Список математичних символів

Список всіх математичних символів та знаків - значення та приклади.

Основні математичні символи
Символи геометрії
Алгебри символи
Символи ймовірності та статистики
Символи теорії множин
Логічні символи
Символи обчислення та аналізу
Числові символи
Грецькі символи
римські цифри

Основні математичні символи

Символи геометрії

Символ	Назва символу	Значення/визначення	приклад
∠	кут	утворений двома променями	∠ABC = 30°
виміряний кут	ABC = 30°
сферичний кут	AOB = 30°
∟	прямий кут	= 90 °	α = 90°
°	ступінь	1 оборот = 360°	α = 60°
град	ступінь	1 оборот = 360 градусів	α = 60 градусів
′	прем'єр	кутова хвилина, 1° = 60′	α = 60 ° 59 ′
″	подвійний штрих	кутова секунда, 1′ = 60″	α = 60°59′59″
лінія	нескінченна лінія
AB	відрізок	лінія від точки A до точки B
промінь	лінія, яка починається з точки A
дуга	дуга від точки A до точки B	= 60 °
⊥	перпендикуляр	перпендикулярні лінії (кут 90°)	AC ⊥ BC
∥	паралельно	паралельні лінії	AB і CD
≅	відповідає	еквівалентність геометричних форм та розмірів	∆ABC≅ ∆XYZ
~	подібність	однакові форми, різні розміри	∆ABC ~ ∆XYZ
Δ	трикутник	форма трикутника	ΔABC≅ ΔBCD
\| х - у \|	відстань	відстань між точками x та y	\| х - у \| = 5
π	константа пі	π = 3,141592654 .

Алгебри символи

Символи лінійної алгебри

Символ	Назва символу	Значення/визначення	приклад
·	крапка	скалярний твір	а · б
×	перетинати	векторний продукт	а × б
А ⊗ Б	тензорний твір	тензорний твір A та B	А ⊗ Б
внутрішній продукт
[]	кронштейни	матриця чисел
()	круглі дужки	матриця чисел
\| А \|	детермінант	визначник матриці A
det ( А )	детермінант	визначник матриці A
\|\| х \|\|	подвійні вертикальні смуги	норма
А Т	транспонувати	матриця транспонувати	( A T) _ij = ( A ) _ji
A †	Ермітова матриця	матриця сполучена транспонувати	( A † ) _ij = ( A ) _ji
А *	Ермітова матриця	матриця сполучена транспонувати	( A * ) _ij = ( A ) _ji
А -1	зворотна матриця	AA -1 = I
ранг ( А )	ранг матриці	ранг матриці A	ранг ( А ) = 3
тьмяний ( U )	вимір	розмірність матриці A	dim ( U ) = 3

Символи ймовірності та статистики

Символ	Назва символу	Значення/визначення	приклад
P ( А )	функція ймовірності	ймовірність події A	P ( A ) = 0,5
P ( A ⋂ B )	ймовірність перетину подій	ймовірність того, що подій A та B	P ( A ⋂ B ) = 0,5
P ( A ⋃ B )	ймовірність об'єднання подій	ймовірність того, що подій A або B	P ( A ⋃ B ) = 0,5
P ( A \| B )	функція умовної ймовірності	ймовірність події A ця подія B відбулася	P ( A \| B ) = 0,3
f ( x )	функція щільності ймовірності (pdf)	P ( a ≤ x ≤ b ) = ∫ f ( x ) dx
F ( х )	кумулятивна функція розподілу (CDF)	F ( х ) = Р ( Х ≤ х )
μ	Середня чисельність населення	середнє значення сукупності	μ = 10
E ( X )	очікуване значення	очікуване значення випадкової величини X	E ( X ) = 10
E ( X \| Y )	умовне очікування	очікуване значення випадкової величини X з урахуванням Y	E ( X \| Y = 2 ) = 5
var ( X )	відхилення	дисперсія випадкової величини X	var ( X ) = 4
σ 2	відхилення	дисперсія значень сукупності	σ 2 = 4
std ( X )	стандартне відхилення	стандартне відхилення випадкової величини X	std ( X ) = 2
σ _X	стандартне відхилення	значення стандартного відхилення випадкової величини X	σ _X = 2
медіана	середнє значення випадкової величини x
cov ( X , Y )	коваріація	коваріація випадкових величин X та Y	cov ( X, Y ) = 4
корр ( X , Y )	кореляція	кореляція випадкових величин X та Y	корр ( X, Y ) = 0,6
ρ _{X , Y}	кореляція	кореляція випадкових величин X та Y	ρ _{X , Y} = 0,6
∑	підсумовування	підсумовування - сума всіх значень у діапазоні ряду
∑∑	подвійне підсумовування	подвійне підсумовування
Пн	Режим	значення, яке найчастіше зустрічається у популяції
MR	середній діапазон	MR = ( x _макс + x _хв ) / 2
Мкр	медіана вибірки	половина населення нижче цього значення
Q ₁	нижній/перший квартиль	25% населення нижче цього значення
₂ квартал	медіана / другий квартиль	50% населення нижче цього значення = медіана вибірки
₃ квартал	верхній/третій квартиль	75% населення нижче цього значення
х	вибіркове середнє	середнє / середнє арифметичне	х = (2 + 5 + 9) / 3 = 5,333
з 2	вибіркова дисперсія	оцінювач дисперсії вибірки населення	s 2 = 4
з	стандартне відхилення вибірки	Оцінка стандартного відхилення вибірки населення	s = 2
z _x	стандартна оцінка	z _x = ( x - x) / s _x
X ~	розподіл X	розподіл випадкової величини X	X ~ N (0,3)
N ( μ , σ 2 )	нормальний розподіл	гаусовий розподіл	X ~ N (0,3)
U ( а , б )	рівномірний розподіл	рівна ймовірність у діапазоні a, b	Х ~ U (0,3)
ехр (λ)	експоненційний розподіл	f ( x ) = λe - λx , x ≥0
гамма ( c , λ)	гамма-розподіл	f ( x ) = λ cx c-1 e - λx / Γ ( c ), x ≥0
χ 2 ( до )	розподіл хі-квадрат	f ( x ) = x k / 2-1 e - x / 2 / (2 k / 2 Γ ( k / 2))
F ( k ₁ , k ₂ )	F розподіл
Кошик ( n , p )	біномний розподіл	f ( k ) = _n C _k p k (1 -p ) nk
Пуассон (λ)	розподіл Пуассона	е ( До ) знак дорівнює λ До е - λ / До !
Геом ( p )	геометричний розподіл	f ( k ) = p (1 -p ) k
HG ( N , K , n )	гіпергеометричний розподіл
Берн ( p )	Розподіл Бернуллі

Комбінаторичні символи

Символ	Назва символу	Значення/визначення	приклад
п !	факторіал	п ! = 1⋅2⋅3⋅ . ⋅ n	5! = 1⋅2⋅3⋅4⋅5 = 120
_n P _k	перестановка	₅ п ₃ = 5! / (5-3)! = 60
_n C _k

Символи теорії множин

Символ	Назва символу	Значення/визначення	приклад
<>	набір	набір елементів	A = , B =
А ∩ Б	перетин	об'єкти, що належать множині A і множині B	A ∩ B =
А ∪ Б	союз	об'єкти, що належать множині A або множині B	A ∪ B =
А ⊆ Б	підмножина	A є підмножиною B. безліч A включено до набору B.	⊆
A ⊂ B	правильне підмножина / строго підмножина	A є підмножиною B, але A не дорівнює B.	⊂
А ⊄ Б	не підмножина	множина A не є підмножиною множини B	⊄
А ⊇ Б	суперсет	A є надмножиною B. безліч A включає безліч B	⊇
А ⊃ Б	правильний суперсет / суворий суперсет	A є надмножиною B, але B не дорівнює A.	⊃
А ⊅ Б	не суперсет	множина A не є надмножиною множини B	⊅
2 А	набір потужності	всі підмножини A
набір потужності	всі підмножини A
А = В	рівність	обидва набори мають однакові елементи	A = , B = , A = B
А в	доповнювати	всі об'єкти, що не належать множині A
А\Б	відносне доповнення	об'єкти, що належать A, а не B	A = , B = , AB =
А - Б	відносне доповнення	об'єкти, що належать A, а не B	A = , B = , AB =
A ∆ B	симетрична різниця	об'єкти, що належать A або B, але не їх перетин	A = , B = , A ∆ B =
А ⊖ Б	симетрична різниця	об'єкти, що належать A або B, але не їх перетин	A = , B = , A ⊖ B =
a ∈A	елемент, належить	встановити членство	A = , 3 ∈ A
x ∉A	не елемент	немає встановленого членства	A = , 1 ∉ A
( а , б )	упорядкована пара	збірник із 2-х елементів
A × B	декартовий твір	безліч усіх упорядкованих пар з A та B
\|A \|	потужність	кількість елементів множини A	A = , \|
#A	потужність	кількість елементів множини A	A = , # A = 3
\|	вертикальна смуга	такий, що	А =
алеф-нуль	нескінченна потужність безлічі натуральних чисел
алеф-він	потужність безлічі рахункових порядкових чисел
Ø	порожній набір	Ø = <>	C =
універсальний набір	набір усіх можливих значень
₀	набір натуральних/цілих чисел (з нулем)	₀ =	0 ∈ ₀
₁	набір натуральних/цілих чисел (без нуля)	₁ =	6 ∈ ₁
набір цілих чисел	=	-6 ∈
набір раціональних чисел	= < x \| x = a / b , a , b ∈ >	2/6 ∈
набір реальних чисел	= < x \| -∞ < х	6.343434∈
набір комплексних чисел	= < z \| z = a + bi , -∞ < a b	6 + 2 i ∈

Логічні символи

Символ	Назва символу	Значення/визначення	приклад
⋅	і	і	х ⋅ у
^	каретка/циркумфлекс	і	х ^ у
&	амперсанд	і	х і у
+	плюс	або	х + у
∨	перевернута каретка	або	х ∨ у
\|	вертикальна лінія	або	х \| y
х '	одиночна лапка	ні - заперечення	х '
х	бар	ні - заперечення	х
¬	ні	ні - заперечення	¬ х
!	знак оклику	ні - заперечення	! Ікс
⊕	обведений плюс / oplus	ексклюзивне або - xor	х ⊕ у
~	Тільда	заперечення	~ х
⇒	має на увазі
⇔	еквівалент	тоді і тільки тоді (якщо і лише якщо)
↔	еквівалент	тоді і тільки тоді (якщо і лише якщо)
∀	для всіх
∃	Існує
∄	не існує
∴	отже
∵	тому що / відтоді

Символи обчислення та аналізу

Символ	Назва символу	Значення/визначення	приклад
межа	граничне значення функції
ε	епсілон	є дуже маленьким числом, близьким до нуля	ε → 0
е	e константа / число Ейлера	е = 2,718281828 .	е = lim (1 + 1 / x ) x , x → ∞
y '	похідна	похідна - позначення Лагранжа	(3 х 3 ) '= 9 х 2
у ''	друга похідна	похідна від похідної	(3 х 3 ) '' = 18 х
у ( п )	n-а похідна	n раз висновок	(3 х 3 ) (3) = 18
похідна	похідна - позначення Лейбниця	d (3 x 3 ) / dx = 9 x 2
друга похідна	похідна від похідної	d 2 (3 x 3 ) / dx 2 = 18 x
n-а похідна	n раз висновок
похідна за часом	похідна за часом - позначення Ньютона
друга похідна за часом	похідна від похідної
D _x y	похідна	похідна - позначення Ейлера
Д _х 2 у	друга похідна	похідна від похідної
приватна похідна	∂ ( x 2 + y 2 ) / ∂ x = 2 x
∫	інтеграл	протилежно до походження	∫ f(x) dx
∫∫	подвійний інтеграл	інтегрування функції двох змінних	∫∫ f(x, y) dxdy
∫∫∫	потрійний інтеграл	інтегрування функції 3 змінних	∫∫∫ f (x, y, z) dxdydz
∮	замкнутий контур / лінійний інтеграл
∯	інтеграл із закритою поверхнею
∰	інтеграл замкнутого об'єму
[ а , б ]	закритий інтервал	[ a , b ] = < x \| а ≤ х ≤ б >
( а , б )	відкритий інтервал	( a , b ) = < x \| а < х < б >
я	уявна одиниця	я ≡ √ -1	г = 3 + 2 я
z *	комплексно пов'язаний	z = a + bi → z * = a - bi	г * = 3 - 2 я
z	комплексно пов'язаний	z = a + bi → z = a - bi	г = 3 - 2 я
Re ( z )	дійсна частина комплексного числа	z = a + bi → Re ( z ) = a	Re (3 - 2 i ) = 3
Im ( z )	уявна частина комплексного числа	z = a + bi → Im ( z ) = b	Im (3 - 2 я ) = -2
\| z \|	абсолютне значення / величина комплексного числа	\| z \| = \| а + бі \| = √ ( a 2 + b 2 )	\| 3 - 2 я \| = √13
arg ( z )	аргумент комплексного числа	Кут радіусу в комплексній площині	arg (3 + 2 i ) = 33,7 °
∇	набла / дель	оператор градієнта/дивергенції	∇ е ( х , у , г )
вектор
одиничний вектор
х * у	згортка	у ( т ) = х ( т ) * год ( т )
Перетворення Лапласа	F ( s ) = < f ( t )>
перетворення Фур'є	X ( ω ) = < f ( t )>
δ	дельта-функція
∞	лемніскату	символ нескінченності

Цифрові символи

назва	Західна арабська	Римська	Східно-арабська	іврит
нуль	0	٠
один	1	Я	١	א
два	2	II	٢	ב
три	3	III	٣	ג
чотири	4	IV	٤	ד
п'ять	5	V	٥	ה
шість	6	VI	٦	ו
Сім	7	VII	٧	ז
8	8	VIII	٨	ח
дев'ять	9	IX	٩	ט
десять	10	X	١٠	י
11	11	XI	١١	יא
дванадцять	12	XII	١٢	יב
13	13	XIII	١٣	יג
14	14	XIV	١٤	יד
15	15	XV	١٥	טו
шістнадцять	16	XVI	١٦	טז
сімнадцять	17	XVII	١٧	יז
вісімнадцять	18	XVIII	١٨	יח
19	19	XIX	١٩	יט
20	20	XX	٢٠	כ
30	30	XXX	٣٠	ל
сорок	40	XL	٤٠	מ
п'ятдесят	50	L	٥٠	נ
шістдесят	60	LX	٦٠	ס
сімдесят	70	LXX	٧٠	ע
вісімдесят	80	LXXX	٨٠	פ
дев'яносто	90	XC	٩٠	צ
сто	100	C	١٠٠	ק

Літери грецького алфавіту

Велика літера	Рядкова літера	Ім'я грецької літери	Англійська еквівалент	Лист Ім'я Вимовляти
Α	α	Альфа	а	альфа
Β	β	Бета	б	бета
Γ	γ	Гамма	г	га-ма
Δ	δ	Дельта	d	дель-та
Ε	ε	Епсилон	е	еп-сі-лон
Ζ	ζ	Зета	z	зе-та
Η	η	Ета	h	а-та
Θ	θ	Тета	th	те-та
Ι	ι	Йота	я	йота
Κ	κ	Каппа	k	ка-па
Λ	λ	Лямбда	л	лама
Μ	μ	Му	м	м-ю
Ν	ν	Ню	п	ні
Ξ	ξ	Сі	х	x-ee
Ο	ο	Омікрон	о	о-мі-к-рон
Π	π	Пі	p	Pa-yee
Ρ	ρ	Ро	г	рядок
Σ	σ	Сигма	з	сигма
Τ	τ	Тау	т	та-оо
Υ	υ	Іпсилон	u	оо-псі-лон
Φ	φ	Пхі	ph	ф-е
Χ	χ	Чи	ch	кх-ї
Ψ	ψ	Псі	пс	п-см
Ω	ω	Омега	о	омега

римські цифри

номер	Римська цифра
0	не визначено
1	Я
2	II
3	III
4	IV
5	V
6	VI
7	VII
8	VIII
9	IX
10	X
11	XI
12	XII
13	XIII
14	XIV
15	XV
16	XVI
17	XVII
18	XVIII
19	XIX
20	XX
30	XXX
40	XL
50	L
60	LX
70	LXX
80	LXXX
90	XC
100	C
200	CC
300	CCC
400	CD
500	D
600	DC
700	DCC
800	DCCC
900	CM
1000	M
5000	V
10000	X
50000	L
100000	C
500000	D
1000000	M

Дивіться також

Алгебри символи
Символи геометрії
Статистичні символи
Логічні символи
Символи теорії множин
Символи обчислення та аналізу
Числові символи
Символи грецького алфавіту
римські цифри
Символ нескінченності
Коди символів HTML
Математичні калькулятори

Позначення y=f(x), D(f) та E(f)

Подібно до того, як будь-яке число можна позначити змінною, будь-який вираз, що містить x можна записати в такому вигляді:

Читається "еф від ікс".

А вираз, що містить змінну a можна позначити так:

Наприклад, f(x) може бути виразом x+2 тоді:

Тепер замість того, щоб щоразу писати x+2 можна написати просто f(x) , оскільки вже заздалегідь обумовлено, чим слід вважати f(x) .

Якщо потрібно визначити значення виразу x+2 при x = 6 то потрібно у формулі f(x) = x+2 всі x поміняти на 6 і обчислити:

Тоді не виникає потреби у довгій фразі «значення виразу x+2 при x = 6 дорівнює 8», для цього вистачить і такого запису:

Вимовляється це так: «еф від шести і восьми».

Її областю визначення та областю значень є безліч усіх дійсних чисел. Формула цієї функції теж включає вираз, що містить змінну x, отже можна замінити x+2 на f(x) і записати цю функцію вже в такому вигляді:

Це дозволяє робити багато записів більш короткими та зручними. Тепер не обов'язково при кожній згадці функції y = x+2 писати або вимовляти всю її формулу, яка може бути досить великою, цілком достатньо вказати один раз, що f(x) = x+2 , а потім використовувати формулу y = f(x ).

Значення функції y = x+2 у точці 7 дорівнює дев'яти:

Щоб повідомити, що значення функції в точці x = 7 дорівнює дев'яти, можна сказати «еф від семи дорівнює дев'яти»; у письмовій формі це виглядає так:

Також легко можна вказати значення цієї функції при x = 8 і x = 9 , як і за будь-яких інших значеннях x з області визначення:

Введемо функцію, у якої область визначення та значень – теж безліч дійсних чисел:

Для позначення функції можна використовувати будь-яку літеру (не лише f). Ще функції часто називають літерами g і h. Якщо потрібно працювати з кількома функціями відразу, їх слід позначити різними літерами. Наприклад, позначимо за g(x) вираз 3∙x−5 у функції y = 3∙x−5 :

Значення функції y = g(x) у точці 7 дорівнює 16:

g(7) = 3∙x−5 = 3∙7−5 = 21−5 = 16

А значення функції y = f(x) у тій же точці 7 дорівнювало 9 :

Отже, сума значень f(7) і g(7) дорівнює 25:

Коли потрібно часто обчислювати саме суму значень двох різних функцій, краще одразу скласти x+2 та 3∙x−5 , щоб вивести таку формулу:

Тепер потрібно просто підставити замість всіх x потрібне число 7 і вийти має теж 25 тільки швидше:

f(7)+g(7) = 4∙x−3 = 4∙7−3 = 28−3 = 25

Так можна обчислити суму f(x) і g(x) для будь-яких x з області визначення:

f(8)+g(8) = 4∙8−3 = 32−3 = 29

f(9.5)+g(9.5) = 4∙9.5−3 = 38−3 = 35

f(10)+g(10) = 4∙10−3 = 40−3 = 37

Якщо рахувати окремо f(x) і g(x) і потім складати, то вийдуть такі самі результати:

g(9.5) = 3∙x−5 = 3∙9.5−5 = 28.5−5 = 23.5

f(9.5)+g(9.5) = 11.5+23.5 = 35

g(10) = 3∙x−5 = 3∙10−5 = 30−5 = 25

Можна вивести формулу твору f(x) і g(x) :

Тоді добуток значень функцій y = f(x) і y = g(x) у точці x = 11 має дорівнювати 364 :

f(11)∙g(11) = 3∙x 2 +x−10 = 3∙11 2 +11−10 =

3∙121+11−10 = 363+1 = 364

Перевіримо, чи правда добуток цих функцій дорівнює 364 при x = 11 . Обчислимо f(11) і g(11):

g(11) = 3∙x−5 = 3∙11−5 = 33−5 = 28

Вийшло теж 364 – все правильно.

Для того, щоб задати функції y = f(x) та y = g(x) ми використовували такі формули:

Але для зручності у багатьох випадках ті ж функції задають без використання залежної змінної одразу такими формулами:

Така форма запису дозволяє позбавитися додаткових пояснень про те, яку функцію з двох функцій позначили літерою f , а яку літерою g .

Досить часто користуються записом y = f(x) , коли йдеться не про якусь конкретну функцію, а взагалі про абстрактну функцію. У цьому випадку мають на увазі, що просто є залежність значення змінної y від значення змінної x .

D(f) – область визначення, E(f) – область значень

З попередньої статті має бути відомо, що безліч усіх чисел, яких можна підставляти замість x формулу функції називається областю визначення. Якщо підставити кожне число з області визначення формулу функції, то безліч всіх цих можливих значень функції буде називатися областю значень.

Область визначення функції прийнято позначати літерою D після якої в дужках вказують потрібну функцію. Наприклад, область визначення функції y = f(x) можна позначити так:

Якщо потрібно вказати область визначення функції y = g (x), то пишуть букву g:

Область значень функції y = f(x) позначають буквою E із зазначенням функції у дужках:

А область значень функції y = g(x) слід позначати так:

Як правило, в умовах завдання нічого не говорять про область визначення та область значень функції. У такому разі під областю визначення розуміють безліч всіх допустимих значень незалежної змінної, у яких формула функції має сенс; а областю значень функції слід вважати множину чисел, що складається з усіх значень, які зможе прийняти залежна змінна.

Наприклад, розглянемо функцію, в описі якої явно область визначення не вказана:

Позначимо 5∙x−9 за f(x) :

Видно, що в цю функцію замість x можна підставити будь-яке дійсне число: не відбудеться таких неприпустимих операцій як розподіл на нуль або вилучення квадратного кореня з негативного числа. Значить, її область визначення – безліч усіх дійсних чисел, що позначається проміжком від мінус нескінченності до плюс нескінченності:

Досліджуємо область значень цієї функції. Якщо замість x підставити −2 , то y дорівнюватиме −19 , отже, числу −2 відповідає число −19 :

y = f(−2) = 5∙(−2)−9 = −10−9 = −19

Якщо x = −1 , то y = −14 , отже, числу −1 відповідає число −14 :

y = f(−1) = 5∙(−1)−9 = −5−9 = −14

y = f(2) = 5∙2−9 = 10−9 = 1

y = f(3) = 5∙3−9 = 15−9 = 6

y = f(3.1) = 5∙3.1−9 = 15.5−9 = 6.5

Складемо таблицю, до якої включимо всі ці відповідності та деякі інші.

По таблиці можна побачити, що з кожному збільшенні x на одиницю y буде завжди збільшуватися на 5 ; а за кожного зменшення x на 1 y зменшується на 5 . Отже, y (слід за x ) може збільшуватися до нескінченності і зменшуватися до мінус нескінченності, і при цьому не пропускатиме жодного дійсного числа. Значить, значенням цієї функції може стати будь-яке число, її область значень – безліч дійсних чисел:

Тепер, коли нам вже відомі всі переваги використання запису f(x) , вже немає причин у постійному вживанні змінної y замість неї можна застосовувати запис f(x) , тому що вона теж дорівнює значенню функції, як і y . Тоді поставимо наступну функцію не формулою, а так:

Квадратний корінь можна витягти з будь-якого невід'ємного числа, отже, всі позитивні числа і нуль точно увійдуть до області визначення функції . Але операція вилучення квадратного кореня з негативного числа не здійсненна всередині безлічі дійсних чисел, отже, негативних чисел області визначення цієї функції немає – туди увійдуть лише неотрицательные:

В результаті вилучення квадратного кореня з позитивного числа може вийти тільки позитивне число, а квадратний корінь з нуля дорівнює нулю. Значить, область значень функції теж складається з усіх позитивних чисел та нуля:

Тепер розглянемо таку функцію:

Очевидно, що квадрат можна звести абсолютно будь-яке дійсне число, значить, область визначення цієї функції - безліч всіх дійсних чисел:

Якщо квадрат звести дійсне число, то може вже лише неотрицательное число; f(x) якраз і дорівнює такому квадрату числа, отже, f(x) може бути лише невід'ємним числом, отже область значень цієї функції можна прирівняти до проміжку від нуля включно до плюс нескінченності:

Трапляється, що область визначення не може входити тільки одне число з усіх дійсних, як у цій функції:

У функції значення x може бути будь-яким крім нуля. Поділ на нуль – нездійсненна операція, вираз немає сенсу. Щоб виключити тільки нуль з області визначення, використовуємо об'єднання двох проміжків:

Значенням функції теж може стати абсолютно будь-яке число, крім нуля – немає такого числа, на яке можна розділити одиницю і отримати нуль:

У будь-якому випадку якщо у формулі функції присутній дріб, у знаменнику якого є змінна, то обов'язково потрібно дізнатися при якому значенні цієї змінної знаменник дорівнюватиме нулю – такі значення змінної не повинні входити в область визначення. Наприклад, з області визначення потрібно виключити відразу два числа цієї функції:

Змінна x може бути будь-яким числом, крім 1 і 3 . Прирівняємо область визначення функції g(x) до об'єднання проміжків, яке входять усі дійсні числа крім 1 і 3 :

У область значень функції g(x) входять усі дійсні числа, у тому числі нуль при x = 2:

Наявність у формулі функції дробу зі знаменником, що містить змінну, не обов'язково означає відсутність будь-яких чисел в області визначення. У наступній функції число 1 – найменше, яким може стати знаменник, отже знаменник ніколи не буде рівним нулю:

Дійсно, число x 2 не може бути менше нуля, отже, вираз x 2 +1 не може бути менше одиниці, тоді значення виразу x 2 +1 не дорівнює нулю при всіх дійсних x , а область визначення нічим не обмежена і дорівнює множині R :

Чим менший знаменник, тим більше значення цієї функції. При x=0 знаменник найменший, отже, і максимальне значення функції, рівне одиниці, досягається при x = 0 :

Чим більший знаменник, тим ближче значення функції наближається до нуля, але воно ніколи не зможе стати рівним нулю:

З усього цього можна зробити висновок, що область значень цієї функції – безліч всіх чисел від нуля не включно до одиниці включно:

Подібними методами можна знайти область визначення та область значень значної частини шкільних функцій. Але все ж цього недостатньо, щоб знайти D(f) і особливо E(f) такої функції:

З більш серйозними математичними інструментами, що дозволяють це зробити, ми будемо поступово знайомитися в міру вивчення всієї шкільної програми, що залишилася, і зможемо визначити, що D(f ) і E(f ) цієї функції рівні:

Найменше значення 0 функція приймає при x=3 і x=−3 :

Найбільше значення функції досягається при і при:

Що означає число f