Трикутник. Формули та властивості трикутників.

Визначення. Трикутник - фігура, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які попарно з'єднують ці точки. Крапки називаються вершинами трикутника, а відрізки – його сторонами.

Типи трикутників

За величиною кутів

За кількістю рівних сторін

Вершини, кути та сторони трикутника

Властивості кутів та сторін трикутника

У трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут і назад. Проти рівних сторін лежать рівні кути: якщо α > β , тоді a > b якщо α = β , тоді a = b

Сума довжин двох будь-яких сторін трикутника більша за довжину сторони, що залишилася: a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусів

Теорема косінусів

Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін трикутника мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними. a 2 = b 2 + c 2 - 2 bc · cos α b 2 = a 2 + c 2 - 2 ac · cos β c 2 = a 2 + b 2 - 2 ab · cos γ

Теорема про проекції

Формули для обчислення довжин сторін трикутника

Формули сторін через медіани a = 2 3 √ 2( m_b 2+m_c 2) - m_a 2 b = 2 3 √ 2( m_a 2+m_c 2) - m_b 2 c = 2 3 √ 2( m_a 2+m_b 2) - m_c 2

Медіани трикутника

Визначення. Медіана трикутника ― відрізок усередині трикутника, який з'єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Властивості медіан трикутника:

Трикутник ділиться трьома медіанами на шість рівновеликих трикутників. S_∆AOF = S_∆AOE = S_∆BOF = S_∆BOD = S_∆COD = S_∆COE

Формули медіан трикутника

Формули медіан трикутника через сторони

m_a = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 - a 2

m_b = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 - b 2

m_c = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 - c 2

Бісектриси трикутника

Властивості бісектрис трикутника:

Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, рівновіддаленій від трьох сторін трикутника, - центрі вписаного кола.

Бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам трикутника

Формули бісектрис трикутника

Формули бісектрис трикутника через сторони:

l_a = 2√ bcp (p - a) b + c

l_b = 2√ acp (p - b) a + c

l_c = 2√ abp (p - c) a + b

де p = a + b + c 2 – напівпериметр трикутника

Формули бісектрис трикутника через дві сторони і кут:

l_a = 2 bc cos α 2 b + c

l_b = 2 ac cos β 2 a + c

l_c = 2 ab cos γ 2 a + b

Висоти трикутника

Визначення. Висотою трикутника називається перпендикуляр, опущений з вершини трикутника на пряму, що містить протилежну сторону.

• всередині трикутника – для гострокутного трикутника;
• збігатися з його стороною – для катета прямокутного трикутника;
• проходити поза трикутником - для гострих кутів тупокутного трикутника.

Властивості висот трикутника

Формули висот трикутника

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Коло вписане в трикутник

Властивості кола вписаного в трикутник

Центр вписаної в трикутник кола лежить на перетині бісектрис внутрішніх кутів трикутника.

Формули радіусу кола вписаного в трикутник

r = (a + b - c) (b + c - a) (c + a - b) 4(a + b + c)

Коло описане навколо трикутника

Визначення. Коло називається описаної навколо трикутникаякщо вона містить всі вершини трикутника.

Властивості кола описаного навколо трикутника

Центр описаного навколо трикутника кола лежить на перетині серединних перпендикулярів до його сторін.

Центр описаного кола лежить усередині гострокутного трикутника, зовні тупокутного трикутника, на середині гіпотенузи прямокутного трикутника.

Формули радіуса кола описаного навколо трикутника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Зв'язок між вписаною та описаною колами трикутника

Середня лінія трикутника

Властивості середньої лінії трикутника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

3. Середня лінія відсікає трикутник, подібний до цього, площа якого дорівнює чверті площі вихідного трикутника

4. При перетині всіх трьох середніх ліній утворюються 4 рівні трикутники, подібних (навіть гомотетичних) вихідному з коефіцієнтом 1/2.

Ознаки. Якщо відрізок паралельний одній із сторін трикутника і з'єднує середину сторони трикутника з точкою, що лежить з іншого боку трикутника, цей відрізок - середня лінія.

Периметр трикутника

Периметр трикутника ∆ ABC дорівнює сумі довжин його сторін

Формули площі трикутника

Формула площі трикутника по стороні та висоті
Площа трикутника дорівнює половині добутку довжини сторони трикутника на довжину проведеної до цієї сторони висоти

Формула Герону

Формула площі трикутника по обидва боки та кут між ними
Площа трикутника дорівнює половині добутку двох сторін помноженого на синус кута між ними.

Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу вписаного кола
Площа трикутника дорівнює добутку напівпериметра трикутника на радіус вписаного кола.

Рівність трикутників

Властивості. У рівних трикутників рівні та його відповідні елементи. (У рівних трикутниках проти рівних сторін лежать рівні кути, проти рівних кутів лежать рівні сторони)

Ознаки рівності трикутників

Перша ознака рівності трикутників — з обох боків та кутку між ними

Якщо дві сторони та кут між ними одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Друга ознака рівності трикутників - по стороні і двом прилеглим кутам

Якщо сторона і два прилеглих до неї кута одного трикутника відповідно дорівнюють стороні та двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Третя ознака рівності трикутників - по трьом сторонам

Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Подібність трикутників

Визначення. Подібні трикутники - трикутники відповідні кути яких рівні, а подібні сторони пропорційні.

∆АВС ~ ∆MNK => α = α ₁, β = β ₁, γ = γ ₁ та AB MN = BC NK = AC MK = k ,

де k - коефіцієнт подібності

Ознаки подоби трикутників

Перша ознака подоби трикутників

Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам іншого, то такі трикутники подібні.

Друга ознака подібності трикутників

Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам іншого, такі трикутники подібні.

Третя ознака подоби трикутників

Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам іншого, а кути між цими сторонами рівні, то такі трикутники подібні.

Трикутник

Трикутник (в евклідовому просторі) - це геометрична фігура, утворена трьома відрізками, які з'єднують три не лежать на одній прямій точці. Три точки, що утворюють трикутник, називаються вершинами трикутника, а відрізки - сторонами трикутник. Сторони трикутника утворюють у вершинах трикутника три кути.Іншими словами, трикутник - це багатокутник, у якого є рівно три кути. Якщо три точки лежать на одній прямій, то трикутник з вершинами в трьох даних точках називається. виродженим. Всі інші трикутники. невироджені.

У неевклідових просторах як сторони трикутника виступають геодезичні лінії, які, як правило, є криволінійними. криволінійними.

Елементи трикутника

Трикутник з вершинами A, B і C позначається як (див. рис.).

Довжини сторін трикутника позначаються малими латинськими літерами (a, b, c):

Трикутник має такі кути:

• кут - кут, утворений сторонами і протилежний стороні;
• кут - кут, утворений сторонами і протилежний стороні;
• кут - кут, утворений сторонами і протилежний стороні.

Величини кутів за відповідних вершин традиційно позначаються грецькими літерами (α, β, γ).

Ознаки рівності трикутників

Трикутник на евклідовій площині однозначно (з точністю до конгруентності) можна визначити за такими трійками основних елементів:

1. a, b, γ (рівність з двох сторін і куту, що лежить між ними);
2. a, β, γ (рівність по стороні та двом прилеглим кутам);
3. a, b, c (рівність по трьох сторонах).

Ознаки рівності прямокутних трикутників:

1. по катету та гіпотенузі;
2. за двома катетами;
3. по катету та гострому куту;
4. з гіпотенузи та гострого кута.

У сферичній геометрії та в геометрії Лобачевського існує ознака рівності трикутників за трьома кутами.

Типи трикутників

За величиною кутів

Оскільки в евклідовій геометрії сума кутів трикутника дорівнює 180°, то не менше двох кутів у трикутнику мають бути гострими (меншими за 90°). Виділяють такі види трикутників:

• Якщо всі кути трикутника гострі, то трикутник називається гострокутним;
• Якщо один із кутів трикутника тупий (більше 90°), то трикутник називається тупокутним;
• Якщо один із кутів трикутника прямий (рівний 90°), то трикутник називається прямокутним. Дві сторони, що утворюють прямий кут, називаються катетами, а сторона, що протилежить прямому куту, називається гіпотенузою.

У геометрії Лобачевського сума кутів трикутника завжди менша за 180°, а на сфері — завжди більша. Різниця суми кутів трикутника та 180° називається дефектом. Дефект пропорційний площі трикутника, таким чином, у нескінченно малих трикутників на сфері чи площині Лобачевського сума кутів мало відрізнятиметься від 180°.

За кількістю рівних сторін

• Рівностегновим називається трикутник, у якого дві сторони рівні. Ці сторони називаються бічними, третя сторона називається основою. У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні. Висота, медіана та бісектриса рівнобедреного трикутника, опущені на основу, збігаються.
• Рівностороннім називається трикутник, у якого всі три сторони рівні. У рівносторонньому трикутнику всі кути дорівнюють 60°, а центри вписаного та описаного кілзбігаються.

Визначення, пов'язані з трикутником

Усі факти, викладені у цьому розділі, з евклідової геометрії.

Промені, відрізки та точки

• Медіаною трикутника, проведеної з даної вершини, називається відрізок, що з'єднує цю вершину з серединою протилежної сторони (підставою медіани). Усі три медіани трикутника перетинаються в одній точці. Ця точка перетину називається центроїдом чи центром тяжкості трикутника. Остання назва пов'язана з тим, що у трикутника, зробленого з однорідного матеріалу, центр ваги знаходиться у точці перетину медіан. Центроїд ділить кожну медіану щодо 1:2, рахуючи від заснування медіани. Трикутник з вершинами в серединах називається серединним трикутником.

• Висотою трикутника, проведеної з цієї вершини, називається перпендикуляр, опущений із цієї вершини на протилежну сторону або її продовження. Три висоти трикутника перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром трикутник. Трикутник з вершинами в основах висот називається ортотрикутником.

• Бісектрисою трикутника, проведеної з даної вершини, називають відрізок, що з'єднує цю вершину з точкою на протилежному боці і кут, що розділяє при даній вершині навпіл. Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, і ця точка збігається з центром вписаного кола (інцентром).

• Відрізок, що з'єднує вершину з точкою на протилежному боці, називається чевіаною.

• Середньою лінією трикутника називають відрізок, що з'єднує середини двох сторін цього трикутника.

• Серединні перпендикуляри (медіатриси) до сторін трикутника також перетинаються в одній точці, яка збігається з центром описаного кола.

У рівнобедреному трикутнику медіана, висота та бісектриса, проведені до основи, збігаються.Правильне і зворотне: якщо бісектриса, медіана і висота, проведені з однієї вершини, збігаються, то трикутник рівнобедрений. Якщо трикутник різнобічний, то для будь-якої його вершини бісектриса, проведена з неї, лежить між медіаною та висотою, проведеними з тієї ж вершини.

Чевіани, що лежать на прямих, симетричних медіанах щодо бісектрис, називаються симедіанами. Вони проходять через одну точку. точку Лемуана.

Деякі крапки у трикутнику — «парні». Наприклад, існує дві точки, з яких всі сторони видно або під кутом 60°, або під кутом 120°. Вони називаються точками Торрічеллі. Також існує дві точки, проекції яких сторони лежать у вершинах правильного трикутника. Це - точки Аполлонія. Крапки і такі, що називаються точками Брокара.

Прямі

У будь-якому трикутнику центр ваги, ортоцентр і центр описаного кола лежать на одній прямій, званій прямий Ейлера.

Пряма, що проходить через центр описаного кола та точку Лемуана, називається віссю Брокара. На ній лежать точки Аполлонія. Також на одній прямій лежать точки Торрічеллі та точка Лемуана. Основи зовнішніх бісектрис кутів трикутника лежать на одній прямій, званій віссю зовнішніх бісектрис. На одній прямій лежать також точки перетину прямих, що містять сторони ортотрикутника, з прямими сторонами трикутника, що містять. Ця пряма називається ортоцентричною віссю, вона перпендикулярна до прямої Ейлера.

Якщо на описаному колі трикутника взяти крапку, то її проекції на сторони трикутника лежатимуть на одній прямій, званій прямий Сімсона цієї точки. Прямі Сімсона діаметрально протилежних точок перпендикулярні.

Трикутники

• Трикутник з вершинами в основах чевіан, проведених через дану точку, називається чевіанним трикутником цієї точки.
• Трикутник з вершинами в проекціях даної точки на сторони називається подерним або педальним трикутником цієї точки.
• Трикутник у вершинах у других точках перетину прямих, проведених через вершини і дану точку, з описаним колом, називають окружно-чевіанним трикутником. Окружно-чевіанний трикутник подібний до подерного.

Кола

• Вписане коло - Коло, що стосується всіх трьох сторін трикутника. Вона єдина. Центр вписаного кола називається інцентром.
• Описане коло - Коло, що проходить через всі три вершини трикутника. Описане коло також єдине.
• Вписане коло — коло, що стосується однієї сторони трикутника та продовження двох інших сторін. Таких кіл у трикутнику три. Їхній радикальний центр — центр вписаного кола серединного трикутника, званий точкою Шпікера.

Середини трьох сторін трикутника, основи трьох його висот і середини трьох відрізків, що з'єднують його вершини з ортоцентром, лежать на одному колі, що називається коло дев'яти точок або колом Ейлера. Центр кола дев'яти точок лежить на прямій Ейлера. Окружність дев'яти точок стосується вписаного кола та трьох вписаних. Точка торкання вписаного кола та кола дев'яти точок називається точкою Фейєрбаха. Якщо від кожної вершини відкласти назовні трикутника на прямих сторонах, що містять, ортезки, рівні по довжині протилежним сторонам, то шість точок, що виходять, лежать на одному колі. кола Конвею.У будь-який трикутник можна вписати три кола таким чином, що кожна з них стосується двох сторін трикутника та двох інших кіл. коло МальфаттіЦентри описаних кіл шести трикутників, на які трикутник розбивається медіанами, лежать на одному колі, яке називається коло Ламуна.

У трикутнику є три кола, які стосуються двох сторін трикутника та описаного кола. напіввписаними або колами Верр'єра.Відрізки, що з'єднують точки дотику кіл Верр'єра з описаним колом, перетинаються в одній точці, званій точкою Верр'єраВона служить центром гомотетії, яка переводить описане коло у вписане.

Відрізки, що з'єднують точки торкання вписаного кола з вершинами, перетинаються в одній точці, яка називається точкою Жергона, а відрізки, що з'єднують вершини з точками дотику до вписаних кіл - точці Нагеля.

Еліпси, параболи та гіперболи

У трикутник можна вписати нескінченно багато кузнечиків (еліпсів, парабол або гіпербол). перспектором коніки. Для будь-якої точки площини, що не лежить на боці або на її продовженні, існує вписана коніка з перспектором у цій точці.

У трикутник можна вписати еліпс, який стосується сторін у серединах. вписаним еліпсом Штейнера (Його перспективником буде центроїд трикутника). [2] Описаний еліпс, що стосується прямих, що проходять через вершини паралельно сторонам, називається описаним еліпсом Штейнера. Якщо афінним перетворенням («перекосом») перевести трикутник у правильний, його вписаний і описаний еліпс Штейнера перейдуть у вписану і описану окружности. Чевіани, проведені через фокуси описаного еліпса Штейнер (точки Скутіна), рівні (теорема Скутіна). З усіх описаних еліпсів описаний еліпс Штейнер має найменшу площу, а з усіх вписаних найбільшу площу має вписаний еліпс Штейнера. [3]

Еліпс з фокусами в точках Брокара називається еліпсом Брокара. Його перспективою є точка Лемуана. [4]

Перспектори вписаних парабол лежать на описаному еліпсі Штейнера. [5] Фокус вписаної параболи лежить на описаному колі, а директриса проходить через ортоцентр. [6] Парабола, вписана в трикутник, що має директрису пряму Ейлера, називається параболою Кіперта. Її перспектор - четверта точка перетину описаного кола та описаного еліпса Штейнера, звана точкою Штейнера.

Якщо описана гіпербола проходить через точку перетину висот, вона рівностороння (тобто її асимптоти перпендикулярні). [7] Точка перетину асимптот рівносторонньої гіперболи лежить на колі дев'яти точок. [7]

• Гіпербола Кіперта - Описана гіпербола, що проходить через центроїд і ортоцентр. Якщо на сторонах трикутника побудувати подібні рівнобедрені трикутники (назовні або всередину), а потім з'єднати їх вершини з протилежними вершинами вихідного трикутника, то три такі прямі перетнуться в одній точці, що лежить на гіперболі Кіперта.Зокрема, на цій гіперболі лежать точки Торрічеллі та точки Наполеона (точки перетину чевіан, що з'єднують вершини з центрами побудованих на протилежних сторонах правильних трикутників). [8]
• Гіпербола Єнжабека - Описана гіпербола, що проходить через ортоцентр і точку Лемуана. На ній лежить центр описаного кола.
• Гіпербола Фейєрбаха - Описана гіпербола, що проходить через ортоцентр і центр вписаного кола. Її центр лежить у точці Фейєрбаха. Подерні та чевіані кола точок на гіперболі Фейєрбаха проходять через точку Фейєрбаха. Зокрема, через точку Фейєрбаха проходить коло, проведене через основи бісектрис. [9]

Перетворення

Якщо прямі, що проходять через вершини та деяку точку, що не лежить на сторонах та їх продовженнях, відобразити щодо відповідних бісектрис, то їх образи також перетнуться в одній точці, яка називається ізогонально сполученої вихідної (якщо точка лежала на описаному колі, то прямі будуть паралельні). Ізогонально сполученими є багато пар чудових точок: центр описаного кола і ортоцентр, центроїд і точка Лемуана, точки Брокара. Крапки Аполлонія ізгонально пов'язані точкам Торрічеллі, а центр вписаного кола ізогонально пов'язаний сам собі. Під дією ізогонального сполучення прямі переходять в описані коніки, а описані коніки - у прямі. Так, ізогонально пов'язані гіпербола Кіперта і вісь Брокара, гіпербола Енжабека і пряма Ейлера, гіпербола Фейєрбаха та лінія центрів, вписаних про описані кола. Описані кола подерних трикутників ізгонально сполучених точок збігаються. Фокуси вписаних еліпсів ізгонально пов'язані.

Якщо замість симетричної чевіани брати чевіану, основа якої віддалена від середини сторони так само, як і основа вихідної, такі чевіани також перетнуться в одній точці. Перетворення, що вийшло, називається ізотомічним сполученням. Воно також переводить прямі описані коніки. Ізотомічно пов'язані точки Жергона та Нагеля. При афінних перетвореннях ізотомічно сполучені точки переходять в ізотомічно сполучені. При ізотомічному поєднанні в нескінченно віддалену пряму перейде описаний еліпс Штейнера.

Якщо сегменти, що відсікаються сторонами трикутника від описаного кола, вписати кола, що стосуються сторін в підставах чевіан, проведених через деяку точку, а потім з'єднати точки торкання цих кіл з описаним колом з протилежними вершинами, такі прямі перетинаються в одній точці. Перетворення площини, що співставляє вихідній точці, називається ізоциркулярним перетворенням. Композиція ізогонального та ізотомічного сполучення є композицією ізоциркулярного перетворення з самим собою. Ця композиція – проективне перетворення, яке сторони трикутника залишає на місці, а вісь зовнішніх бісектрис переводить у нескінченно віддалену пряму.

Якщо продовжити сторони чевіанного трикутника деякої точки і взяти їх точки перетину з відповідними сторонами, то отримані точки перетину лежатимуть на одній прямій, званій трилінійною полярою вихідної точки. Ортоцентрична вісь – трилінійна поляра ортоцентру; Трилінійною полярною центру вписаного кола служить вісь зовнішніх бісектрис.Трилінійні поляри точок, що лежать на описаній коніці, перетинаються в одній точці (для описаного кола це точка Лемуана, для описаного еліпса Штейнер - центроїд). Композиція ізогонального (або ізотомічного) сполучення і трилінійної поляри є перетворенням двоїстості (якщо точка, ізогонально (ізотомічно) сполучена точці , лежить на трилінійній полярі точки , то трилінійна поляра точки, ізогонально (ізотомічно) спряженої точки).

Кубики

Кубика - це крива третього порядку (що задається рівнянням третього ступеня). Багато чудових кубиків, пов'язані з трикутником, будуються наступним чином: фіксується точка в площині (можливо, нескінченно віддалена). Тоді безліч таких точок , що пряма проходить через цю точку, є описаною біля трикутника кубикою (тут - точка, що вигнана сполучена ). Такі кубики проходять також через центри вписаного та вписаного кіл, а також через саму фіксовану точку та ізгонально сполучену їй. [10]

• Кубика Дарбу виходить, якщо зафіксувати точку, симетричну ортоцентру щодо центру описаного кола. Вона проходить через ортоцентр і центр описаного кола.
• Кубика Томсона виходить, якщо як фіксована точка вибрати центроїд. Кубика Томсона проходить через центроїд, точку Лемуана, ортоцентр, центр описаного кола, середини сторін та середини висот.
• Кубика Мак-Кея вийде, якщо як фіксована точка взяти центр описаного кола. Вона також проходить через ортоцентр та центр описаного кола.
• Кубика Нейберга - безліч таких точок, що - прямий Ейлера (зафіксована її нескінченно віддалена точка).На цьому кубику лежить понад 15 чудових точок, зокрема, точки Торрічеллі, Аполлонія, ортоцентр, центр описаного кола, вершини правильних трикутників, побудованих на сторонах (зовнішнім або внутрішнім чином), точки, симетричні вершин відносно сторін, а також лежачі на всіх кубиках центри вписаного та вписаного кіл.

Співвідношення у трикутнику

Примітка: в даному розділі , , - це довжини трьох сторін трикутника, і , , - це кути, що лежать відповідно навпроти цих трьох сторін (протилежні кути).

Нерівність трикутника

У невиродженому трикутнику сума довжин двох сторін більша за довжину третьої сторони, у виродженому — дорівнює. Інакше висловлюючись, довжини сторін трикутника пов'язані наступними нерівностями:

Нерівність трикутника є одним із аксіом метрики.

Теорема про суму кутів трикутника

Теорема синусів

де R - радіус кола, описаного навколо трикутника. З теореми випливає, що якщо a<b<c, то α<β<γ.

Теорема косінусів

Теорема тангенсів

Інша назва: формула Регіомонтану.

Інші співвідношення

Метричні співвідношення в трикутнику наведені для:

• - Відрізки, на які бісектриса ділить сторону,
• — медіани, проведені відповідно до сторін , та ,
• - Висоти, опущені відповідно на сторони , і ,
• — радіуписаного кола,
• — радіусписаного кола,
• - Напівпериметр,
• - Площа,
• — відстань між центрами вписаного та описаного кіл.

Рішення трикутників

Обчислення невідомих сторін та кутів трикутника, виходячи з відомих, історично отримало назву «рішення трикутників». При цьому використовуються наведені загальні тригонометричні теореми.

Площа трикутника

1. , так як , то:
2. - Формула Герона
3. 
   
4. — якщо трикутник заданий збоку і двом кутам, що прилягають до неї.
5. — якщо трикутник заданий з обох боків і двом прилеглим до неї кутам (аналогічно формулі 6!)
6. орієнтована площа трикутника.

1. - для прямокутного трикутника
2. - Для рівностороннього трикутника
3. - для прямокутного рівнобедреного трикутника

• - Висота, проведена на бік ,
• - Напівпериметр,
• - Радіус вписаного кола,
• — радіус вписаного кола, що стосується сторони,
• - Радіус описаного кола,
• - Координати вершин трикутника.

Для площі справедливі нерівності:

• , причому обидві рівності досягаються.
• , Де рівність досягається для рівнобедреного прямокутного трикутника.

Обчислення площі трикутника у просторі за допомогою векторів

Нехай вершини трикутника перебувають у точках , , .

Введемо вектор площі. Довжина цього вектора дорівнює площі трикутника, а спрямований по нормалі до площини трикутника:

Покладемо , де , , - Проекції трикутника на координатні площини. При цьому

Площа трикутника дорівнює.

Альтернативою є обчислення довжин сторін (за теоремою Піфагора) і далі за формулою Герона.

Теореми про трикутники

Теорема ДезаргуЯкщо два трикутники перспективні (прямі, що проходять через відповідні вершини трикутників, перетинаються в одній точці), то їх відповідні сторони перетинаються на одній прямій.

Теорема Сонда: якщо два трикутники перспективні і ортологічні (перпендикуляри, опущені з вершин одного трикутника на сторони, протилежні відповідним вершинам трикутника, і навпаки), то обидва центри ортології (точки перетину цих перпендикулярів) і центр перспективи лежать на одній прямій, перпендикулярній з теореми Дезарга).

Історія вивчення

Властивості трикутника, що вивчаються в школі, за рідкісним винятком відомі з античності.

Теорема Чеви була доведена в XI столітті арабським ученим Юсуфом аль-Мутаманом ібн Худом, проте його доказ був забутий. Вона була доведена знову італійським математиком Джованні Чевою в 1678 році.

Подальше вивчення трикутника почалося XVII столітті: було доведено теорема Дезарга (1636), відкрито деякі властивості точки Торричелли (1659). У XVIII столітті було виявлено пряму Ейлера і коло шести точок (1765). У 1828 році було доведено теорему Фейєрбаха. На початку ХІХ століття було відкрито точку Жергонна.

Багато фактів, пов'язані з трикутником, було відкрито наприкінці ХІХ століття. На цей час належить творчість Еміля Лемуана, Анрі Брокара, Жозефа Нейберга, П'єра Сонда.

також

• Геометрія трикутника
• Чудові точки трикутника
• Площа фігури
• Ознаки подоби трикутників
• Середня лінія трикутника
• Сферичний трикутник
• Теорема косінусів
• Теорема про суму кутів трикутника
• Теорема синусів
• Трикутник Рело
• Формула Герону
• Барицентричні координати, трилінійні координати