Звичайно-різносні методи вирішення крайових завдань
Без застосування ЕОМ лише деякі крайові завдання математичної фізики з їхньої складності вдається вирішити аналітично.
При чисельних методах розв'язання диференціальних рівнянь шукане рішення виходить у вигляді таблиці числових значень в деякому заданому наборі значень аргументів (у вузлових точках сітки). (замінюються) кінцевими різницями у вузлах сітки. У результаті, після постановки їх замість похідних у вихідну крайову задачу, рішення крайової задачі зводиться до розв'язання системи рівнянь щодо значень шуканої функції в вузлових точках. визначених на деякій сітці, називається звичайно-різницевою схемою (або просто різницевою схемою).
Процес побудови чисельного розв'язання диференціального рівняння можна у наступному вигляді:
Чисельне розв'язання диференціальних рівнянь математичної фізики методом кінцевих різниць проводиться у два етапи: 1) різницева апроксимація диференціального рівняння на вибраній сітці – побудова різницевої схеми (дискретизація); 2) рішення на ЕОМ різницевих рівнянь, що є системою лінійних чи нелінійних різницевих рівнянь великої розмірності спеціального виду (погана обумовленість, стрічкова структура тощо.). Причому, якщо вихідне диференціальне рівняння є нелінійним, то, звичайно, різницева апроксимація призводить до системи нелінійних рівнянь.
Розглянемо кінцево-різницеву апроксимацію похідних та оцінки похибки отриманих формул (точність апроксимацій) для функції однієї змінної. Для отримання формул, що апроксимують похідні, розглянемо розкладання безперервної функції в ряд Тейлора в околиці точки:
При малих значеннях , відкинувши малі члени вищих порядків щодо (нехтуючи ними) у розкладанні (7.7), можна отримати вирази апроксимації похідних. Похибка апроксимації визначаєтьсяя старшим членом у відкинутому залишку, який містить , де визначає порядок точності апроксимації. Для позначення залишкового члена розкладання використовується спеціальна символіка – «про мале від», що визначається як «нескінченно мале щодо», тобто. , . Для позначення залишкового члена розкладання також використовується символіка - "Про велике від", тобто. .
Для апроксимації похідних першого порядку розкладанні (7.7) можна залишити два перших члена, тобто. лінійну частину щодо:
Тоді звичайно-різносні аналоги для апроксимації похідних першого порядку можна записати у вигляді:
Вираз (7.8) використовується для апроксимації правої похідної, взятої з кроком уперед, вираз (7.9) – для лівої похідної, взятої з кроком назад. Визначимо порядок точності кінцево-різницевої апроксимації похідних першого порядку за формулами (7.8) та (7.9). Похибка такої апроксимації визначається старшим членом у відкинутому залишку. Замінюючи в (7.8) значення розкладанням у ряд Тейлора (7.7), отримаємо:
Таким чином, формула (7.8) має апроксимацію першого порядку. Визначимо похибку апроксимації для лівої похідної за формулою (7.9):
Формула (7.9) для апроксимації лівої похідної має перший порядок точності.
Для апроксимації похідних першого порядку також можна побудувати кінцево-різницеві аналоги вищого порядку. Для цього розкладання (7.7) запишемо у вигляді:
Далі, якщо з розкладання (7.10) почленно відняти розкладання (7.11), то з розкладання різниці зникнуть вільний член і члени парних ступенів щодо :
Якщо в останньому розкладі різниці залишити лінійну частину щодо , то можна отримати більш точну апроксимацію першої похідної, яка називається центральною різницею:
У цьому випадку залишковий член у відкинутому залишку, що визначає похибку апроксимації, міститиме в другому ступені. Отже, формула (7.12) має другий порядок точності.
Щоб побудувати кінцево-різносні аналоги для апроксимації похідних другого порядку, слід скласти розкладання (7.10) почленно з розкладанням (7.11). Тоді з розкладання суми зникнуть члени непарних ступенів щодо:
Якщо в останньому розкладі суми залишити члени до другого порядку включно щодо , то отримаємо формулу для апроксимації похідної другого порядку ( ):
Відкинутий залишок міститиме член з другого ступеня (після розподілу на ), тобто. Формула (7.13) для апроксимації другої похідної має другий порядок точності.
Грунтуючись на висловлюваннях для , і формальні правила диференціювання, можна отримати апроксимації похідних третього, четвертого і старших порядків.
Це загальний підхід, який дозволяє конструювати апроксимації похідних різними виразами так, що помилка, що виникає при такій заміні, буде мати будь-який заданий порядок щодо кроку сітки для досить гладкої функції (гладкість функції - безперервність її перших похідних). Існують інші процедури побудови різницевих відносин, наприклад, метод невизначених коефіцієнтів. У цьому випадку загальна формула для апроксимації похідних у певній точці має такий вигляд:
де коефіцієнти підбираються таким чином, щоб досягти необхідного порядку апроксимації. Межі підсумовування та підпорядковуються умові. Замінюючи в рівнянні розкладання ряду Тейлора у вигляді
отримаємо наступне розкладання:
. Прирівнюючи коефіцієнти при , у лівій та правій частинах цього виразу, ми прийдемо до системи рівнянь для визначення : , , …, , , , …, . Якщо, то маємо систему з лінійних рівнянь для невідомих. Визначник матриці коефіцієнтів цієї системи є визначником Вандермонда, який не дорівнює нулю. Отже, у разі існує єдиний набір коефіцієнтів , які відповідають системі рівнянь. Якщо , то рішення системи щодо коефіцієнтів не єдине.
Розглянемо застосування методу кінцевих різниць на прикладі вирішення крайової задачі для лінійного звичайного диференціального рівняння другого порядку:
де функції є безперервними на заданому відрізку.
Вирішення крайової задачі полягає у визначенні значення функції , що задовольняє рівняння (I) і крайових умов (II)-(III). Основна ідея чисельного вирішення крайової задачі (I)-(III) методом кінцевих різниць (МКР) полягає в наступному: у заданій області вибирається система вузлових точок і завдання вважається вирішеним, якщо знайдено значення шуканої функції у вузлових точках. У цьому рішення проводиться у етапи: 1) конечно-разностная апроксимація похідних диференціального рівняння і крайових умов, тобто. складання кінцево-різницевого аналога завдання (дискретизація) – виходить система рівнянь; 2) вирішення отриманої системи рівнянь щодо значень функції, що шукається у вузлах сітки.
На заданому відрізку вибирається сітка вузлів: .
Для зручності розрахунків можна вибрати рівномірну сітку: . Далі диференціальне рівняння (I)
розглядається у внутрішніх вузлах, де:
Замінюючи перші та другі похідні у внутрішніх вузлах центральними кінцево-різницевими аналогами (7.12) і (7.13), отримаємо систему з-го рівняння з-ним невідомим щодо:
Два рівняння, що бракують, отримаємо з апроксимації крайових умов (II) і (III). Похідні першого порядку в крайових умовах замінюються кінцево-різницевими аналогами (7.8) та (7.9):
У результаті отримаємо два рівняння, що відсутні:
Таким чином, для визначення -го невідомого отримали систему з -го лінійного рівняння алгебри:
Незважаючи на те, що у внутрішніх вузлах різницеві формули наближають диференціальне рівняння (I) з другим порядком апроксимації, рішення виходить тільки з першим порядком через зниження порядку апроксимації крайових умов (II) і (III) у граничних точках.При апроксимації граничних умов другого і третього роду (умови похідні і змішані умови) конечно-разностными аналогами першого порядку в результаті рішення крайової завдання виходить лише з першим порядком апроксимації. Але все ж таки бажано, щоб різницева схема мала другий порядок апроксимації у всіх точках, включаючи і граничні. Існує кілька способів підвищення порядку апроксимації в граничних точках:
1. Використання формул одностороннього диференціювання вищого порядку точності.
2. Розширення сіткової області додаванням фіктивного вузла.
3. Використання розкладання шуканої функції ряд Тейлора в граничних точках.
Як приклад розглянемо метод розширення сіткової області додаванням ліворуч та праворуч по одному вузлу, які знаходяться за межами заданого відрізка . Нехай у цих точках також визначені значення сіткової функції: і .
Далі диференціальне рівняння (I) та крайові умови (II) та (III) апроксимуємо в граничних точках і з другим порядком. Заміна перших та других похідних диференціального рівняння (I) у граничних точках та центральними кінцево-різницевими аналогами другого порядку (7.12) та (7.13) призводить до лінійних рівнянь:
Апроксимація крайових умов (II) та (III) центральною різницею другого порядку (7.12) у граничних точках і дає рівняння:
Наступним кроком із рівняння (С) виключається значення сіткової функції у фіктивній точці, а з рівняння (D) – значення сіткової функції у фіктивній точці. Для цього з рівняння (A) виражається значення і підставляється це значення рівняння (С). Аналогічно з рівняння (B) виражається значення і підставляється в рівняння (D).Тепер залишається тільки перше та останнє рівняння системи (IV) замінити новими рівняннями (С) та (D). У результаті побудовано різницеву схему, яка має другий порядок апроксимації у всіх вузлових точках сіткової області, включаючи і граничні.
Для вирішення отриманої системи можна використати, наприклад, метод Гауса. Матриця отриманої системи є трьох діагональною, тому для її вирішення часто застосовують метод прогонки.
Аналогічним чином, як і для функції однієї змінної, використовуючи розкладання в ряд Тейлора функції багатьох змінних, можна отримати кінцево-різницеві апроксимації приватних похідних. Наприклад, функції двох змінних висловлювання для кінцевих різниць у припущенні, перший індекс належить до координати , а другий – , тобто. і приймаючи , , будуть представлені у вигляді:
- центральна різниця по осі,
- центральна різниця по осі,
- Друга різниця по осі , (7.16)
- друга різниця по осі,
- Змішана різниця другого порядку по осях і . У виразах (7.16) відкинуто членів порядку або . Ці формули є центрально-різницевими апроксимаціями другого порядку. Також можливі інші апроксимації, точніші.
Конфігурацію вузлів, що використовується для складання різницевої схеми (різницевих рівнянь алгебри), називають шаблоном. Для вирішення однієї і тієї ж задачі можна використовувати різні шаблони. На рис.7.1 наводяться деякі варіанти обчислювальних шаблонів для звичайно-різницевої апроксимації приватних похідних функції двох змінних:
Звичайно-різносні апроксимації є деякими наближеннями значень похідних, мають різну точність апроксимації. Існує три джерела похибок, пов'язаних із чисельною апроксимацією:
1) Похибка округлення обумовлена обмеженнями представлення чисел використовуваної ЕОМ, т.к. дробові числа в двійковій системі числення представляються як нескінченної послідовності двійкових знаків (0 і 1), а число значущих цифр обмежено.
2) Похибка усічення (дискретизації) пов'язана з тим, що для апроксимації функції замість нескінченних рядів використовується лише кілька первинних членів (не залежить від ЕОМ).
3) Похибка розповсюдження є результатом накопичення похибок, які з'явилися попередніх етапах рахунки.
Зазначені три джерела похибок є причиною помилок двох типів, що спостерігаються:
1) Локальна помилка – сума похибок, які вносяться в обчислювальний процес кожному етапі обчислень, тобто. різницю між обчисленим рішенням і теоретичним рішенням, що визначаються одними і тими ж даними в деякій фіксованій точці.
2) Глобальна помилка - Різниця між обчисленим і точним рішенням, що визначає сумарну похибку чисельного алгоритму, що накопичилася з початку обчислень.
Фундаментальним поняттям в оцінці точності чисельного методу є його порядок, Який визначається термінах локальної помилки, одержуваної при застосуванні методу до завдань з гладким рішенням. Кажуть, що чисельний метод має порядок , якщо є число , таке, що з локальної помилки виконується умова , де – абсолютна величина локальної помилки між теоретичним рішенням і наближеним рішенням, отриманим з допомогою чисельного методу на -м кроці, – залежить від номера кроку і величини кроку, тобто. має місце вираз. Розрахункова формула чисельного методу узгоджується (збігається) з розкладанням рішення до Тейлора до членів порядку , тоді – порядок методу. Таким чином, Порядок точності чисельного методу визначається порядком залежності помилки від величини кроку. Наприклад, метод Ейлера на вирішення звичайних диференціальних рівнянь (ОДУ) має перший порядок точності, оскільки йому залежність помилки від величини кроку лінійна, тобто. при зменшенні кроку в раз помилка також зменшується в раз. Розрахункова формула методу Рунге-Кутти на вирішення ОДУ містить перші члени ряду Тейлора до четвертого порядку включно щодо кроку. Отже, має четвертий порядок точності.
Слід зазначити, якщо локальна помилка є, то глобальна помилка буде. Також визначення порядку точності чисельного методу узгоджується з визначенням похибки апроксимації похідних кінцево-різницевими аналогами, яка визначається старшим членом у відкинутому залишку розкладання в ряд Тейлора. Існує й інші підходи до визначення поняття порядку алгебри точності чисельного методу. Наприклад, порядком точності чисельного методу називається найбільший ступінь полінома алгебри, для якої чисельний метод дає точне рішення.
Дата завантаження: 2020-05-20 ; переглядів: 1418 ;
Який метод використовується для розв'язання крайових задач?
Розпізнаний текст, спецсимволи та формули можуть містити помилки, тому з коректним варіантом рекомендуємо ознайомитись на відсканованих зображеннях підручника вище
Також, радимо скористатися пошуком по сайту, ми впевнені, що ви зможете знайти більше інформації щодо потрібної Вам тематики
§ 15.2. Метод кінцевих різниць: основні поняття
Метод кінцевих різниць (або метод сіток) є одним з універсальних та широко використовуваних методів вирішення крайових завдань.Його популярність багато в чому пояснюється відносною простотою підходу до дискретизації диференціальних рівнянь. Суть методу полягає у наступному. Область безперервної зміни аргументу замінюють кінцевою (дискретною) безліччю точок (вузлів), що називається сіткою. Замість функцій безперервного аргументу розглядають функції, визначені лише у вузлах сітки — сіткові
функції. Похідні, що входять у диференціальне рівняння та крайові умови, замінюють їх різницевими аналогами – лінійними комбінаціями значень сіткових функцій у деяких вузлах сітки. В результаті крайову задачу замінюють дискретним крайовим завданням (різницевою схемою), що являє собою систему кінцевого числа лінійних або нелінійних рівнянь алгебри. Рішення різницевої схеми (передбачається, що існує) приймають за наближене рішення крайової задачі.
Незважаючи на простоту методу, що здається, при його використанні доводиться вирішувати ряд проблем. Наприклад, слід мати на увазі, що для одного крайового завдання можна побудувати велику кількість різних схем різниці, серед яких далеко не всі придатні для використання на практиці.
У цьому параграфі ми покажемо, як застосовується різницевий метод на вирішення крайової завдання (15 3), (15.4), обмежуючись простоти викладення випадком рівняння з постійним коефіцієнтом . У цьому випадку крайове завдання набуває вигляду
1. Побудова сітки та введення сіткових функцій.
Зробимо дискретизацію області безперервної зміни аргументу х, замінивши відрізок сіткою кінцевим набором крапок (рис. 15.1). Точки х, називаються вузлами сітки
Для простоти викладу в цьому параграфі будемо вважати сітку рівномірною з кроком Тоді для всіх Зауважимо, що при крок (сітка подрібнюється).
Сітка природним чином розбивається тут на два підмножини: Безліч внутрішніх вузлів складається з тих вузлів які лежать всередині інтервалу Безліч граничних вузлів складається з двох вузлів, що лежать на межі
Далі будемо обчислювати рішення крайової задачі не в довільних точках відрізка, а тільки у вузлах сітки.
цієї функції у вузлах будемо позначати через і розглядати як наближення до значень та розв'язання задачі (15.9), (15.10). Введемо також сіткові функції, що приймають у вузлах сітки значення
2. Побудова різницевої схеми.
Нагадаємо (див. гл. 12), що похідну можна апроксимувати другий різницевий похідний:
з похибкою де Використовуючи формулу (15.11), замінимо тепер у кожному із внутрішніх вузлів диференціальне рівняння (15.9) наближеною рівністю
що зв'язує невідомі значення рішення у трьох послідовних вузлах сітки.
Тепер потрібно, щоб значення шуканої сіткової функції задовольняли у всіх внутрішніх вузлах сітки рівнянням (15.12), в яких знак наближеної рівності замінений на знак рівності:
В результаті диференціальне рівняння (15.9) виявилося апроксимованим його дискретним аналогом - різницевим рівнянням (15.13).
Природно вимагати, щоб у граничних вузлах сіточна функція задовольняла рівності
Таким чином, ми прийшли до системи лінійних рівнянь алгебри (15.13), (15.14), в якій число рівнянь збігається з числом невідомих і одно Вирішуючи цю систему (яку ми будемо називати системою сіткових рівнянь), можна знайти сіткову функцію
Введемо лінійний різницевий оператор за допомогою рівності
і запишемо систему сіткових рівнянь (15.13), (15.14) у такому вигляді:
Дискретне завдання (15.15), (15.16), що залежить від параметра А, прийнято називати різницевою схемою для крайової задачі (15.9), (15.10).
3. Обчислення рішення різницевої схеми з допомогою методу прогонки.
Наведемо систему сіткових рівнянь до виду
Як неважко бачити, ця система є окремим випадком системи лінійних алгебраїчних рівнянь виду
матриця якої тридіагональна. Тут
Нагадаємо, що ефективним методом вирішення таких систем є метод прогонки (див. § 5.9), обчислення якого складаються з двох етапів: прямого та зворотного ходу.
Прямий хід методу прогонки полягає у обчисленні прогоночних коефіцієнтів При коефіцієнти обчислюють за формулами
а за рекурентними формулами
При прямому ході завершують обчисленням значення
Зворотний хід методу прогону дає значення невідомих. Спочатку вважають а потім значення інших невідомих знаходять за формулою
Обчислення ведуть у порядку зменшення значень індексу t від до 0.
Що стосується рішення систему (15.17), (15.18) розрахункові формули методу прогонки спрощуються.
Прогоночні коефіцієнти обчислюють за формулами
Зворотний хід дає значення невідомих (нагадаємо, що відомі). Для цього виробляють обчислення за формулами
Зауваження. Очевидно, що коефіцієнти (15.19) задовольняють нерівності
Звідси випливає, що для системи (15.17), (15.18) виконані умови діагонального переважання: Тому в силу теореми 5.4 обчислення за формулами (15.20) можуть бути доведені до кінця (жоден із знаменників не обернеться в нуль). Крім того, зворотна прогін стійка за вхідними даними.
4. Існування та єдиність рішення.
Згідно з останнім зауваженням, систему сіткових рівнянь (15.17), (15.18) за допомогою еквівалентних перетворень можна привести до системи виду (15.21), (15.22), з якої однозначно знаходяться невідомі. Отже, справедлива наступна теорема.
Теорема 15.8. Рішення різницевої схеми (15.15), (15.16) існує й єдине.
Як буде показано нижче, різницева схема (15.15), (15.16) має ряд властивостей, аналогічних відповідним властивостям крайової задачі (15.9), (15.10).
5. Принцип максимуму.
Як зазначалося раніше, важливою властивістю завдання (15.9), (15.10) є принцип максимуму. Природно
вимагати, щоб і для схеми різниці був справедливий дискретний аналог цієї властивості. Понад те, невиконання для разностной схеми принципу максимуму можна як серйозний дефект, що ставить під сумнів можливість її використання практично.
Лемма 15.1 (принцип максимуму системи сіткових рівнянь). Нехай сіточна функція є рішенням системи сіткових рівнянь
коефіцієнти якої відповідають умовам (15.23). Тоді якщо для всіх то
Припустимо, що нерівність не виконано. Так як за умовою значення в граничних вузлах невід'ємні, то максимальне значення функції позитивно і досягається у внутрішньому вузлі сітки: «щах
Нехай максимальний серед індексів для яких силу такого вибору справедливі нерівності.
Отримана суперечність доводить, що
Теорема 15.9 (принцип максимуму). Нехай сіточна функція є рішенням схеми різниці (15.15), (15.16). Тоді якщо те
Для доказу достатньо помітити, що коефіцієнти відповідної системи сіткових рівнянь (15.17), (15.18) задовольняють умовам (15.23) і скористатися лемою 15.1.
Зауважимо, що довільну сіточну функцію можна вважати рішенням різницевої схеми (15.15), (15.16), якщо вибрати праву частину та граничні значення спеціальним чином, а саме покласти Враховуючи це зауваження, сформулюємо теорему 15.9 іншим чином:
Теорема 15.10. Нехай сіточна функція задовольняє нерівностям
З цієї теореми випливає такий важливий результат.
Теорема 15.11 (теорема порівняння). Нехай сіткові функції і задовольняють нерівності
Відповідно до умови, сіточна функція задовольняє нерівності
Тому в силу теореми, що еквівалентно нерівності
Аналогічно, задовольняє нерівності
Отже, що еквівалентно нерівності
6. Апріорна оцінка рішення.
Оцінимо максимум модуля рішення різницевої схеми через дані дискретної задачі (праву частину рівняння та крайові значення). Попередньо встановимо справедливість двох допоміжних тверджень.
Лемма 15.2. Для вирішення різницевої схеми
Введемо сіточну функцію Зауважимо, що Тому в силу теореми порівняння еквівалентно оцінки Лемма 15.3. Для вирішення різницевої схеми
Введемо сіточну функцію де Зауважимо, що Безпосередньою перевіркою неважко переконатися в тому, що
і тому з теореми порівняння Оскільки максимум квадратичної функції досягається при і дорівнює те й з нерівності слід оцінка (15.30).
Тепер сформулюємо основний результат цього пункту. Теорема 15.12. Для вирішення різницевої схеми (15.15), (15.16) справедлива апріорна оцінка
Зауважимо, що сіточну функцію можна подати у вигляді суми: де розв'язання різницевої схеми (15.25), (15.26), рішення різницевої схеми (15.28), (15.29). Користуючись нерівністю та оцінками (15.27), (15.30), приходимо до нерівності (15.31).
7. Стійкість.
Розглянемо питання чутливості рішення різницевої схеми до похибок завдання правих частин різницевих рівнянь. Нехай розв'язання різницевої схеми (15.15), (15.16), а рішення різницевої схеми
Назвемо різницеву схему (15.15), (15.16) стійкою, якщо за будь-яких справедлива оцінка
де постійна До залежить від Зазначимо, що це оцінка є аналогом оцінки (15.8), справедливої крайової завдання.
Теорема 15.13 (про стійкість різницевої схеми). Для різницевої схеми (15.15), (15.16) справедлива оцінка (15.34) із постійною
Зауважимо, що сіточна функція є рішенням різницевої схеми
Застосовуючи для оцінювання теорему 15.12 приходимо до нерівності (15.34).
Зауваження. Значення постійної К у нерівності (15.34) для схеми різниці (15.15), (15.16) збігається в силу зауваження на с. 487 зі значенням відповідної постійної нерівності (15.8). Цей факт говорить про те, що різницева схема має таку ж чутливість до помилок завдання вихідних даних, що й крайове завдання.
8. Апроксимація.
Нехай і розв'язання диференціального рівняння Назвемо сіточну функцію похибкою апроксимації різницевого рівняння
З визначення випливає, що справедлива рівність
що означає, що функція задовольняє різницевому рівнянню (15.35) з точністю до похибки апроксимації.
Сіткову функцію використовують для попередньої оцінки того, як точно апроксимується диференціальне рівняння його різницевим аналогом. Кажуть, що різницеве рівняння (15.35) апроксимує диференціальне рівняння, якщо при і апроксимує його з порядком (при
Лемма 15.4. Нехай коефіцієнти двічі безперервно диференціюються на відрізку Тоді різницеве рівняння (15.15) апроксимує диференціальне рівняння з другим порядком, причому справедлива оцінка
Насамперед зауважимо, що з теореми 15.2 функція має на відрізку безперервну похідну
З огляду на визначення похибки апроксимації маємо
де похибка апроксимації похідної її різницевим аналогом за формулою (15.11). Отже, справедливість оцінки (15.37) встановлено.
У випадку додатково виникає проблема вивчення похибки апроксимації крайових умов. Однак для крайових умов (15.10) ця проблема відсутня, оскільки функція сітки задовольняє їм точно.
9. Збіжність.
Нехай і розв'язання крайового завдання, а — розв'язання відповідної схеми різниці. Назвемо похибкою схеми різниці сіточну функцію приймаючу значення у вузлах сітки
Будемо говорити, що різницева схема сходиться якщо і при сходиться з порядком точності (якщо для похибки справедлива оцінка де С деяка постійна, не залежна від А.).
Покажемо, що різницева схема (15.15), (15.16) сходяться з другим порядком точності.
Теорема 15.14. Нехай функції двічі безперервно диференційовані на відрізку Тоді справедлива оцінка для похибки різницевої схеми (15.15), (15.16)
Введемо сіточну функцію значення якої у вузлах сітки збігаються з точними значеннями розв'язання крайової задачі, тобто.Рівність (15.36) означає, що можна розглядати як рішення схеми різниці (15.32), (15.33), де . В силу теореми 15.13 справедлива оцінка
Враховуючи тепер нерівність (15.37), із (15.39) отримуємо оцінку (15.38).
Зауваження. Східність різницевої схеми (15.15), (15.16) з другим порядком точності випливає з того, що схема стійка і має апроксимацію з другим порядком щодо А.
10. Оцінка похибки за правилом Рунґе.
Отримана в теоремі 15.14 апріорна оцінка (15.38), як правило, виявляється непридатною для практичної оцінки похибки різницевої схеми. На практиці частіше застосовуються апостеріорні оцінки похибки, що використовують розрахунки на сітках, що згущуються. Нехай, наприклад, і рішення різницевої схеми (15.15), (15.16), що відповідають крокам.
Зазначимо, що вона застосовна лише у вузлах сітки, тобто там, де визначено обидві сіткові функції.
Приклад 15.1. Використовуючи схему різниці (15.15), (15.16) з кроком знайдемо наближене рішення крайового завдання
і оцінимо його похибку за правилом Рунґе. Обчислення будемо вести з шістьма цифрами.
В даному випадку і система сіткових рівнянь (15.17), (15.18) набуде вигляду
Приходимо до наступної системи рівнянь щодо невідомих
Вирішуючи її за допомогою методу прогонки, знаходимо значення, представлені у стовпці табл. 15.1. Зауважимо, що в даному випадку точне розв'язання задачі відоме: і Значення точного рішення та обчислені з їх використанням похибки наведені у стовпцях тієї ж таблиці.
Оцінимо тепер похибку, використовуючи правило Рунґе. Візьмемо крок Вирішуючи відповідну систему сіткових рівнянь:
отримуємо значення, подані в стовпці табл. 15.1.В останньому стовпці цієї таблиці наведено наближені значення похибки, отримані за формулою (15.40). Зауважимо, що у цьому прикладі правило Рунге дає дуже добрі результати.
11. Вплив обчислювальної похибки.
При розрахунках з досить великими кроками впливом обчислювальної похибки рішення можна нехтувати. Однак все ж таки слід мати на увазі, що при вирішенні системи (15.17), (15.18) методом прогонки відбувається накопичення обчислювальної похибки. Відомо, що за обчислювальна похибка може зростати тут пропорційно де ним — відносна точність уявлення чисел в ЕОМ. Таким чином, за досить малих значень кроку А можлива катастрофічна втрата точності.
Зроблене вище твердження перестане здаватися неправдоподібним, якщо переконаємося у цьому, що з малих А обчислювальна похибка може призвести до суттєвого спотворення рішення на етапі складання системи сіткових рівнянь. Нехай, наприклад, для вирішення крайового завдання (15.9), (15.10) використовується різницева схема з кроком а обчислення ведуться на -розрядній десятковій
ЕОМ. Зауважимо, що для такої ЕОМ. Оскільки тут результатом обчислення коефіцієнта після округлення до 6 значущих цифр мантиси є число Отже, навіть якщо інші обчислення будуть проводитися точно, то фактично виявиться знайденим не рішення системи (15.42), а рішення системи
відповідного крайового завдання
Оскільки в результаті виявилося вирішеним "не те завдання", знайдені значення і суттєво відрізнятимуться від шуканих . У даному випадку похибка сягатиме 5%. Загалом похибка може виявитися значно більшою.
