Що таке золотий перетин і де його можна зустріти

Навколо золотого перерізу (воно ж «божественна пропорція») склалося чимало міфів. У романі Дена Брауна "Код да Вінчі" є фрагмент, де головний герой розмірковує про нього і проголошує його ідеалом краси, який зустрічається протягом усієї історії людства. Крім того, воно використовується у рейтингах найкрасивіших знаменитостей. Розповідаємо про те, що такий золотий перетин, де його можна зустріти в природі і як його можна застосовувати в дизайні, архітектурі та створенні сайтів. А ще про те, чи варто виміряти красу за допомогою такої пропорції.

Що таке золотий перетин

Концепція золотого перерізу

Золотий перетин - це відношення частин до цілого, при якому більша частина відноситься до меншої так само, як ціле відноситься до більшої частини. Воно приблизно дорівнює 1,618. У математиці його позначають давньогрецькою літерою "фі".

Історія золотого перерізу

Статуя Евкліда у Музеї природної історії Оксфордського університету

Про золотий переріз було відомо ще в давнину. Вважається, що піфагорійці відкрили таке співвідношення 2400 років тому. Перше відоме визначення золотого перерізу зустрічається в «Початках» Евкліда (325-265 роки до н. Е..). Щоправда, термін «золотий перетин» давньогрецький математик ще використав.

Давньогрецький мислитель Платон (423–347 роки е.) під впливом піфагорійців припустив, що фізичний світ — це недосконала проекція прекраснішого і «реальнішого» царства істини та ідеалів. За Платоном, такі істини можна побачити завдяки логічним міркуванням або створенню симетрії та порядку, за допомогою яких вони могли б засяяти.Міркування давньогрецького філософа вплинули на науку та уявлення про універсальні закони Всесвіту.

Один із популяризаторів ідей Платона — італійський математик доби відродження Лука Пачолі. У його книзі 1509 «Божественна пропорція» як ілюстрації використовувалися креслення Леонардо да Вінчі, в яких фігурував золотий перетин. У книзі просувалася ідея, що людське тіло має відповідати божественним математичним пропорціям. Так Вінчі висловив такий ідеал у знаменитому малюнку «Вітрувіанська людина».

Скульптура, що зображує «Вітрувіанську людину» Леонардо да Вінчі

Німецький поет і філософ Адольф Цейзінг (1810-1876) розвинув таку ідею. Він стверджував, що всі найкрасивіші і основні пропорції пов'язані із золотим перетином у тілах, а й у природі, мистецтві, музиці, архітектурі. Це призвело до поширеного твердження, що давньогрецьке мистецтво та архітектура прекрасні, тому що втілюють золотий перетин.

Незважаючи на багатовікову історію, сам термін «золотий перетин» є відносно недавнім винаходом. Його ввів німецький математик Мартін Ом у 1835 році. У ХІХ столітті також почали використовувати давньогрецьку букву «фі» позначення числа 1,618. Написання запропонував американський математик Марк Барр. "Фі" обрали на честь давньогрецького архітектора Фідія, який брав участь у зведенні Парфенона.

Леонардо Пізанський. З твору I benefattori dell'umanita («Благодійники людства»); том VI, Флоренція, видавництво Дуччі, 1850 рік

Золотий переріз тісно пов'язаний з числами Фібоначчі - послідовністю, в якій кожне наступне число знаходиться шляхом додавання двох попередніх і так до нескінченності: 0, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 і далі.Відношення кожних із двох сусідніх чисел наближається до 1,618.

Послідовність Фібоначчі згадується італійським математиком Леонардо Пізанським (1170-1250) на прізвисько Фібоначчі в «Книзі абака» (1202), першій у Європі праці з індійської та арабської математики. Книга представила у країнах індуїстсько-арабські цифри і просувала десятирічну систему числення. Популярну роботу переписували та імітували. У результаті проект привернув увагу імператора Священної Римської імперії Фрідріха II, і у 1220-х роках Фібоначчі запросили на зустріч із правителем.

Леонардо Пізанський відкрив числа Фібоначчі для Європи, але не був першим, хто сформулював саму послідовність. Індійські математики знали про неї задовго до появи італійського колеги світ. Давньоіндійський математик і поет Пінгала використовував такі числа, щоб підрахувати кількість складів у санскритській поезії приблизно 200-х роках до зв. е. Через 800 років метод їхнього обчислення розробив індійський математик Віраханка.

Правило золотого перерізу

φ = 1 + 1/φ - формула, якою можна виразити золотий перетин.

Пояснимо з прикладу відрізка. Позначимо більшу частину розділеного відрізка літерою a, меншу — літерою b. Тоді весь відрізок буде a+b. У такому разі золотий переріз можна виразити рівнянням a/b = (a+b)/a. Його праву частину можна як a/a + b/a. A/a одно 1. Виходить, що a/b = 1 + b/a. Позначимо пропорцію a/b літерою і отримаємо шукану формулу.

Пропорції золотого перерізу можна застосувати не тільки до відрізків. Так можна побудувати інші фігури, зокрема прямокутник. Потрібно взяти квадрат і помножити одну сторону на число фі. Процедуру можна продовжити і отримати прямокутник із квадратів, співвідношення сторін яких потрапляє у золотий перетин.Якщо кожному квадраті намалювати виток від одного кута до протилежного, то утворюється золота спіраль (чи спіраль Фібоначчі).

Золотий перетин

Людина розрізняє навколишні предмети формою. Інтерес до форми будь-якого предмета то, можливо продиктований життєвої необхідністю, і може бути викликаний красою форми. Форма, в основі побудови якої лежать поєднання симетрії та золотого перерізу, сприяє найкращому зоровому сприйняттю та появі відчуття краси та гармонії. Ціле завжди складається з частин, частини різної величини перебувають у певному відношенні один до одного та до цілого. Принцип золотого перерізу – найвищий прояв структурної та функціональної досконалості цілого та його частин у мистецтві, науці, техніці та природі.

Золотий перетин – гармонійна пропорція

У математиці пропорцією (лат. proportio) називають рівність двох відносин: a : b = c : d.

Відрізок прямий АВ можна розділити на дві частини такими способами:

• на дві рівні частини – АВ : АС = АВ : НД;
• на дві нерівні частини у будь-якому відношенні (такі частини пропорції не утворюють);
• таким чином, коли АВ : АС = АС : НД.

Остання і є золотий поділ або поділ відрізка в крайньому та середньому відношенні.

Золотий переріз – це такий пропорційний поділ відрізка на нерівні частини, при якому весь відрізок так відноситься до більшої частини, як найбільша частина відноситься до меншої; або іншими словами, менший відрізок так відноситься до більшого, як більший до всього

a : b = b : c або з : b = b : а.

Мал. 1. Геометричне зображення золотої пропорції

Практичне знайомство із золотим перерізом починають із розподілу відрізка прямої в золотій пропорції за допомогою циркуля та лінійки.

Мал. 2. Розподіл відрізка прямої по золотому перерізу. BC = 1/2 AB; CD = BC

З точки У відновлюється перпендикуляр, що дорівнює половині АВ. Отримана точка З з'єднується лінією з точкою А. На отриманій лінії відкладається відрізок НД, що закінчується точкою D. Відрізок AD переноситься на пряму АВ. Отримана при цьому точка Е ділить відрізок АВ у співвідношенні золотої пропорції.

Відрізки золотої пропорції виражаються нескінченним ірраціональним дробом AE = 0,618 ..., якщо АВ прийняти за одиницю, ВЕ = 0,382… Для практичних цілей часто використовують наближені значення 0,62 та 0,38. Якщо відрізок АВ прийняти за 100 частин, то більшість відрізка дорівнює 62, а менша – 38 частинам.

Властивості золотого перерізу описуються рівнянням:

x 2 – x – 1 = 0.

Розв'язання цього рівняння:

Властивості золотого перетину створили навколо цього романтичний ореол таємничості і мало не містичного поклоніння.

Другий золотий перетин

Болгарський журнал «Батьківщина» (№10, 1983 р.) опублікував статтю Цвєтана Цекова-Олівця «Про другий золотий перетин», яке випливає з основного перерізу і дає інше відношення 44: 56.

Така пропорція виявлена ​​в архітектурі, а також має місце при побудові зображень композицій подовженого горизонтального формату.

Мал. 3. Побудова другого золотого перетину

Розподіл здійснюється наступним чином. Відрізок АВ ділиться у пропорції золотого перерізу. З точки З відновлюється перпендикуляр СD. Радіусом АВ знаходиться точка Dяка з'єднується лінією з точкою А. Прямий кут АСD ділиться навпіл. З точки З проводиться лінія до перетину з лінією AD. Крапка Е ділить відрізок AD щодо 56: 44.

Мал. 4. Розподіл прямокутника лінією другого золотого перерізу

На малюнку показано положення лінії другого золотого перерізу. Вона знаходиться посередині між лінією золотого перерізу та середньою лінією прямокутника.

Золотий трикутник

Для знаходження відрізків золотої пропорції висхідного та низхідного рядів можна користуватися пентаграмою.

Мал. 5. Побудова правильного п'ятикутника та пентаграми

Для побудови пентаграми потрібно побудувати правильний п'ятикутник. Спосіб його побудови розробив німецький живописець та графік Альбрехт Дюрер (1471…1528). Нехай O - Центр кола, A – точка на колі та Е - середина відрізка ОА. Перпендикуляр до радіусу ОА, відновлений у точці Про, перетинається з колом у точці D. Користуючись циркулем, відкладемо на діаметрі відрізок CE = ED. Довжина сторони вписаного в коло правильного п'ятикутника дорівнює DC. Відкладаємо на колі відрізки DC і отримаємо п'ять точок для написання правильного п'ятикутника. З'єднуємо кути п'ятикутника через один діагоналями та отримуємо пентаграму. Усі діагоналі п'ятикутника ділять одне одного на відрізки, пов'язані між собою золотою пропорцією.

Кожен кінець п'ятикутної зірки є золотим трикутником. Його сторони утворюють кут 36° при вершині, а основа, відкладена на бічну сторону, ділить її в пропорції золотого перерізу.

Мал. 6. Побудова золотого
трикутника

Історія золотого перерізу

Прийнято вважати, що поняття про золотий поділ ввів у науковий побут Піфагор, давньогрецький філософ та математик (VI ст. до н.е.). Є припущення, що Піфагор своє знання золотого поділу запозичив у єгиптян та вавилонян. І справді, пропорції піраміди Хеопса, храмів, барельєфів, предметів побуту та прикрас із гробниці Тутанхамона свідчать, що єгипетські майстри користувалися співвідношеннями золотого поділу під час їх створення. Французький архітектор Ле Корбюзьє виявив, що у рельєфі з храму фараона Мережі I в Абідосі та в рельєфі, що зображує фараона Рамзеса, пропорції фігур відповідають величинам золотого поділу. Зодчий Хесіра, зображений на рельєфі дерев'яної дошки з гробниці його імені, тримає у руках вимірювальні інструменти, у яких зафіксовано пропорції золотого поділу.

Греки були вправними геометрами. Навіть арифметиці навчали своїх дітей за допомогою геометричних фігур. Квадрат Піфагора та діагональ цього квадрата були основою для побудови динамічних прямокутників.

Мал. 7. Динамічні прямокутники

Платон (427…347 рр. е.) також знав про золотому розподілі. Його діалог «Тімей» присвячений математичним та естетичним поглядам школи Піфагора і, зокрема, питанням золотого поділу.

У фасаді давньогрецького храму Парфенона є золоті пропорції. Під час його розкопок виявлено циркулі, якими користувалися архітектори та скульптори античного світу. У Помпейському циркулі (музей у Неаполі) також закладено пропорції золотого поділу.

Мал. 8. Античний циркуль золотого перерізу

У античній літературі, що дійшла до нас, золотий поділ вперше згадується в «Початках» Евкліда. У 2-й книзі «Початок» дається геометрична побудова золотого поділу Після Евкліда дослідженням золотого поділу займалися Гіпсікл (II ст. до н.е.), Папп (III ст. н.е.) та ін. У середньовічній Європі із золотим поділом познайомилися з арабських перекладів «Початок» Евкліда. Перекладач Дж. Кампано з Наварри (III ст) зробив до перекладу коментарі. Секрети золотого поділу ревно оберігалися, зберігалися у суворій таємниці. Вони були відомі лише посвяченим.

В епоху Відродження посилюється інтерес до золотого поділу серед вчених і художників у зв'язку з його застосуванням як у геометрії, так і в мистецтві, особливо в архітектурі Леонардо да Вінчі, художник і вчений, бачив, що італійські художники мають емпіричний досвід великий, а знань мало . Він задумав і почав писати книгу з геометрії, але в цей час з'явилася книга ченця Лукі Пачолі, і Леонардо залишив свою витівку. На думку сучасників та істориків науки, Лука Пачолі був справжнім світилом, найбільшим математиком Італії в період між Фібоначчі та Галілеєм. Лука Пачолі був учнем художника П'єро делла Франческі, який написав дві книги, одна з яких називалася «Про перспективу у живописі». Його вважають творцем нарисної геометрії.

Лука Пачолі чудово розумів значення науки для мистецтва. У 1496 р на запрошення герцога Моро він приїжджає до Мілана, де читає лекції з математики. У Мілані при дворі Моро тоді працював і Леонардо да Вінчі. У 1509 р. у Венеції була видана книга Луки Пачолі «Божественна пропорція» з блискуче виконаними ілюстраціями, зважаючи на те, що їх зробив Леонардо да Вінчі. Книжка була захопленим гімном золотої пропорції.Серед багатьох переваг золотої пропорції чернець Лука Пачолі не преминув назвати і її «божественну суть» як вираз божественного триєдності бог син, бог батько і бог дух святий (малося на увазі, що малий відрізок є уособлення бога сина, більший відрізок – бога батька, а весь відрізок – бога духа святого).

Леонардо да Вінчі також багато уваги приділяв вивченню золотого поділу. Він проводив перерізи стереометричного тіла, утвореного правильними п'ятикутниками, і щоразу отримував прямокутники з стосунками сторін у золотому розподілі. Тому він дав цьому поділу назву золотий перетин. Так воно і тримається досі як найпопулярніше.

У той же час на півночі Європи, у Німеччині, над тими самими проблемами працював Альбрехт Дюрер. Він робить нариси вступу до першого варіанту трактату про пропорції. Дюрер пише. «Необхідно, щоб той, хто щось вміє, навчив цьому інших, які цього потребують. Це я й наважився зробити».

Судячи з одного з листів Дюрера, він зустрічався із Лукою Пачолі під час перебування в Італії. Альбрехт Дюрер детально розробляє теорію пропорцій людського тіла. Важливе місце у своїй системі співвідношень Дюрер відводив золотому перерізу. Зростання людини ділиться в золотих пропорціях лінією пояса, і навіть лінією, проведеної через кінчики середніх пальців опущених рук, нижню частину обличчя – ротом тощо. Відомий пропорційний циркуль Дюрера.

Великий астроном XVI ст. Йоган Кеплер назвав золотий перетин одним із скарбів геометрії. Він перший звертає увагу до значення золотої пропорції для ботаніки (зростання рослин та його будова).

Кеплер називав золоту пропорцію продовжує саму себе «Влаштована вона так, – писав він, – що два молодших члени цієї нескінченної пропорції в сумі дають третій член, а будь-які два останні члени, якщо їх скласти, дають наступний член, причому та ж пропорція зберігається до нескінченності».

Побудова ряду відрізків золотої пропорції можна робити як у бік збільшення (зростаючий ряд), і у бік зменшення (низхідний ряд).

Якщо на прямій довільній довжині, відкласти відрізок m, поруч відкладаємо відрізок M. На підставі цих двох відрізків вибудовуємо шкалу відрізків золотої пропорції висхідного та низхідного рядів

Мал. 9. Побудова шкали відрізків золотої пропорції

Мал. 10. Золоті пропорції у частинах тіла людини

Мал. 11. Золоті пропорції у фігурі людини

Наприкінці XIX – на початку XX ст. з'явилося чимало суто формалістичної теорії про застосування золотого перерізу у витворах мистецтва та архітектури.З розвитком дизайну та технічної естетики дія закону золотого перерізу поширилася на конструювання машин, меблів тощо.

Ряд Фібоначчі

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 і т.д. відомий як ряд Фібоначчі. Особливість послідовності чисел у тому, кожен її член, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх 2 + 3 = 5; 3+5=8; 5+8=13, 8+13=21; 13 + 21 = 34 і т.д., а відношення суміжних чисел ряду наближається до відношення золотого поділу. Так, 21: 34 = 0,617, а 34: 55 = 0,618. Це ставлення позначається символом Ф. Тільки це відношення – 0,618 : 0,382 – дає безперервне розподіл відрізка прямий у золотий пропорції, збільшення його чи зменшення до нескінченності, коли менший відрізок ставиться до більшого, як більший до всього.

Фібоначчі також займався вирішенням практичних потреб торгівлі: за допомогою якої найменшої кількості гир можна зважити товар? Фібоначчі доводить, що оптимальною є така система гир: 1, 2, 4, 8, 16…

Узагальнений золотий переріз

Ряд Фібоначчі міг би залишитися лише математичним казусом, якби не та обставина, що всі дослідники золотого поділу в рослинному та тваринному світі, не кажучи вже про мистецтво, незмінно приходили до цього ряду як арифметичного вираження закону золотого поділу.

Вчені продовжували активно розвивати теорію чисел Фібоначчі та золотого перерізу. Ю. Матіясевич із використанням чисел Фібоначчі вирішує 10-ту проблему Гільберта. Виникають витончені методи вирішення низки кібернетичних завдань (теорії пошуку, ігор, програмування) з використанням чисел Фібоначчі та золотого перерізу.У США створюється навіть Математична Фібоначчі-асоціація, яка з 1963 випускає спеціальний журнал.

Одним із досягнень у цій галузі є відкриття узагальнених чисел Фібоначчі та узагальнених золотих перерізів.

Ряд Фібоначчі (1, 1, 2, 3, 5, 8) і відкритий ним же «двійковий» ряд гир 1, 2, 4, 8, 16… на перший погляд зовсім різні. Але алгоритми їх побудови дуже схожі один на одного: у першому випадку кожне число є сумою попереднього числа із самим собою 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2 ..., у другому - це сума двох попередніх чисел 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2 .... Чи можна знайти загальну математичну формулу, з якої виходять і «двійковий» ряд, і ряд Фібоначчі? А може, ця формула дасть нам нові числові множини, які мають якісь нові унікальні властивості?

Дійсно, поставимо числовий параметр S, який може набувати будь-яких значень: 0, 1, 2, 3, 4, 5… Розглянемо числовий ряд, S + 1 перших членів якого – одиниці, а кожен з наступних дорівнює сумі двох членів попереднього та віддаленого від попереднього на S кроків. Якщо n-й член цього ряду ми позначимо через φ_S (n), то отримаємо загальну формулу φ_S (n) = φ_S (n - 1) + φ_S (n – S – 1).

Очевидно, що при S = 0 з цієї формули ми отримаємо «двійковий» ряд, при S = 1 - ряд Фібоначчі, при S = 2, 3, 4. нові ряди чисел, які отримали назву S-чисел Фібоначчі.

Загалом золота S-пропорція є позитивний корінь рівняння золотого S-перетину x S+1 - x S - 1 = 0.

Неважко показати, що при S = 0 виходить розподіл відрізка навпіл, а при S = 1 - знайомий класичний золотий перетин.

Відносини сусідніх S-чисел Фібоначчі з абсолютною математичною точністю збігаються у межі із золотими S-Пропорціями! Математики у таких випадках кажуть, що золоті S-перетину є числовими інваріантами S-чисел Фібоначчі.

Факти, що підтверджують існування золотих S-січень у природі, наводить білоруський вчений Е.М. Сороко у книзі «Структурна гармонія систем» (Мінськ, «Наука та техніка», 1984). Виявляється, наприклад, що добре вивчені подвійні сплави мають особливі, яскраво виражені функціональні властивості (стійкі в термічному відношенні, тверді, зносостійкі, стійкі до окислення тощо) тільки в тому випадку, якщо питомі ваги вихідних компонентів пов'язані один з одним однією з золотих S-пропорцій. Це дозволило автору висунути гіпотезу про те, що золоті S-перетину є числові інваріанти систем, що самоорганізуються. Будучи підтвердженою експериментально, ця гіпотеза може мати фундаментальне значення для розвитку синергетики – нової галузі науки, що вивчає процеси в системах, що самоорганізуються.

За допомогою кодів золотий S-пропорції можна виразити будь-яке дійсне число у вигляді суми ступенів золотих S-пропорцій із цілими коефіцієнтами.

Принципова відмінність такого способу кодування чисел полягає в тому, що підстави нових кодів, що є золотими S-пропорції, при S > 0 виявляються ірраціональними числами. Таким чином, нові системи числення з ірраціональними підставами ніби ставлять «з голови на ноги» ієрархію відносин, що історично склалася, між числами раціональними і ірраціональними. Справа в тому, що спочатку були відкриті числа натуральні; потім їх відносини – числа раціональні.І лише пізніше – після відкриття піфагорійцями непорівнянних відрізків – на світ з'явилися ірраціональні числа. Скажімо, у десятковій, п'ятирічній, двійковій та інших класичних позиційних системах числення як своєрідну першооснову було обрано натуральні числа – 10, 5, 2, – з яких вже за певними правилами конструювалися всі інші натуральні, а також раціональні та ірраціональні числа.

Свого роду альтернативою існуючим способам числення виступає нова, ірраціональна система, як першооснова, початку числення якої обрано ірраціональне число (що є, нагадаємо, коренем рівняння золотого перерізу); через нього вже виражаються інші дійсні числа.

У такій системі числення будь-яке натуральне число завжди представимо у вигляді кінцевої - а не нескінченної, як думали раніше! – суми ступенів будь-якого із золотих S-пропорцій. Це одна з причин, чому «ірраціональна» арифметика, володіючи дивовижною математичною простотою і витонченістю, ніби увібрала в себе найкращі якості класичної двійкової та «Фібоначчієвої» арифметик.

Принципи формоутворення у природі

Все, що набувало якоїсь форми, утворювалося, зростало, прагнуло зайняти місце у просторі та зберегти себе. Це прагнення знаходить здійснення переважно у двох варіантах – зростання вгору чи розстилання поверхні землі і закручування по спіралі. Раковина закручена по спіралі. Якщо її розгорнути, то виходить довжина, що трохи поступається довжині змії. Невелика десятисантиметрова раковина має спіраль завдовжки 35 см. Спіралі дуже поширені у природі. Подання про золотий переріз буде неповним, якщо не сказати про спіраль.

Мал. 12. Спіраль Архімеда

Форма спірально завитої раковини привернула увагу Архімеда. Він вивчав її та вивів рівняння спіралі. Спіраль, викреслена за цим рівнянням, називається його ім'ям. Збільшення її кроку завжди рівномірне. Нині спіраль Архімеда широко застосовується у техніці.

Ще Гете наголошував на тенденції природи до спіральності. Гвинтоподібне та спіралеподібне розташування листя на гілках дерев помітили давно. Спіраль побачили у розташуванні насіння соняшнику, у шишках сосни, ананасах, кактусах тощо. Спільна робота ботаніків та математиків пролила світло на ці дивовижні явища природи. З'ясувалося, що в розташуванні листя на гілці (філотаксис), насіння соняшнику, шишок сосни проявляє себе ряд Фібоначчі, а отже, виявляє себе закон золотого перерізу. Павук плете павутину спіралеподібно. Спіраллю закручується буревій. Злякане стадо північних оленів розбігається спіраллю. Молекула ДНК закручена подвійною спіраллю. Гете називав спіраль "кривої життя".

Серед придорожніх трав росте нічим не примітна рослина – цикорій. Придивимося до нього уважно. Від основного стебла утворився відросток. Тут же розташувався перший листок.

Відросток робить сильний викид у простір, зупиняється, випускає листок, але вже коротший за перший, знову робить викид у простір, але вже меншої сили, випускає листок ще меншого розміру і знову викид. Якщо перший викид прийняти за 100 одиниць, другий дорівнює 62 одиницям, третій – 38, четвертий – 24 і т.д. Довжина пелюсток теж підпорядкована золотій пропорції. У зростанні, завоюванні простору рослина зберігала певні пропорції. Імпульси його зростання поступово зменшувалися у пропорції золотого перерізу.

Мал. 14. Ящірка живородна

У ящірці з першого погляду вловлюються приємні для нашого ока пропорції - довжина її хвоста так відноситься до довжини тіла, як 62 до 38.

І в рослинному, і в тваринному світі наполегливо пробивається формоутворююча тенденція природи – симетрія щодо напрямку зростання та руху. Тут золотий перетин проявляється у пропорціях частин перпендикулярно до зростання.

Природа здійснила поділ на симетричні частини та золоті пропорції. У частинах проявляється повторення будови цілого.

Мал. 15. Яйце птиці

Великий Гете, поет, натураліст і художник (він малював і писав аквареллю), мріяв про створення єдиного вчення про форму, освіту та перетворення органічних тіл. Це він ввів у науковий ужиток термін морфологія.

П'єр Кюрі на початку нашого століття сформулював низку глибоких ідей симетрії. Він стверджував, що не можна розглядати симетрію якогось тіла, не враховуючи симетрію навколишнього середовища.

Закономірності «золотої» симетрії проявляються в енергетичних переходах елементарних частинок, у будові деяких хімічних сполук, у планетарних та космічних системах, у генних структурах живих організмів. Ці закономірності, як зазначено вище, є у будові окремих органів людини і тіла в цілому, а також виявляються у біоритмах та функціонуванні головного мозку та зорового сприйняття.

Золотий переріз та симетрія

Золотий переріз не можна розглядати саме собою, окремо, без зв'язку з симетрією. Великий російський кристалограф Г.В. Вульф (1863 ... 1925) вважав золотий перетин одним із проявів симетрії.

Золотий поділ не є проявом асиметрії, чогось протилежного симетрії Відповідно до сучасних уявлень золотий поділ – це асиметрична симетрія. У науку про симетрію увійшли такі поняття, як статична і динамічна симетрія. Статична симетрія характеризує спокій, рівновагу, а динамічна – рух, зростання. Так, у природі статична симетрія представлена ​​будовою кристалів, а мистецтво характеризує спокій, рівновагу і нерухомість. Динамічна симетрія виражає активність, характеризує рух, розвиток, ритм, вона – свідчення життя. Статичній симетрії властиві рівні відрізки, рівні величини. Динамічній симетрії властиве збільшення відрізків або їх зменшення, і воно виражається у величинах золотого перерізу зростаючого або спадного ряду.