Розрахунок помилок: значення, типи та приклади

Небагато речей у фізиці є настільки ж фундаментальними для експериментальної бази, як розрахунки помилок. Розрахунки помилок використовуються у всіх темах фізики, щоб визначити, наскільки велика чи мала помилка для цього результату. Це може бути використане для розуміння рівня невизначеності у результатах експерименту. Тому нам необхідно розглянути різні способи подання помилок і те, як це зробити. обчислити ці значення похибки.

Значення обчислення помилок

Перш ніж рухатись далі, необхідно зрозуміти, що таке обчислення помилок. При зборі будь-яких даних у фізиці, будь то вимірювання довжини шматка нитки за допомогою лінійки або вимірювання температури об'єкта за допомогою термометра, ми можемо зробити помилки в наших результатах. Загалом помилки не є проблемою, поки ми можемо пояснити, чому вони виникли, і зрозуміти невизначеність, яку вони додають до результатів експерименту. Саме тут і з'являється розрахунок похибок. Ми використовуємо розрахунок похибок, щоб зрозуміти, наскільки точними є наші результати, і поговорити про причини їх виникнення.

Розрахунок помилок це процес, використовуваний визначення значимості помилок у цьому наборі даних чи наборі результатів.

Види помилок

Існує два основних типи помилок, про які вам потрібно знати, коли йдеться про фізику: систематичні помилки і випадкові помилки Систематичні помилки – це систематичні помилки. На відміну від них, випадкові помилки – це помилки, які просто випадкові! Для виникнення несподіваної помилки немає причин; вони просто трапляються іноді. Обидва ці види помилок часто можна усунути, взявши середнє значення, або визначивши їх як аномалії .

An аномалія це результат, який зненацька відхиляється від нормального значення через випадкові помилки.

Систематичні помилки

Систематична помилка - це помилка, що виникає в результаті неправильного виконання експериментальної процедури і може бути викликана приладами або обладнанням, змінами в навколишньому середовищі або помилками в тому, як проводиться експеримент.

Помилка приладу

Інструментальна помилка – це, мабуть, найочевидніше джерело помилок в експерименті – вона виникає, коли показання приладу відрізняються від справжнього вимірюваного значення. Це може бути викликане неправильним калібруванням приладу. Наприклад, якщо ваги на малюнку нижче показують \(6\;\mathrm\), коли на них нічого немає, то це внесе помилку \(6\;\mathrm\).У цьому випадку справжня маса полуниці буде \(140\; \ mathrm \).

Мал. 1 - Декілька ягід полуниці зважуються на цифрових вагах.

Коли прилад вносить постійну помилку в результати через погане калібрування, це часто описується як усунення приладу Хорошою новиною є те, що якщо усунення виявлено, його зазвичай легко виправити шляхом повторного калібрування приладу та показань. Прилади з низькою точністю також можуть змінювати показання. випадкові помилки у результатах, які набагато складніше виправити.

Процедурна помилка

Процедурні помилки виникають, коли експериментальна процедура виконується непослідовно, що призводить до відмінностей отримання кінцевих результатів. Прикладом може бути округлення результатів - якщо значення округляється у велику сторону при одному читанні і меншу при наступному, це вносить процедурні помилки в дані.

Екологічна помилка

Помилки також можуть бути викликані змінами у поведінці експерименту через зміни умов навколишнього середовища. Наприклад, якщо експеримент вимагає дуже точного вимірювання довжини зразка, зміна температури може викликати невелике розширення або стиснення зразка, створюючи нове джерело помилки. Інші зміни навколишнього середовища, такі як вологість, рівень шуму або навіть сила вітру також можуть внести потенційну похибку в результати.

Людський фактор

Люди можуть бути найпоширенішою причиною помилок у шкільній лабораторії фізики! Навіть у професійніших умовах люди все ще можуть вносити помилки в результати. Найбільш поширеними джерелами людських помилок є недостатня точність при читанні вимірювань (наприклад, помилка паралаксу) або неправильний запис виміряного значення (відома як помилка транскрипції).

Помилки паралаксу Вони виникають, коли ваше око не знаходиться прямо над вимірювальним маркером, що призводить до неправильних показань через "перекос" зору. Приклад цього ефекту показаний в анімації нижче - зверніть увагу, як змінюється відносне положення рядів будинків у міру їхнього переміщення ліворуч від глядача.

Мал. 2 - Анімація, що демонструє ефект паралаксу при проходженні перед будинками.

Випадкові помилки

Оскільки випадкові помилки за своєю природою випадкові, їх складніше контролювати під час проведення експерименту. При проведенні повторних вимірювань неминуче виникнуть невідповідності, викликані змінами в навколишньому середовищі, зміною частини зразка або проби, що вимірюється, або навіть дозволом приладу, в результаті чого справжнє значення буде округлено у більшу або меншу сторону.

Для того, щоб зменшити потенційний вплив випадкових помилок на результати, зазвичай в експериментах проводиться кілька повторних вимірів. Оскільки очікується, що випадкові помилки розподілені випадковим чином, а не зміщені у певному напрямку, взяття середнього значення з кількох показань має дати результат, найближчий до справжнього значення. Різниця між середнім значенням та кожним показанням може бути використана для ідентифікації аномалії, які можуть бути виключені з остаточних результатів.

Важливість розрахунку помилок

Завжди важливо аналізувати можливі помилки у наборі експериментальних результатів, щоб зрозуміти, як їх виправити чи впоратися з ними. Іншою важливою причиною для проведення такого аналізу є той факт, що багато наукових досліджень проводяться з використанням результатів або даних попередніх досліджень. У цьому випадку важливо, щоб результати були представлені з рівнем невизначеності, оскільки це дозволяє враховувати помилки в ході подальшого аналізу та запобігає поширенню помилок, що призводить до невідомих помилок.

Прецизійність у порівнянні з точністю

Ще одна важлива річ, яку необхідно пам'ятати при аналізі помилок у фізиці – це різниця між точністю та похибкою. Наприклад, ви можете мати набір ваг, які дуже точні, але зробити вимір, який буде дико неточним, тому що ваги не були правильно відкалібровані. Або, навпаки, ваги можуть бути дуже точними (з середнім свідченням, дуже близьким до істинного), але неточним, що призводить до великого розкиду показань. Наведена нижче ілюстрація демонструє різницю між точністю та прецизійністю.

Точність описує, наскільки повторювані або щільно згруповані показання приладу.Точний пристрій має низький рівень випадкової похибки.

Точність описує, наскільки близькі середні показання приладу справжнього значення. Точний пристрій повинен мати низький рівень систематичної похибки.

Невизначеність у результатах

Неминучі випадкові помилки в експерименті завжди призведуть до того, що показання приладу матимуть рівень невизначеність Це визначає діапазон навколо виміряного значення, який, як очікується, потрапить справжнє значення. Зазвичай невизначеність виміру значно менше, ніж саме вимір. Існують різні методи розрахунку величини невизначеності, але загальноприйняте емпіричне правило для величини похибки віднесення показань, знятих на око за допомогою такого інструменту, як лінійка, становить відзначення половини збільшення.

Наприклад, якщо ви зчитуєте вимір \(194\;\mathrm\) з лінійки з кроком \(1\;\mathrm\), ви записуєте показання так: \((194\pm0.5)\;\mathrm\).

Це означає, що справжнє значення знаходиться між \(193.5\;\mathrm\) і \(194.5\;\mathrm\).

Поширення помилок

Під час аналізу результатів, якщо виконується розрахунок, важливо враховувати ефект поширення помилок. Невизначеності, присутні для змінних усередині функції, впливатимуть на невизначеність результату функції. Це може бути складним у виконанні складних аналізів, але ми можемо зрозуміти ефект простому прикладі.

Уявіть, що в попередньому прикладі зразок, який ви виміряли, був ((194 pm0.5); mathrm) довгої струни. Потім ви вимірюєте ще один зразок і записуєте його довжину як ((420pm0.5); mathrm).Якщо ви хочете обчислити сумарну довжину обох зразків, нам також потрібно об'єднати невизначеності - оскільки обидві струни можуть бути або на найкоротшому, або на найдовшій межі їх заявлена ​​довжина.

Саме тому важливо вказувати остаточні результати з рівнем невизначеності - адже будь-яка майбутня робота, яка використовує ваші результати, знатиме діапазон, до якого, як очікується, потрапить справжнє значення.

Методи розрахунку похибки

Помилки в експериментальних вимірах можуть бути виражені кількома різними способами; найбільш поширеними є абсолютна помилка \(D_a\), відносна помилка \(D_r\) та відсоткова помилка \(D_\%\).

Абсолютна помилка

Абсолютна помилка це вираз того, наскільки вимір далеко від свого фактичного чи очікуваного значення. Воно повідомляється з використанням тих самих одиниць, що і вихідний вимір. Оскільки справжнє значення може бути невідомим, замість нього може використовуватися середнє значення кількох повторних вимірів.

Відносна помилка

Відносна помилка (іноді звана пропорційною помилкою) висловлює, наскільки велика абсолютна помилка як частину загального значення виміру.

Відсоткова помилка

Коли відносна помилка виражається у відсотках, вона називається відсоткова помилка .

Формула розрахунку помилки

Різні уявлення похибок мають розрахунки, які ви повинні вміти використовувати. Подивіться рівняння нижче, щоб побачити, як ми обчислюємо кожне з них, використовуючи виміряне значення (x_m) і фактичне значення (x_a):

У кожному з цих рівнянь ((text, x_a)) можна розглядати як середнє арифметичне кількох показань, коли справжнє значення невідоме.

Ці формули прості для запам'ятовування, і ви повинні використовувати їх обидві послідовно, щоб завершити ретельний аналіз помилок завершеного експерименту. Найкращий спосіб зробити це – використовувати електронну таблицю для запису ваших результатів, яка може бути налаштована на автоматичний розрахунок цих трьох значень при введенні кожного показання.

Приклади аналізу помилок

Ви працюєте влітку на птахофермі, і одна з курей щойно знесла потенційно рекордне яйце. Фермер попросив вас провести точні вимірювання гігантського яйця, щоб визначити, чи ця курка є потенційно призовим птахом. На щастя, ви знаєте, що для того, щоб правильно вказати свої виміри яйця, вам доведеться провести аналіз помилок!

Мал. 3 - Очевидно, що курка мала з'явитися раніше яєць.

Ви проводите 5 вимірів маси яйця та записуєте результати до таблиці нижче.

Розрахувавши середнє середнє набору вимірювань, ви можете використовувати його як \(\mathrm\;\mathrm,x_a,\) для обчислення значень похибки за формулами, наведеними раніше.

Аналізуючи значення похибки, бачимо, що вимір №4 має значно велика помилка Це вказує на те, що вимір 4 міг бути аномалією через якийсь фактор навколишнього середовища, тому ми вирішили видалити його з набору даних та перерахувати помилки в таблиці нижче.

Перерахувавши значення помилок, бачимо, що середня відсоткова помилка тепер набагато менше. Це дає нам великий ступінь впевненості в тому, що наш середній вимір (71.01; mathrm) приблизно відповідає справжній масі яйця.

Щоб представити наше остаточне значення з наукової точки зору, ми повинні включити до нього невизначеність Хоча правило пальця, представлене раніше у статті, підходить при використанні такого інструменту, як лінійка, ми можемо ясно бачити, що наші результати відрізняються більш ніж на половину найменшого збільшення на нашій шкалі. Натомість ми повинні подивитися на значення абсолютна похибка щоб визначити рівень невизначеності, який охоплює всі наші свідчення.

Ми бачимо, що найбільша абсолютна помилка в наших свідченнях становить \(0.05\), тому ми можемо представити наше остаточне вимірювання як:

Розрахунок помилок – основні висновки

• Розрахунок похибки - це процес, використовуваний визначення того, наскільки значної є похибка у цьому наборі даних чи наборі результатів.
• Існує два основних типи помилок, про які вам потрібно знати, коли йдеться про експерименти з фізики: систематичні помилки та випадкові помилки.
• Абсолютна похибка (D_a) - це вираз того, наскільки вимір далеко від свого дійсного значення.
• Відносна \(D_r\) і відсоткова помилка \(D_\%\) виражають, наскільки велика абсолютна помилка порівняно із загальним розміром об'єкта, що вимірювається.
• Обчислення та аналіз помилок дозволяє нам легше виявляти аномалії у наших наборах даних. Обчислення помилок також допомагає нам призначити відповідний рівень невизначеності для наших результатів, оскільки жодний вимір ніколи не може бути абсолютно точним.

Посилання

1. Мал. 1: Мої перші в житті цифрові кухонні ваги (//www.flickr.com/photos/jamieanne/4522268275), автор jamieanne, ліцензія CC-BY-ND 2.0 (//creativecommons.org/licenses/by-nd/2.0/ )

Часті питання про розрахунок помилок

Що таке розрахунок помилок?

Розрахунок похибки - це процес, використовуваний визначення того, наскільки значної є похибка у цьому наборі даних чи наборі результатів.

Якою є формула розрахунку похибки?

Як абсолютна, і відносна похибки мають свій розрахунок, який необхідно вміти використовувати. Подивіться на наведені нижче словесні рівняння, щоб побачити, як ми обчислюємо кожну з них:

Абсолютна похибка = Справжнє значення - Виміряне значення

Відносна похибка = Абсолютна похибка/ Відоме значення

Ці формули надзвичайно прості для запам'ятовування, і ви повинні використовувати їх одну за одною, щоб завершити ретельний аналіз помилок завершеного експерименту.

Що прикладом розрахунку помилки?

Наприклад, якщо ви щойно завершили експеримент, в якому ви розраховували прискорення, зумовлене гравітацією, вам доведеться порівняти свій результат з відомим результатом гравітаційного прискорення, а потім пояснити, чому ваш результат відрізняється від відомого результату. Ця різниця в результатах виникає через кілька факторів, і такий аналіз факторів є розрахунком помилок.

Як розраховуються коефіцієнти помилок?

Рівень помилки або процентна помилка розраховується так:

( Фактичне значення - Виміряне значення/Відоме значення )*100%

Як розрахувати систематичну помилку та випадкову помилку?

Найкраще, що ви можете зробити, помітивши систематичну помилку - це відновити експеримент, переконавшись, що ви усунули проблему, що викликала систематичну помилку в першу чергу. Випадкові помилки є випадковими, і вони не виникають через нашу експериментальну процедуру. Натомість ми можемо зменшити їх вплив, виконуючи точний вимір кілька разів. Процентна помилка використовується визначення того, наскільки близька виміряна величина до фактичного значення.

Leslie Hamilton

Леслі Гамільтон — відомий педагог, яка присвятила своє життя створенню можливостей інтелектуального навчання учнів. Маючи більш ніж десятирічний досвід роботи у сфері освіти, Леслі володіє великими знаннями та розумінням, коли йдеться про останні тенденції та методи викладання та навчання. Її пристрасть і відданість справі спонукали її створити блог, у якому вона може ділитися своїм досвідом та давати поради студентам, які прагнуть покращити свої знання та навички. Леслі відома своєю здатністю спрощувати складні концепції і робити навчання легким, доступним і захоплюючим для учнів різного віку та з будь-яким рівнем підготовки. За допомогою свого блогу Леслі сподівається надихнути та розширити можливості наступного покоління мислителів та лідерів, просуваючи любов до навчання на все життя, яке допоможе їм досягти своїх цілей та повністю реалізувати свій потенціал.

Поширення помилок

Одним з найбільш важливих питань у чисельному аналізі є питання про те, як помилка, що виникла в певному місці в ході обчислень, поширюється далі, тобто чи стає її вплив більшим або меншим у міру того, як проводяться наступні операції.Крайнім випадком є ​​віднімання двох майже рівних чисел: навіть за дуже маленьких помилок обох цих чисел відносна помилка різниці може бути дуже великий. Така відносна помилка буде розповсюджуватись далі при виконанні всіх наступних арифметичних операцій.

Одним із джерел обчислювальних похибок (помилок) є наближене уявлення речових чисел в ЕОМ, обумовлене кінцівкою розрядної сітки. Хоча вихідні дані представляються в ЕОМ з великою точністю накопичення похибок округлення в процесі рахунку може призвести до значної результуючої похибки, а деякі алгоритми можуть виявитися зовсім непридатними для реального рахунку на ЕОМ. Докладніше про подання дійсних чисел в ЕОМ можна дізнатися тут.

Поширення помилок

Як перший крок при розгляді такого питання, як поширення помилок, необхідно знайти висловлювання для абсолютної та відносної помилок результату кожного з чотирьох арифметичних дій як функції величин, що беруть участь в операції, та їх помилок.

Абсолютна помилка

Є два наближення і двох величин і , і навіть відповідні абсолютні помилки і . Тоді в результаті складання маємо

Помилка суми, яку ми позначимо через , буде рівна

Тим самим шляхом отримуємо

При множенні ми маємо

Оскільки помилки зазвичай набагато менше самих величин, нехтуємо добутком помилок:

Помилка твору дорівнюватиме

Перетворюємо цей вираз на вигляд

Множник, що стоїть у дужках, можна розкласти в ряд

Перемножуючи і нехтуючи всіма членами, які містять твори помилок або ступеня помилок вище за першу, маємо

Необхідно чітко розуміти, що знак помилки буває відомий лише у дуже поодиноких випадках.Не факт, наприклад, що помилка збільшується при додаванні і зменшується при відніманні тому, що у формулі для додавання коштує плюс, а для віднімання — мінус. Якщо, наприклад, помилки двох чисел мають протилежні знаки, то справа буде навпаки, тобто помилка зменшиться при додаванні і збільшиться при відніманні цих чисел.

Відносна помилка

Після того, як ми вивели формули для поширення абсолютних помилок за чотирьох арифметичних дій, досить просто вивести відповідні формули для відносних помилок. Для складання та віднімання формули були перетворені для того, щоб у них входила в явному вигляді відносна помилка кожного вихідного числа.

Ми починаємо арифметичну операцію, маючи у своєму розпорядженні два наближені значення і з відповідними помилками та . Ці помилки можуть бути будь-якого походження. Величини можуть бути експериментальними результатами, що містять помилки; вони можуть бути результатами попереднього обчислення згідно з будь-яким нескінченним процесом і тому можуть містити помилки обмеження; вони можуть бути результатами попередніх арифметичних операцій та можуть містити помилки округлення. Звичайно, вони можуть також містити в різних комбінаціях і всі три види помилок.

Наведені вище формули дають вираз помилки результату кожного з чотирьох арифметичних дій як функції від ; помилка округлення в даній арифметичній дії при цьому не враховується. Якщо ж надалі необхідно буде підрахувати, як поширюється в наступних арифметичних операціях помилка цього результату, то необхідно до обчисленої по одній із чотирьох формул помилки результату додати окремо помилку округлення.

Графи обчислювальних процесів

Тепер розглянемо зручний спосіб підрахунку поширення помилки у якомусь арифметичному обчисленні. З цією метою ми зображуватимемо послідовність операцій у обчисленні за допомогою графа і писатимемо біля стрілок графа коефіцієнти, які дозволять нам порівняно легко визначити загальну помилку остаточного результату. Метод цей зручний ще й тим, що дозволяє легко визначити вклад будь-якої помилки, що виникла у процесі обчислень, у загальну помилку.

на рис.1 зображено граф обчислювального процесу. Граф слід читати знизу нагору, слідуючи стрілкам. Спочатку виконуються операції, розташовані на якомусь горизонтальному рівні, після цього операції, розташовані на вищому рівні, і т. д. З рис.1, наприклад, ясно, що x і y спочатку складаються, а потім множаться на z. Граф, зображений на рис.1, є лише зображенням самого обчислювального процесу. Для підрахунку загальної помилки результату необхідно доповнити цей граф коефіцієнтами, які пишуться біля стрілок відповідно до таких правил.

Нехай дві стрілки, що входять до гуртка додавання, виходять із двох гуртків з величинами і . Ці величини може бути як вихідними, і результатами попередніх обчислень. Тоді стрілка, що веде від знака + в кружку, отримує коефіцієнт , стрілка ж, що веде від знака + в кружку, отримує коефіцієнт .

Якщо виконується операція, то відповідні стрілки одержують коефіцієнти і.

Обидві стрілки, що входять до гуртка множення, одержують коефіцієнт +1.

Якщо виконується розподіл , то стрілка від косої межі в кухлі отримує коефіцієнт +1, а стрілка від косої межі в кухлі отримує коефіцієнт −1.

Сенс всіх цих коефіцієнтів наступний: відносна помилка результату будь-якої операції (кружка) входить у результат наступної операції, множачись на коефіцієнти у стрілки, що з'єднує ці дві операції.

Приклади

Застосуємо тепер методику графів до прикладів і проілюструємо, що означає поширення помилки у практичних обчисленнях.

Розглянемо задачу складання чотирьох позитивних чисел:

Граф цього процесу зображено на рис.2. Припустимо, що це вихідні величини задані точно немає помилок, і нехай , і є відносними помилками округлення після кожної наступної операції складання. Послідовне застосування правила для підрахунку повної помилки остаточного результату призводить до формули

Скорочуючи суму в першому члені і помножуючи всі вирази на , отримуємо

Враховуючи, що помилка округлення дорівнює (у даному випадку передбачається, що дійсне число в ЕОМ представляється у вигляді десяткового дробу з t значними цифрами), остаточно маємо

З цієї формули ясно, що максимально можлива помилка (абсолютна або відносна), обумовлена ​​округленням, стає меншою, якщо спочатку складати менші числа. Результат досить дивний, оскільки вся класична математика полягає в припущенні, що з зміні місць доданків чи його угруповання сума не змінюється. Різниця полягає в тому, що ЕОМ не може проводити обчислення з нескінченно великою точністю, а саме такі обчислення розглядаються у класичній математиці.

Віднімання двох майже рівних чисел. Припустимо, що потрібно обчислити . Тоді з формули поширення помилки при відніманні маємо

Припустимо, крім того, що x і y є відповідним чином заокругленими позитивними числами, так що

Якщо різниця x-y мала, то відносна помилка z може стати великою, навіть якщо абсолютна помилка мала. Оскільки у подальших обчисленнях ця велика відносна помилка буде поширюватися, вона може поставити під сумнів точність остаточного результату обчислень.

Розглянемо простий приклад:

Знаючи x і y, ми можемо написати

Як бачимо, відносні помилки x і y малі. Однак

Ця відносна помилка дуже велика, і, що найважливіше, вона поширюватиметься під час наступних обчислень.

Пам'ятка програмісту

Висновки, отримані вище, можна звести до короткого переліку рекомендацій для практичної організації обчислень.

1. Якщо необхідно зробити додавання-віднімання довгої послідовності чисел, працюйте спочатку з найменшими числами.
2. Якщо можливо, уникайте віднімання двох майже рівних чисел. Формули, що містять таке віднімання, часто можна перетворити так, щоб уникнути подібної операції.
3. Вираз виду можна написати у вигляді, а вираз виду можна написати у вигляді. Якщо числа різниці майже рівні один одному, робите віднімання до множення або поділу. При цьому завдання не буде ускладнене додатковими помилками округлення.
4. У будь-якому випадку мінімізуйте кількість необхідних арифметичних операцій.

Список литературы

• Д.Мак-Кракен, У.Дорн. Чисельні методи та програмування на Фортрані. Москва "Світ", 1977
• А. А. Самарський, А. В. Гулін. Чисельні методи. Москва "Наука", 1989.

також

Що таке розповсюдження помилок? (Визначення & #038; приклад)

Поширення помилки відбувається, коли ви вимірюєте деякі величини a , b , c ,… з невизначеністю δa , δb , δc …, а потім хочете обчислити іншу величину Q, використовуючи виміри a , b , c і т.д.

Виявляється, невизначеності δa , δb , δc будуть поширюватися (тобто «розтікатися») аж до невизначеності Q.

Для розрахунку невизначеності Q , що позначається δ Q , ми можемо використовувати такі формули.

Примітка. Для кожної з наведених нижче формул передбачається, що величини a , b , c і т. д. містять випадкові і некорельовані помилки.

Додавання або віднімання

Якщо Q = a + b + … + c – (x + y + … + z)

Тоді δ Q = √ (δa) 2 + (δb) 2 + … + (δ c) 2 + (δ x) 2 + (δ y) 2 + … + (δ z) 2

Приклад: припустимо, що ви вимірюєте довжину людини від землі до талії: 40 дюймів ± 0,18 дюйма. Потім ви вимірюєте довжину людини від талії до верхівки, яка становить 30 дюймів ± 0,06 дюйма.

• δ Q = √ (δa) 2 + (δb) 2 + … + (δ c) 2 + (δ x) 2 + (δ y) 2 + … + (δ z) 2
• δ Q = √ (.18) 2 + (.06) 2
• δQ = 0,1897

Це дає нам остаточний вимір 70 ± 0,1897 дюйми.

Множення або поділ

Тоді δQ = | Q | * √ (δa/a) 2 + (δb/b) 2 + … + (δc/c) 2 + (δx/x) 2 + (δy/y) 2 + … + (δz/z) 2

Приклад: Припустимо, ви хочете виміряти відношення довжини елемента a до довжини елемента b . Ви вимірюєте довжину a як 20 дюймів ± 0,34 дюйми, а довжину b - Як 15 дюймів ± 0,21 дюйми.

• δQ = | Q | * √ (δa/a) 2 + (δb/b) 2 + … + (δc/c) 2 + (δx/x) 2 + (δy/y) 2 + … + (δz/z) 2
• δQ = |1,333| * √ (0,34/20) 2 + (0,21/15) 2
• δQ = 0,0294

Це дає нам остаточне співвідношення 1,333 ± 0,0294 дюйми.

Виміряна кількість, помножена на точне число

Якщо A відомо точно і Q = A x

Приклад: Припустимо, ви виміряли діаметр кола як 5 метрів ± 0,3 метра. Потім ви використовуєте це значення для обчислення довжини кола c = πd .

• δQ = |A|δx
• δ Q знак одно | π | * 0,3
• δQ = 0,942

Значить довжина кола дорівнює 15,708±0,942 метри.

Невизначеність у владі

Якщо n - Точне число і Q = x n

Приклад: припустимо, що ви вимірюєте сторону куба як s = 2 дюйми ± 0,02 дюйми. Потім ви використовуєте це значення для розрахунку об'єму куба v = s 3 .

• δ Q знак одно | питання | * | п | * (δx /x )
• δQ = |8| * |3| * (.02/2)
• δQ = 0,24

Значить об'єм куба дорівнює 8±0,24 дюйми. 3 .

Загальна формула розповсюдження помилок

Якщо Q = Q(x) є функцією x , то загальну формулу поширення помилки можна визначити так:

δQ = | dQ / dX |δx

Зверніть увагу, що вам рідко доведеться виводити ці формули з нуля, але може бути корисно знати загальну формулу, яка використовується для їхнього виведення.

Про автора

бенджамін андерсон

Здрастуйте, я Бенджамін, професор статистики на пенсії, який став відданим викладачем Statorials. Маючи великий досвід та знання у галузі статистики, я хочу поділитися своїми знаннями, щоб розширити можливості студентів за допомогою Statorials. Дізнатись більше