Чим відрізняється помилка від похибки вимірів у метрології?

Помилки та похибки вимірів є важливими поняттями в метрології, науці, що вивчає виміри та їх особливості. Часто ці терміни можна зустріти разом, проте вони мають різні значення та характеристики.

Помилка виміру - це різниця між результатом виміру і справжнім значенням вимірюваної величини. Помилка виникає через систематичні або випадкові фактори, такі як похибка приладу, зовнішні впливи або неправильне використання приладу. Помилка виміру може бути позитивною або негативною, але в загальному випадку прагне нуля.

Похибка вимірювання - це характеристика, що описує допустимий діапазон значень, в якому може бути результат вимірювання із заданою ймовірністю. Похибка враховує сукупність всіх можливих факторів, що впливають на точність виміру, включаючи як систематичні, так і випадкові помилки. Похибка вимірювання зазвичай вказується із заданим рівнем достовірності, наприклад, 95%.

Таким чином, помилка та похибка вимірювань у метрології є пов'язаними поняттями, але мають різний зміст. Помилка – це фактичне відхилення від справжнього значення, тоді як похибка – це допустимий діапазон значень із заданим рівнем достовірності. Розуміння та облік цих понять важливе для досягнення точності та надійності вимірювань у різних галузях дослідження та застосування.

Поняття та причини помилок вимірювань

Помилки вимірів можуть бути поділені на систематичні та випадкові. Систематичні помилки виникають у результаті некоректної роботи вимірювального приладу чи суб'єкта, що здійснює вимір.Вони зумовлені постійними причинами і виявляються однаково у всіх повторних вимірах. Систематичні помилки можуть бути викликані такими факторами, як неправильне калібрування приладу, невідповідність умов експлуатації або дефекти вимірювальної системи.

Випадкові помилки, у свою чергу, не можуть бути передбачені та пов'язані з непередбачуваними факторами та умовами. Вони виявляються як відхилення результатів вимірів від справжніх значень. Випадкові помилки можуть бути викликані такими факторами, як зовнішні впливи, недосконалість вимірювальної системи або неправильне використання приладу.

Розуміння причин виникнення помилок вимірювань важливе для ефективного контролю якості вимірювальних процесів та підвищення точності вимірювань. Для мінімізації помилок необхідно враховувати та вживати заходів щодо усунення чи компенсації систематичних помилок та надати належні умови для вимірювань з метою зниження випадкових помилок.

Види помилок вимірів

При проведенні вимірювань можуть виникати різні види помилок, які впливають на точність та достовірність результатів.

Випадкова помилка - Це несистематична помилка, яка може виникнути випадковим чином при виконанні вимірювань. Вона може бути викликана такими факторами, як шум, тремтіння руки або неправильне читання приладу. Випадкова помилка може бути зменшена шляхом повторного виміру та використання статистичних методів для визначення середнього значення та стандартного відхилення.

Систематична помилка — це помилка, яка виникає через недосконалість приладів або методи вимірювання, що виконуються. Вона має постійне значення і зазвичай викликана помилками калібрування або налаштування приладу.Систематичну помилку можна усунути або зменшити шляхом калібрування приладу, застосування поправочних коефіцієнтів або використання більш точного приладу.

Абсолютна помилка - це різниця між реальним значенням та виміряним значенням в абсолютних величинах. Вона може бути позитивною чи негативною, залежно від того, як виміряне значення відрізняється від реального.

Відносна помилка - Це ставлення абсолютної помилки до виміряного значення. Вона дозволяє порівнювати помилки різних вимірів. Відносна помилка виражається у відсотках та дозволяє оцінити, наскільки точно було виконано вимір.

Приладова похибка - Це інструментальна помилка, яка виникає через неточність або несправність приладу. Вона може бути викликана неправильною шкалою, зношеними деталями або невідповідним калібруванням приладу. Приладову похибку можна усунути шляхом регулярного калібрування та обслуговування приладу.

Врахування помилок вимірювань та мінімізація їх впливу є важливою частиною процесу метрології. Коректна оцінка помилок дозволяє отримувати точні та достовірні результати вимірювань, що є критично важливим для багатьох областей науки та промисловості.

Помилка вимірів у сфері метрології

Помилка вимірювань може виникати через безліч причин, включаючи, але не обмежуючись, неправильним калібруванням інструменту, невідповідністю умов проведення вимірювань стандартним умовам, некоректною технікою вимірювань, а також наявністю систематичних або випадкових похибок.

Систематична помилка, чи помилка зміщення, є постійну різницю між виміряними значеннями та його істинними значеннями.Така помилка може виникнути через неправильне налаштування або калібрування вимірювального приладу, а також через неправильне виконання вимірювальної процедури.

З іншого боку, випадкова помилка, або помилка розкиду, є непередбачуваною різницею, що коливається між виміряними значеннями та їх істинними значеннями. Така помилка може виникати через зовнішні впливи, такі як теплові або електромагнітні перешкоди, а також через брак точності самого вимірювального приладу.

Розуміння та управління помилкою вимірів відіграє важливу роль у метрології, оскільки точність та надійність вимірів є критичними факторами для багатьох галузей науки, техніки та промисловості. Помилка вимірювань повинна бути оцінена та врахована під час проведення вимірювань, щоб отримати достовірні результати та мінімізувати можливі помилки під час прийняття рішень на основі вимірювань.

Отже, помилка вимірів представляє різницю між виміряним значенням та його істинним значенням, і навіть може бути викликана систематичними чи випадковими чинниками. Розуміння та управління помилкою вимірювань є важливою частиною метрології та сприяє підвищенню точності та надійності вимірювань у багатьох сферах застосування.

Поняття та сутність похибки вимірювань

Похибка вимірів обумовлена ​​різними факторами, такими як систематичні та випадкові помилки, умови та методи проведення вимірювань, якість використовуваних приладів та технічні характеристики обладнання.

p align="justify"> Систематичні помилки, або систематична похибка, виникають при невідповідності вимірювального приладу або методу його застосування істинному значенню величини.Така помилка повторюється в кожному вимірі і може бути пов'язана з некоректним калібруванням приладу, неправильним застосуванням методу вимірювання або неякісним обладнанням.

Випадкові помилки, або випадкова похибка, викликані відмінностями у результатах вимірів при повторному проведенні експерименту за однакових умов. Це з змінами зовнішніх чинників чи самих об'єктів вимірювань, і навіть з обмеженою точністю самого приладу. Випадкова похибка може бути врахована шляхом проведення серії повторних вимірів та знаходження середнього значення.

Для наближеної оцінки похибки вимірів використовується поняття точності вимірів, Що означає припустиму помилку вимірювання. Щоб звести похибку до мінімуму, необхідно використовувати високоточні прилади, стежити за умовами проведення вимірювань, правильно застосовувати методи вимірювання та регулярно проводити калібрування обладнання.

Розуміння похибки вимірювань та вміння її аналізувати та враховувати є важливою навичкою для фахівців у галузі метрології та наукових досліджень. Тільки з урахуванням похибки можна гарантувати точність отриманих результатів та приймати обґрунтовані рішення.

Види похибок вимірів

У процесі вимірів у метрології виникають різні види похибок, які можуть проводити точність отриманих результатів. Розглянемо основні види похибок:

Під час проведення вимірювань необхідно враховувати всі можливі види похибок, щоб максимально підвищити точність та надійність результатів.

Відмінності між помилкою та похибкою вимірювань

Помилка та похибка є двома різними концепціями, пов'язаними з неточністю вимірів.

Помилка описує різницю між виміряним значенням та його справжнім значенням. Це означає, що помилка може бути позитивною чи негативною величиною. Помилка може виникнути через проблеми під час вимірювання, такі як неточності в приладі, помилки оператора або зовнішні дії. Помилка завжди пов'язана з конкретним виміром і може бути скоригована або зменшена шляхом усунення джерел помилок або використання коригуючих коефіцієнтів.

З іншого боку, похибка - це сумарний вплив усіх можливих помилок на точність вимірів. Похибка включає як систематичні, так і випадкові помилки.Систематична помилка, також відома як тривала помилка, викликана постійними неточностями в системі вимірювань і може бути скоригована шляхом застосування виправлень або калібрування. Випадкова помилка, чи короткострокова помилка, пов'язані з непередбачуваними чинниками і характеризується випадковими відхиленнями від справжнього значення. Похибка є кількісною характеристикою точності вимірювання і вимірюється з використанням різних методів, таких як середньоквадратичне відхилення або довірчий інтервал.

Таким чином, ключова відмінність між помилкою та похибкою полягає в тому, що помилка це індивідуальне відхилення від істинного значення, у той час як похибка поєднує всі можливі помилки, що виникають при вимірах і дає уявлення про загальну точність. Розуміння цих відмінностей дозволяє покращити точність та надійність вимірювань, що є необхідним для досягнення високої якості та точності у наукових та технічних дослідженнях.

Похибки вимірів, поняття, визначення, види, класифікація

Основною метрологічною характеристикою вимірювальних приладів та вимірювального ланцюга загалом є похибка вимірювання.

• Похибка результату виміру - відхилення результату виміру від дійсного (справжнього) значення вимірюваної величини;

• - відхилення метрологічних властивостей чи параметрів засобів вимірів від номінальних, що впливають на похибки результатів вимірів (що створюють так звані інструментальні помилки вимірів).

Основні види похибок:

обумовлена ​​недосконалістю методу вимірів чи спрощеннями, допущеними при вимірах.Так, вона виникає через використання наближених формул при розрахунку результату чи неправильної методики вимірювань. Вибір помилкової методики можливий через невідповідність (неадекватність) вимірюваної фізичної величини та її модель.

• Причиною методичної похибки може бути врахування взаємного впливу об'єкта вимірювань і вимірювальних приладів або недостатня точність такого обліку. Наприклад, методична похибка виникає при вимірюваннях падіння напруги на ділянці ланцюга за допомогою вольтметра, так як через дії вольтметра, що шунтує, вимірювана напруга зменшується. Механізм взаємного впливу може бути вивчений, а похибки розраховані та враховані.

Інструментальна похибка обумовлена ​​недосконалістю застосовуваних засобів вимірів. Причинами її виникнення є неточності, допущені при виготовленні та регулюванні приладів, зміна параметрів елементів конструкції та схеми внаслідок старіння. У високочутливих приладах можуть виявлятися їх внутрішні шуми.

Статична похибка вимірів - похибка результату вимірів, властива умовам статичного виміру, тобто при вимірі постійних величин після завершення перехідних процесів в елементах приладів та перетворювачів.

• Статична похибка засобу вимірів виникає при вимірі з допомогою постійної величини. Якщо паспорті коштом вимірів вказують граничні похибки вимірювань, визначені в статичних умовах, всі вони можуть характеризувати точність його у динамічних умовах.

Динамічна похибка вимірів - похибка результату вимірів, властива умовам динамічного виміру.

• Динамічна похибка утворюється при вимірі змінних величин і зумовлена ​​інерційними властивостями засобів вимірів. Динамічною похибкою засобу вимірювань є різниця між похибкою середвимірювань у динамічних умовах та його статичною похибкою, що відповідає значенню величини в даний момент часу. При розробці або проектуванні засобу вимірювання слід враховувати, що збільшення похибки вимірювань і запізнення появи вихідного сигналу пов'язані зі зміною умов.

Статичні та динамічні похибки відносяться до похибок результату вимірювань. Більшість приладів статична і динамічна похибки виявляються пов'язані між собою, оскільки співвідношення між цими видами похибок залежить від характеристик приладу та характерного часу зміни величини.

Систематична похибка виміру - складова похибки виміру, що залишається постійною чи закономірно змінюється при повторних вимірах однієї й тієї ж фізичної величини. Систематичні похибки є у випадку функцією вимірюваної величини, які впливають величин (температури, вологості, напруги харчування та ін.) і часу. У функції вимірюваної величини систематичні похибки входять при перевірці та атестації зразкових приладів.

Причинами виникнення систематичних складових похибки виміру є:

• відхилення параметрів реального засобу вимірів від розрахункових значень, передбачених схемою;
• неврівноваженість деяких деталей засобу вимірювання щодо їх осі обертання, що призводить до додаткового повороту за рахунок зазорів, що є в механізмі;
• пружна деформація деталей засобу вимірювання, що мають малу жорсткість, що призводить до додаткових переміщень;
• похибка градуювання або невелике зрушення шкали;
• неточність припасування шунта або додаткового опору, неточність зразкової вимірювальної котушки опору;
• нерівномірне знос напрямних пристроїв для базування вимірюваних деталей;
• знос робочих поверхонь, деталей засобу вимірювань, за допомогою яких здійснюється контакт ланок механізму;
• втомні вимірювання пружних властивостей деталей, а також їх природне старіння;
• несправності засобу вимірів.

Випадковою похибкою називають складові похибки вимірювань, що змінюються випадковим чином при повторних вимірах однієї й тієї величини. Випадкові похибки визначаються спільною дією низки причин: внутрішніми шумами елементів електронних схем, наведеннями на вхідні ланцюги засобів вимірювань, пульсацією постійної напруги живлення, дискретністю рахунку. Вони принципово неможливо усунути або враховані при вимірах.

Похибка градуювання засобу вимірювань - похибка дійсного значення величини, приписаного тій чи іншій позначці шкали засобу вимірів у результаті градуювання.

Похибка адекватності моделі називають похибку під час виборів функціональної залежності. Характерним прикладом може бути побудова лінійної залежності за даними, які краще описуються статечним поруч із малими нелінійними членами.

• Похибка адекватності відноситься до вимірювань для перевірки моделі. Якщо залежність параметра стану від рівнів вхідного фактора задана при моделюванні об'єкта досить точно, похибка адекватності виявляється мінімальною.Ця похибка може залежати від динамічного діапазону вимірювань, наприклад, якщо однофакторна залежність задана при моделюванні параболою, то в невеликому діапазоні вона мало відрізнятиметься від експоненційної залежності. Якщо діапазон вимірювань збільшити, похибка адекватності сильно зросте.

Абсолютна похибка - різниця алгебри між номінальним і дійсним значеннями вимірюваної величини.

• Абсолютна похибка вимірюється у тих самих одиницях виміру, як і сама величина, у розрахунках її прийнято позначати грецькою літерою - ∆. На малюнку нижче ∆X та ∆Y - абсолютні похибки.

Відносна похибка - Відношення абсолютної похибки до того значення, яке приймається за істинне. Відносна похибка є безрозмірною величиною або вимірюється у відсотках, у розрахунках позначається буквою - δ.

Наведена похибка - Похибка, виражена ставленням абсолютної похибки засобу вимірювань до умовно прийнятого значення величини, постійному у всьому діапазоні вимірювань або в частині діапазону. Обчислюється за формулою:

де Xn - нормуюче значення, яке залежить від типу шкали вимірювального приладу та визначається за його градуюванням:

• якщо шкала приладу одностороння і нижня межа вимірювань дорівнює нулю (наприклад, діапазон вимірювань 0. 100), то Xn визначається рівною верхній межі вимірювань (Xn=100);

• якщо шкала приладу одностороння, нижня межа вимірювань більша за нуль, то Xn визначається як різниця між максимальним і мінімальним значеннями діапазону (для приладу з діапазоном вимірювань 30. 100, Xn=Xmax-Xmin=100-30=70);

• якщо шкала приладу двостороння, то нормуюче значення дорівнює ширині діапазону вимірів приладу (діапазон вимірів -50. +50, Xn = 100).

Наведена похибка є безрозмірною величиною або вимірюється у відсотках.

Наведена похибка пропорційна абсолютної похибки, тому якщо абсолютна похибка вимірювального приладу постійна у всьому діапазон вимірювання, то наведена буде також постійною. Отже вона характеризує точність вимірювального приладу незалежно від значення параметра, що вимірюється, і її вважають основною метрологічною характеристикою вимірювального приладу.

Наведена похибка змінюється під дією зміни навколишньої температури, тиску, вібрації тощо. У зв'язку з цим для кожного приладу регламентують нормальні умови експлуатації (температуру, вологість, напругу живлення тощо)

Основна похибка вимірювального приладу - похибка при його експлуатації у нормальних умовах;

Додаткова похибка - похибка при експлуатації приладу на відміну від нормальних умов.

Наявність різних показників точності – абсолютної та наведеної, основної та додаткової похибок, ускладнює порівняння вимірювальних приладів. Необхідна узагальнена характеристика їхніх метрологічних властивостей. Такою характеристикою є клас точності вимірювального приладу.

• Клас точності – це максимально допустима наведена похибка (у відсотках) за нормальних умов експлуатації.

Похибка в кожному окремому вимірі може бути і меншою за максимальну.Тому клас точності не може бути безпосереднім показником точності приладу, він лише визначає можливе граничне значення наведеної похибки. ГОСТом встановлені стандартні класи точності: 0,005, 0,002, 0,05, 0,1, 0,25, 0,5, 1,0, 1,5, 2,5, 4,0.

Мультиплікативна похибка - похибка, що лінійно зростає або спадає зі зростанням вимірюваної величини.

Розрізняти адитивні та мультиплікативні похибки найлегше по смузі похибок:

Якщо абсолютна похибка залежить від значення вимірюваної величини, то смуга визначається адитивної похибкою (а). Іноді адитиву похибку називають похибкою нуля.
Якщо постійною величиною є відносна похибка, то смуга похибок змінюється в межах діапазону вимірів та похибка називається мультиплікативною (б). Яскравим прикладом адитивної похибки є похибка квантування (оцифрування).

Клас точності вимірів залежить від виду похибок. Розглянемо клас точності вимірювань для адитивної та мультиплікативної похибок:

для адитивної похибки:

Похибка виміру

Похибка вимірювання - Різниця між результатами вимірювань і відомим значенням вимірюваної властивості. На масштабах вимірювань і точніших шкалах похибка вимірювання визначається зсувом від точки на шкалі, де відображається результат вимірювання, до точки на шкалі, що відповідає відомому значенню у відповідному контексті. Відоме значення вимірюваної властивості може бути реальним значенням, або прийнятим за згодою значенням з низькою або відсутньою похибкою вимірювань.При порівнянні з еталоном у процесі калібрування або повірки приладу вимірювань значення, надане еталону, вважається відомим, і похибка вимірювання конкретним приладом вимірювань оцінюється експериментально [1] .

Джерела похибок

Джерелами похибок у вимірах є:

• недосконалість застосовуваних методів та засобів вимірювань;
• мінливість фізичних величин, що впливають на результат вимірювання;
• індивідуальні особливості експериментатора [2].

Точність вимірів також залежить від:

• зовнішніх та внутрішніх перешкод, атмосферних умов;
• чутливості вимірювального пристрою [2].

Класифікація похибок вимірів

За способом вираження

За способом вираження розрізняють абсолютну, відносну та наведену похибку. Абсолютна похибка - це різниця між виміряним значенням величини та її реальним значенням, виражена в одиницях виміру цієї величини [3] .

Похибка вимірювання, виражена у відсотках щодо референсного значення параметра, що вимірювається, називається відносною похибкою. Вона розраховується як відношення абсолютної похибки до вихідного значення об'єкта. Пропорції відносної похибки виражаються у відсотках чи частках і обчислюються з урахуванням співвідношень [4] . Наведена похибка - значення, що обчислюється як відношення значення абсолютної похибки до значення, що нормує [5] .

За джерелом виникнення

З причин виникнення похибки виміри поділяються на методичні, інструментальні, зовнішні та суб'єктивні. Методичні похибки можуть виникнути через недоліки у способі вимірювання або спрощення, зроблені в процесі вимірювання.Це може бути викликане використанням при розрахунках наближених формул або неправильним підходом до процесу вимірювання. Неправильний вибір методу може бути обумовлений невідповідністю між вимірюваною фізичною величиною та її моделлю. Методичні похибки можуть виникнути через недооцінку взаємодії між вимірюваним об'єктом та вимірювальними приладами або неправильного обліку цієї взаємодії [6] .

Інструментальні похибки - похибки, які виникають через особливості використовуваних засобів вимірювання. Ці особливості можуть призводити до різних видів помилок. Інструментальні похибки можна розділити на такі категорії: похибки, спричинені недоліками чи неправильною технологією виробництва засобів вимірювання; похибки, властиві певній конструкції; похибки, що виникають через знос, старіння або несправність засобів вимірювання [7] .

Похибка при вимірюванні, що виникає через відхилення значень факторів, що впливають від звичайних параметрів або їх виходу за межі норми (наприклад, зміни вологості, температури, впливу зовнішніх електромагнітних полів, нестабільності джерел живлення, механічних впливів тощо), називається зовнішньою похибкою . У більшості випадків зовнішні похибки є систематичними і пов'язані з додатковими помилками приладів вимірювання, що використовуються [2] .

Суб'єктивна похибка, у свою чергу, виникає через низьку кваліфікацію оператора вимірювального обладнання, а також через помилки зорових органів людини. Іншими словами, причиною суб'єктивної похибки є людський фактор [5].

За характером прояву

За характером (закономірності) зміни похибки вимірів поділяються на систематичні, випадкові та грубі (промахи).

• Систематичні похибки -похибки, які мають стабільне значення та напрямок протягом усієї серії вимірювань. Вони виникають через постійні фактори, що односпрямовано впливають на підсумки вимірювань, і пов'язані з точністю приладів і якістю застосовуваних методик. Причини виникнення систематичних помилок включають некоректне виставлення нуля приладу перед початком вимірювання, неточний час від секундоміра, неприйняття до уваги сили тертя та опору в процедурі вимірювання, опір проводів та контактів та інше. Систематичні помилки можна виявити, якщо провести вимірювання з використанням різних інструментів та методів, а потім проаналізувати отримані дані [8].
• Випадкова похибка- частина похибки виміру, яка змінюється випадковим чином при повторних вимірах даного значення. Помилка виникає через вплив великої кількості незалежних випадкових факторів, кожен з яких незначно впливає на результат вимірювання. Величини помилок, викликаних факторами, можуть змінюватися за певним законом, але якщо ці закони різні для різних значень, то загальна помилка змінюватиметься хаотично [9] .
• Грубі похибки вимірів. Грубі похибки (промахи) зазвичай виникають через неправильне шкалювання приладу, помилки при записі даних, вплив сильних факторів, несправності в обладнанні та інші фактори. Зазвичай результати вимірів з грубими похибками не враховуються, тому вони незначно впливають на точність вимірів.Виявити промах буває складно, особливо при одноразовому вимірі; часто його важко відрізнити від значної випадкової похибки [10] .

За взаємодією змін

Похибки щодо взаємодії змін у часі та вхідної величини поділяються на статичні та динамічні похибки. Статична похибка визначається як помилка, що виникає у процесі вимірювань під час використання засобу виміру для постійної величини; динамічна похибка виникає при вимірі змінної величини через нерівномірну реакцію засобу виміру на швидкість її зміни. Динамічні характеристики засоби вимірювання включають перехідні, імпульсні, амплітудно-фазові і амплітудно-частотні характеристики, передатну функцію і функцію перетворення [11] .

Оцінка похибки при прямих вимірах

При прямих вимірах потрібна величина визначається безпосередньо за шкалою вимірювального пристрою. У більшості випадків вимірювання проводяться за певним методом із застосуванням різних засобів вимірювань. Ці інструменти не ідеальні та вносять свою частку похибки до результатів вимірювань. Якщо вдалося визначити похибку вимірювання з певним знаком, це стає корекцією, яку можна просто виключити з підсумкового результату. Однак абсолютної точності у вимірах досягти неможливо, завжди залишається певний ступінь невизначеності, який можна оцінити з огляду на межі похибки [12] .

Оцінка похибки при непрямих вимірах

При непрямих вимірах шукана величина не вимірюється безпосередньо, а обчислюється з урахуванням відомої функціональної залежності з інших вимірюваних величин, отриманих при прямих вимірах.Для лінійної залежності існує математично сувора методика проведення таких вимірів. У разі нелінійної залежності застосовуються методи лінеаризації або приведення [13]. У Росії її процедура розрахунку похибки при непрямих вимірах регламентована стандартом МІ 2083-90 [14] .

Примітки

1. ↑Похибки вимірів(неопр.) . Велика російська енциклопедія. Дата звернення: 27 травня 2024 року.
2. ↑ 2,02,12,2Миронович В. Н., Титов П. Л. Метрологія, стандартизація та сертифікація. - Владивосток: Далекосхідний федеральний університет, 2015. - 140 с.
3. ↑Клочков В. І. Метрологія, стандартизація та сертифікація. - М.: Форум, 2015.
4. ↑ Метрологія. Основні терміни та визначення. - Державна система забезпечення єдності вимірів, 2015.
5. ↑ 5,05,1Бісерова Ст А., Якорева А. С., Демидова Н. Ст. Метрологія, стандартизація та сертифікація. - 2020.
6. ↑Похибка вимірів. Класифікація(неопр.) . Metrologu. Дата звернення: 29 травня 2024 року.
7. ↑Інструментальні похибки(неопр.) . Metalcutting. Дата звернення: 29 травня 2024 року.
8. ↑Крук Н. Н., Наркевич І. І., Чаєвський В.В., Гурін Н. І., Бобрович О. Р., Кленіцький Д. Ст, Крилов А. Би., Мадьяров Ст Р., Тульєв В .фізика. Частина 1. Механіка. - Мінськ: БДТУ, 2019.
9. ↑Анахов Ст. Я. Похибки вимірів та їх оцінка. - Єкатеринбург, 2007. - 69 с.
10. ↑Хромоїн, П. К. Електротехнічні виміри. - М.: Форум, 2011. - 288 с.
11. ↑Похибки засобів вимірювань(неопр.) . Велика російська енциклопедія. Дата звернення: 29 травня 2024 року.
12. ↑Рабінович С. Г. Похибки вимірів. - Ленінград, 1978. - 262 с.
13. ↑Фрідман А. Е. Основи метрології. - СПб. : НВО "Професіонал", 2008. - 284 с.
14. ↑ МІ 2083-90 ДСІ. Вимірювання опосередкованого визначення результатів вимірювань та оцінювання їх похибок / ВНІІМ. - 11 с.

Ця стаття має статус «готової». Це не говорить про якість статті, проте в ній вже достатньо розкрито основну тему. Якщо ви хочете покращити статтю – правте сміливо!