>, ми отримуємо (p – 1) N₂/2 різних симетрій, включаючи тотожне перетворення. Нарешті, пряма, що проходить через центр і середину будь-якого ребра багатогранника p, q>, проходить через середину протилежного ребра, і симетрією є напівобіг навколо цієї прямої. Оскільки є N₁/2 таких прямих, де N₁ - Число ребер багатогранника p, q>, ми отримуємо ще N₁/ 2 симетрій. З урахуванням тотожного перетворення отримуємо

прямих симетрій. Інших прямих симетрій немає, і є стільки ж симетрій зворотних.

Хоча формула (3) була отримана не для багатогранника, неважко перевірити, що вона вірна і для нього. Таким чином, багатогранник має 12 прямих симетрій, багатогранники і мають по 24 симетрії, а багатогранники і - по 60 симетрій.

Читачі, знайомі з абстрактною алгеброю, зрозуміють, що симетрії багатогранника p, q> утворюють групу щодо певного вище «множення». У цій групі прямі симетрії утворюють підгрупу індексу 2, а зворотні симетрії групу не утворюють, оскільки порушують властивість замкнутості та не містять тотожного перетворення (одиничного елемента групи).Зазвичай про групу прямих симетрій говорять як групу багатогранника, а повну групу симетрій називають його розширеною групою. З розглянутих вище властивостей двоїстих багатогранників ясно, що будь-який правильний багатогранник і двоїстий йому багатогранник мають одну і ту ж групу. Група тетраедра називається тетраедричною групою, група куба та октаедра називається октаедричною групою, а група додекаедра та ікосаедра – ікосаедричною групою. Вони ізоморфні знакозмінній групі А₄ із чотирьох символів, симетричній групі S₄ з чотирьох символів та знакозмінної групи А₅ з п'яти символів відповідно (див. також Алгебра абстрактна).

Формула ейлера

Розглядаючи таблицю, можна побачити цікаве співвідношення між числом вершин N₀числом ребер N₁ і числом граней N₂ будь-якого опуклого правильного багатогранника p, q>. Йдеться про співвідношення

яке називається формулою Ейлера на честь Л.Ейлера, що відкрив її (1707-1783). Ліва частина формули (4) називається "ейлеровою характеристикою".

Формула Ейлера використовується у поєднанні з формулами (2) та (3). З (4) та (2) отримуємо:

Звідси випливає вираз для N₁ через p і q:

Скориставшись ще раз формулою (2), знаходимо аналогічні вирази для N₀ і N₂:

Підставляючи отримані вирази формули (3) і (4), отримуємо, що число прямих симетрій багатогранника p, q> одно

Це число можна записати також в одній із еквівалентних форм: qN₀, 2N₁ або pN₂.

Область застосування формули Ейлера.

Значимість формули Ейлера посилюється тим, що вона застосовна не тільки до платонових тіл, але й до будь-якого багатогранника, гомеоморфного сфери (см. ТОПОЛОГІЯ).Це твердження доводиться в такий спосіб.

Нехай P – будь-який багатогранник, гомеоморфний сфері, з N₀ вершинами, N₁ ребрами та N₂ гранями; нехай c = N₀ – N₁ + N₂ - Ейлерова характеристика багатогранника P. Потрібно довести, що c = 2. Оскільки Р гомеоморфен сфері, ми можемо видалити одну грань і перетворити інші на деяку конфігурацію на площині (наприклад, на рис. 5,а та 5,б ви бачите призму, у якої видалено передню площину). "Площинна конфігурація" являє собою мережу точок і прямолінійних відрізків, званих відповідно "вершинами" і "ребрами", при цьому вершини служать кінцями ребер. Вершини і ребра конфігурації, яку ми розглядаємо, ми вважаємо зміщеними і деформованими вершинами і ребрами багатогранника. Таким чином, ця конфігурація має N₀ вершин та N₁ ребер. Інші N₂ - 1 граней багатогранника деформуються в N₂ – 1 областей, що не перетинаються, на площині, що визначається конфігурацією. Назвемо ці області "гранями" конфігурації. Вершини, ребра та грані конфігурації та визначають ейлерову характеристику, яка в даному випадку дорівнює c – 1.

Тепер ми проведемо сплющування так, що якщо віддалена грань була р-кутником, то все N₂ – 1 граней конфігурації заповнять начинку р-кутника. Нехай А - деяка вершина всередині р-кутника. Припустимо, що в А сходяться r ребер. Якщо видалити А і все r ребер, що сходяться в ній, то число вершин зменшиться на 1, ребер - на r, граней – на r – 1 (см. рис. 5,б та 5,в). Нова конфігурація N у 0 = N₀ - 1 вершин, N у 1 = N₁ – r ребер та N у 2 = N₂ – 1 – (r - 1) граней; отже,

Таким чином, видалення однієї внутрішньої вершини і ребер, що сходяться в ній, не змінює ейлерової характеристики конфігурації. Тому, видаливши всі внутрішні вершини і ребра, що сходяться в них, ми тим самим зведемо конфігурацію до р-кутнику та його нутрощі (рис. 5,г). Але ейлерова характеристика залишиться, як і раніше, рівною c – 1, тому що конфігурація має р вершин, р ребер та 1 грань, ми отримуємо

Таким чином, c = 2, що потрібно було довести.

Далі можна довести, якщо ейлерова характеристика багатогранника дорівнює 2, то багатогранник гомеоморфен сфері. Інакше висловлюючись, ми можемо узагальнити отриманий вище результат, показавши, що багатогранник гомеоморфен сфері у цьому і лише тому випадку, якщо його ейлерова характеристика дорівнює 2.

Узагальнена формула Ейлер.

Для класифікації інших багатогранників використається узагальнена формула Ейлера. Якщо в деякого багатогранника 16 вершин, 32 ребра і 16 граней, його ейлерова характеристика дорівнює 16 – 32 + 16 = 0. Це дозволяє стверджувати, що цей багатогранник належить класу багатогранників, гомеоморфних тору. Відмінною особливістю цього класу є ейлерова характеристика, що дорівнює нулю. Більше загально, нехай Р - багатогранник з N₀ вершинами, N₁ ребрами та N₂ гранями. Говорять, що цей багатогранник гомеоморфен поверхні роду n в тому і лише в тому випадку, якщо

Нарешті, слід зазначити, що ситуація суттєво ускладнюється, якщо пом'якшити колишнє обмеження, за яким жодні дві грані багатогранника не повинні перетинатися. Наприклад, з'являється можливість існування двох негомеоморфних багатогранників з тією самою ейлеровою характеристикою. Їх слід розрізняти за іншими топологічними властивостями.