Основні способи організації вибірки

Достовірність статистичних висновків та змістовна інтерпретація результатів залежить від репрезентативності вибірки, тобто. повноти та адекватності уявлення властивостей генеральної сукупності, стосовно якої цю вибірку вважатимуться представницької. Вивчення статистичних властивостей сукупності можна організувати двома способами: за допомогою суцільного і несплошного спостереження. Суцільне спостереження передбачає обстеження всіх одиниць вивчається сукупності, а несуцільне (вибіркове) спостереження - Тільки його частини.

Існують п'ять основних способів організації вибіркового спостереження:

1. простий випадковий відбір, при якому \(n\) об'єктів випадково витягуються з генеральної сукупності \(N\) об'єктів (наприклад, за допомогою таблиці або датчика випадкових чисел), причому кожна з можливих вибірок мають рівну ймовірність. Такі вибірки називаються власне-випадковими;

2. простий відбір за допомогою регулярної процедури здійснюється за допомогою механічної складової (наприклад, дати, дня тижня, номера квартири, літери алфавіту та ін.) та отримані таким способом вибірки називаються механічними;

3. стратифікований відбір полягає в тому, що генеральна сукупність обсягу \(N\) підрозділяється на підсукупності або шари (страти) обсягу \(N_1,N_2. N_r\) так що \(N_1+N_2+. +N_r = N\).Страти є однорідними об'єктами з погляду статистичних характеристик (наприклад, населення ділиться на страти по віковим групам чи соціальної власності; підприємства — по галузях). У цьому випадку вибірки називаються стратифікованим (інакше, розшарованими, типовими, районованими);

4. методи серійного відбору використовуються для формування серійних або гніздових вибірок. Вони зручні у разі, якщо необхідно обстежити відразу " блок " чи серію об'єктів (наприклад, партію товару, продукцію певної серії чи населення при територіально-адміністративному розподілі країни). Відбір серій можна здійснити власно-випадковим чи механічним способом. При цьому проводиться суцільне обстеження певної партії товару або цілої територіальної одиниці (житлового будинку чи кварталу);

5. комбінований (ступінчастий) відбір може поєднувати в собі відразу кілька способів відбору (наприклад, стратифікований та випадковий або випадковий та механічний); така вибірка називається комбінованої.

Види відбору

за виду розрізняються індивідуальний, груповий та комбінований відбір. При індивідуальному відборі у вибіркову сукупність відбираються окремі одиниці генеральної сукупності, груповий відбір - якісно однорідні групи (серії) одиниць, а комбінований відбір передбачає поєднання першого та другого видів.

за методом відбору розрізняють повторну та безповторну вибірку.

Безповторним називається відбір, у якому що потрапила вибірку одиниця не повертається у вихідну сукупність й у подальшому виборі бере участь; при цьому чисельність одиниць генеральної сукупності N скорочується у процесі відбору. При повторному відборі потрапила у вибірку одиниця після реєстрації повертається у генеральну сукупність і таким чином зберігає рівну можливість поряд з іншими одиницями бути використаною у подальшій процедурі відбору; при цьому чисельність одиниць генеральної сукупності N залишається незмінною (метод у соціально-економічних дослідженнях застосовується рідко). Однак, за великого N (N → ∞) формули для безповторного відбору наближаються до аналогічних для повторного відбору та практично частіше використовуються останні (N = const).

Основні характеристики параметрів генеральної та вибіркової сукупності

В основі статистичних висновків проведеного дослідження лежить розподіл випадкової величини (X), спостерігаються ж значення (х₁х₂, …, х_n) називаються реалізаціями випадкової величини Х (n - Обсяг вибірки). Розподіл випадкової величини (X) у генеральній сукупності носить теоретичний, ідеальний характер, а її вибірковий аналог є емпіричним розподілом. Деякі теоретичні розподіли задані аналітично, тобто. їх параметри визначають значення функції розподілу (F(x)) у кожній точці простору можливих значень випадкової величини (X). Для вибірки функцію розподілу визначити важко, а іноді неможливо, тому параметри оцінюють за емпіричними даними, а потім їх підставляють в аналітичний вираз, що описує теоретичний розподіл. При цьому припущення (або гіпотеза) Про вид розподілу може бути як статистично вірним, так і хибним. Але в будь-якому випадку відновлений за вибіркою емпіричний розподіл лише грубо характеризує справжнє. Найважливішими параметрами розподілу є математичне очікування \(\mu\) та дисперсія \(\sigma^2\).

За своєю природою розподілу бувають безперервними і дискретними. Найбільш відомим безперервним розподілом є нормальне. Вибірковими аналогами параметрів \(\mu\) і\(\sigma^2\)для нього є: середнє значення \(\overline\) та емпірична дисперсія \(s^2\). Серед дискретних у соціально-економічних дослідженнях найчастіше застосовується альтернативне (дихотомічне) Розподіл. Параметр математичного очікування \(\mu\) цього розподілу виражає відносну величину (або частку) одиниць сукупності, які мають досліджувану ознаку (x) (вона позначена буквою (p)); частка сукупності, що не має цієї ознаки, позначається буквою q (q = 1 - p). Дисперсія ж (sigma ^ 2) альтернативного розподілу також має емпіричний аналог (s 2).

Залежно від виду розподілу та способу відбору одиниць сукупності по-різному обчислюються характеристики параметрів розподілу. Основні з них для теоретичного та емпіричного розподілів наведені у табл. 1.

Часткою вибірки k_n називається відношення числа одиниць вибіркової сукупності до одиниць генеральної сукупності:

Вибіркова частка w - Це відношення одиниць, що володіють ознакою, що вивчається x до обсягу вибірки n:

приклад. У партії товару, що містить 1000 од., при 5% вибірці частка вибірки k_n в абсолютній величині складає 50 од. (n = N * 0,05); якщо ж у цій вибірці виявлено 2 браковані вироби, то вибіркова частка шлюбу w становитиме 0,04 (w = 2/50 = 0,04 або 4%).

Так як вибіркова сукупність відмінна від генеральної, то виникають помилки вибірки.

Таблиця 1. Основні параметри генеральної та вибіркової сукупностей

Помилки вибірки

За будь-якого статистичного спостереження (суцільного та вибіркового) можуть зустрітися помилки двох видів: реєстрації та репрезентативності. Помилки реєстрації можуть мати випадковий і систематичний характер. Випадкові помилки складаються з безлічі різних неконтрольованих причин, носять ненавмисний характер і зазвичай за сукупністю врівноважують один одного (наприклад, зміни показників приладу при температурних коливаннях у приміщенні).

Систематичні помилки тенденційні, тому що порушують правила відбору об'єктів у вибірку (наприклад, відхилення у вимірах при зміні налаштування вимірювального приладу).

приклад. Для оцінки соціального становища населення місті передбачено обстежити 25% сімей. Якщо при цьому вибір кожної четвертої квартири ґрунтується на її номері, то існує небезпека відібрати всі квартири лише одного типу (наприклад, однокімнатні), що забезпечить систематичну помилку та спотворить результати; вибір же номера квартири за жеребом кращий, оскільки помилка буде випадковою.

Помилки репрезентативності притаманні лише вибірковому спостереженню, їх неможливо уникнути і вони виникають унаслідок того, що вибіркова сукупність в повному обсязі відтворює генеральну. Значення показників, одержуваних за вибіркою, відрізняються від показників цих самих величин у генеральній сукупності (або одержуваних при суцільному спостереженні).

Помилка вибіркового спостереження \(\varepsilon\) є різниця між значенням параметра в генеральній сукупності та її вибірковим значенням. Для середнього значення кількісної ознаки вона дорівнює: \(\varepsilon_<\overline> = \mid \mu - \overline \mid\), а для частки (альтернативної ознаки) - \(\varepsilon_w = \mid p - w \mid\ ).

Помилки вибірки властиві лише вибірковим спостереженням. Чим більше ці помилки, тим більше емпіричний розподіл відрізняється від теоретичного. Параметри емпіричного розподілу \(\overline\) і \(s^2\) є випадковими величинами, отже, помилки вибірки також є випадковими величинами, можуть приймати різні вибірки різні значення і тому прийнято обчислювати середню помилку.

Середня помилка вибірки є величина \(m = \sqrt>\), що виражає середнє квадратичне відхилення вибіркової середньої від математичного очікування. Ця величина при дотриманні принципу випадкового відбору залежить насамперед від обсягу вибірки \(n\) і від ступеня варіювання ознаки: чим більше \(n\) і чим менша варіація ознаки (отже, і значення \(\sigma^2\)) , Тим менше величина середньої помилки вибірки \(m\). Співвідношення між дисперсіями генеральної та вибіркової сукупностей виражається формулою:

тобто. при досить великих (n) можна вважати, що (sigma = s). Середня помилка вибірки показує можливі відхилення параметра вибіркової сукупності від генерального параметра. У табл. 2 наведені вирази для обчислення середньої помилки \(m\) вибірки за різних методів організації спостереження.

Таблиця 2. Середня помилка (m) вибіркових середньої та частки для різних видів вибірки

Де - середня із внутрішньогрупових вибіркових дисперсій для безперервної ознаки;

- середня із внутрішньогрупових дисперсій частки;

\(r\) - число відібраних серій, \(R\) - загальна кількість серій;

де \(\overline\) - середня \(i\)-ї серії;

\(\overline\) - загальна середня по всій вибірковій сукупності для безперервної ознаки;

де \(\overline\) - частка ознаки в \(i\)-ї серії;

\(\overline\) - загальна частка ознаки по всій вибірковій сукупності.

Однак про величину середньої помилки (m) можна судити лише з певною, ймовірністю Р (Р ≤ 1). Ляпунов О.М. довів, що розподіл вибіркових середніх \(\overline\), а отже, та їх відхилень від генеральної середньої, при досить великій кількості \(n\) наближено підпорядковується нормальному закону розподілу за умови, що генеральна сукупність має кінцеву середню та обмежену дисперсію.

Математично це твердження для середньої виражається у вигляді:

а для частки вираз (1) набуде вигляду:

де - є гранична помилка вибірки, яка кратна величині середньої помилки вибірки \(m\), а коефіцієнт кратності \(t\) - є критерій Стьюдента ("коефіцієнт довіри"), запропонований У.С. Держсетом (псевдонім "Student"); значення \(t\) для різного обсягу вибірки \(n\) зберігаються у спеціальній таблиці.

Значення функції Ф(t) при деяких значеннях t дорівнюють:

Отже, вираз (3) може бути прочитаний так: з ймовірністю Р = 0,683 (68,3%) можна стверджувати, що різниця між вибірковою та генеральною середньою не перевищить однієї величини середньої помилки m (t = 1)з ймовірністю Р = 0,954 (95,4%) що вона не перевищить величини двох середніх помилок m (t = 2) з ймовірністю Р = 0,997 (99,7%) - не перевищить трьох значень m (t = 3) . Таким чином, ймовірність того, що ця різниця перевищить триразову величину середньої помилки, визначає рівень помилки і становить не більше 0,3%.

У табл. 3 наведено формули для обчислення граничної помилки вибірки.

Таблиця 3. Гранична помилка (D) вибірки для середньої та частки (р) для різних видів вибіркового спостереження

Поширення вибіркових результатів на генеральну сукупність

Кінцевою метою вибіркового спостереження є характеристика генеральної сукупності.При малих обсягах вибірки емпіричні оцінки параметрів (\(\overline\) і \(w\)) можуть істотно відхилятися від їх справжніх значень (\(\mu\) і \(p\)). Тому виникає необхідність встановити межі, в межах яких для вибіркових значень параметрів (\(\overline\) і \(w\)) лежать справжні значення (\(\mu\) і \(p\)).

Довірчим інтервалом будь-якого параметра θгенеральної сукупності називається випадкова область значень цього параметра, яка з ймовірністю близькою до 1 (надійністю) містить справжнє значення цього параметра.

Гранична помилка вибірки Δдозволяє визначити граничні значення характеристик генеральної сукупності та їх довірчі інтервали, які рівні:

Нижній кордон довірчого інтервалу отримана шляхом віднімання граничної помилки із вибіркового середнього (частки), а верхня — шляхом її додавання.

Довірчий інтервал для середньої використовує граничну помилку вибірки та для заданого рівня достовірності \(p\) визначається за формулою:

Це означає, що із заданою ймовірністю Ряка називається довірчим рівнем і однозначно визначається значенням t, можна стверджувати, що справжнє значення середньої лежить у межах від ,а істинне значення частки \(w\) - в межах від

Під час розрахунку довірчого інтервалу для трьох стандартних довірчих рівнів Р = 95%, Р = 99% та Р = 99,9% значення \(t\) вибирається за таблицею Стьюдента. Програми в залежності від числа ступенів свободи (v = n - 1). Якщо обсяг вибірки досить великий, то відповідні цим імовірностям значення t рівні: 1,96, 2,58 і 3,29. Таким чином, гранична помилка вибірки дозволяє визначити граничні значення характеристик генеральної сукупності та їх довірчі інтервали:

Поширення результатів вибіркового спостереження на генеральну сукупність у соціально-економічних дослідженнях має особливості, оскільки потребує повноти представницькості її типів і груп. Основою для можливості такого розповсюдження є розрахунок відносної помилки:

де Δ_%- відносна гранична помилка вибірки; \(\overline\), \(\overline

\).

Існують два основні методи поширення вибіркового спостереження на генеральну сукупність: прямий перерахунок та спосіб коефіцієнтів.

Сутність прямого перерахунку полягає в множенні вибіркового середнього значення !! overline на обсяг генеральної сукупності (N).

приклад. Нехай середня кількість дітей ясельного віку в місті оцінена вибірковим методом і склала (overline = 1.2) людини. Якщо місті 1000 молодих сімей, кількість необхідних місць у муніципальних дитячих яслах отримують множенням цієї середньої чисельність генеральної сукупності N = 1000, тобто. становитиме 1200 місць.

Спосіб коефіцієнтів доцільно використовувати у разі, коли вибіркове спостереження проводиться з метою уточнення даних суцільного спостереження.

При цьому використовують формулу:

де всі змінні - це чисельність сукупності:

• \(Y_1\) - з поправкою на недооблік,
• \(Y_0\) - без цієї поправки,
• \(y_0\) - у контрольних точках
• \(y_1\) - у тих же точках за даними контрольних заходів.

Необхідний обсяг вибірки

При плануванні вибіркового спостереження із заздалегідь заданим значенням припустимої помилки вибірки необхідно правильно оцінити необхідний обсяг вибірки. Цей обсяг може бути визначений на основі припустимої помилки при вибірковому спостереженні виходячи з заданої ймовірності \ (P \), що гарантує допустиму величину рівня помилки (з урахуванням способу організації спостереження) легко отримати безпосередньо з формул граничної помилки. вибірки. Так, з виразу для граничної помилки:

безпосередньо визначається обсяг вибірки n:

Ця формула показує, що зі зменшенням граничної помилки вибірки Δістотно збільшується необхідний обсяг вибірки (n), який пропорційний дисперсії (sigma ^ 2) і квадрату критерію Стьюдента (t).

Для конкретного способу організації спостереження необхідний обсяг вибірки (n) обчислюється згідно з формулами, наведеними в табл.

Практичні приклади розрахунку

Приклад 1. Обчислення середнього значення та довірчого інтервалу для безперервної кількісної ознаки.

Для оцінки швидкості з кредиторами в банку проведено 10 платіжних документів;

Необхідно з ймовірністю Р = 0,954 визначити граничну помилку Δ вибіркової середньої та довірчі межі середнього часу розрахунків.

Рішення.Середнє значення обчислюється за формулою з табл. 9.1 для вибіркової сукупності.

Дисперсія обчислюється за такою формулою з табл.

Середня квадратична похибка (sigma = 7.3) дня.

Помилка середньої обчислюється за такою формулою:

тобто. середнє значення дорівнює x ± m = 12,0 ± 2,3 дні.

Достовірність середнього склала

Граничну помилку обчислимо за формулою з табл. 9.3 для повторного відбору, оскільки чисельність генеральної сукупності (N) невідома, і для Р = 0,954 рівня достовірності.

Таким чином, середнє значення дорівнює x ± D = x ± 2m = 12,0 ± 4,6, тобто. його справжнє значення лежить у межах від 7,4 до 16,6 днів.

Використання таблиці Стьюдента. Додатки дозволяє зробити висновок, що з n = 10 — 1 = 9 ступенів свободи отримане значення достовірно з рівнем значимості a £ 0,001, тобто. отримане значення середнього вірогідно відрізняється від 0.

Приклад 2. Оцінка ймовірності (генеральної частки) р.

При механічному вибірковому способі обстеження соціального стану 1000 сімей виявлено, що частка малозабезпечених сімей склала w = 0,3 (30%) (вибірка була 2%, тобто. n/N = 0,02). Необхідно з рівнем достовірності р = 0,997 визначити показник р малозабезпечених сімей у всьому регіоні.

Рішення. За представленими значеннями функції Ф(t) знайдемо для заданого рівня достовірності Р = 0,997 значення t = 3 (Див. формулу 3). Граничну помилку частки w визначимо за формулою із табл. 9.3 для безповторного відбору (механічна вибірка завжди є безповторною):

Гранична відносна помилка вибірки в % складе:

Імовірність (генеральна частка) малозабезпечених сімей у регіоні становитиме р=w±Δ_w, а довірчі межі р обчислюються виходячи з подвійної нерівності:

w - Δ_w ≤ p ≤ w - Δ_w, тобто. справжнє значення р лежить у межах:

Таким чином, із ймовірністю 0,997 можна стверджувати, що частка малозабезпечених сімей серед усіх сімей регіону становить від 28,6% до 31,4%.

Приклад 3. Обчислення середнього значення та довірчого інтервалу для дискретної ознаки, заданої інтервальним рядом.

У табл. 5. задано розподіл заявок виготовлення замовлень за термінами їх виконання предприятием.

Таблиця 5. Розподіл спостережень щодо термінів появи

Строк виконання заявок (міс.)

Число спостережень f_i (Абсолютна частота)

Відносна частота р_i (%)

Середина інтервалу (градації) ознаки x_i

Поняття вибіркового спостереження, відбір одиниць у вибіркову сукупність

Вибірковий метод застосовується в тих випадках, коли проведення суцільного спостереження неможливе або економічно недоцільне. великі, що було б фізично неможливо зібрати дані щодо кожного з їх членів (наприклад, щодо пасажиропотоків або цін на ринках, дослідженнях бюджетів сімей). Вибіркове спостереження використовують також для перевірки результатів суцільного спостереження.

Частину одиниць, відібраних для спостереження, прийнято називати вибірковою сукупністю, а всю сукупність одиниць, з яких проводиться відбір, генеральної. Якість результатів вибіркового спостереження залежить від того, наскільки склад вибірки є генеральною сукупністю, інакше кажучи, від того, наскільки вибірка репрезентативна (представницька). Щоб забезпечити репрезентативність вибірки, необхідно дотримуватися принципу випадковості відбору одиниць, який передбачає, що на включення або виключення об'єкта з вибірки не може вплинути будь-який інший фактор, крім випадку.

Існують різні способи формування вибіркової сукупності. Це і індивідуальний відбір, що включає такі різновиди, як власне випадковий, механічний, стратифікований і серійний, або гніздовий відбір.

Власне випадковий відбір (або випадкова вибірка) здійснюється за допомогою жеребкування або за таблицею випадкових чисел. У першому випадку всім елементам генеральної сукупності надається порядковий номер і на кожен елемент заводиться жереб — пронумеровані кулі або картки-фішки, які перемішуються і поміщаються в ящик, з якого потім відбираються навмання. У другому випадку проводиться вибір випадкових чисел (зі спеціальних таблиць), які утворюють порядкові номери для відбору. Числа в таблицях зазвичай друкуються як блоків цифр (щоб зробити таблиці зручнішими для читання проти не розбитої на блоки масою цифр), причому ці об'єднання у блоки немає статистичного значення. Наприклад, це можуть бути числа

5489, 5583, 3156, 0835, 1988, 3912.

Застосування комбінацій цих цифр залежить від розміру сукупності: якщо в сукупності 1000 одиниць, то порядковий номер кожної одиниці повинен складатися з трьох цифр від 000 до 999.

548, 955, 833, 156, 083, 519, 883, 912.

Додаткові номери можуть бути отримані з наступних блоків у такий же спосіб.

Дещо складніше виглядає процедура призначення номерів, що відбираються у вибіркову сукупність при довільному генеральному обсязі. Тепер із випадкових чисел таблиць формується послідовність випадкових величин, рівномірно розподілених в інтервалі від 0 до 1. Можуть використовуватися і так звані псевдовипадкові числа, т.е. е. отримані за певним алгоритмом вручну або за допомогою ПЕОМ. У нашому прикладі такими числами можна вважати

0,5489; 0,5583; 0,3156; 0,0835; 0,1988; 0,3912 і т.п. буд.

Припустимо, що генеральна сукупність складається з 7328 одиниць. Тоді у вибіркову мають увійти одиниці з номерами:

7328 • 0,5489 = 4022,3 " 4022;
7328 • 0,5583 =4091,2 "4091;
7328 • 0,3156 = 2312,7 = 2313;
7328 • 0,0835= 611,9= 612;
7328 • 0,1988 = 1456,8 " 1457;
7328 • 0,3912 = 2866,7 " 2867.

Процес формування випадкових.чисел і визначення номера одиниці, що відбирається, триває доти, поки не буде отримано заданий обсяг вибіркової сукупності.

До цього часу на практиці як спосіб відбору зазвичай застосовують механічне формування вибіркової сукупності, не пов'язане із процедурами отримання випадкових чисел. При цьому способі відбирається кожен (n/N)-vi елемент генеральної сукупності. Наприклад, якщо є сукупність із 100 тис. од. і потрібно вибірка в 1000 од., то в неї потрапить кожен сотий елемент. Якщо одиниці в сукупності не ранжовані щодо ознаки, що вивчається, то перший елемент вибирається навмання, довільно, а якщо ранжовані, — то з середини першої сотні. За досить великої сукупності цей спосіб відбору близький до власне випадкового, за умови, що список не складений таким чином, щоб якісь одиниці сукупності мали більше шансів потрапити у вибірку. На жаль, ця умова часто порушується. Так, використання 25% механічної вибірки при обстеженні міського населення може призвести до того, що для кожного поверху при 4-квартирних майданчиках буде обраний один і той же тип квартир (наприклад тільки трикімнатні).

Відбір одиниць із неоднорідної сукупності здійснюється так званим стратифікованим (розшарованим) способом, що дає модифіковану форму вибірки. У цьому випадку генеральну сукупність попередньо розбивають на однорідні групи за допомогою типологічного угруповання, після чого проводять відбір одиниць з кожної групи вибіркову сукупність випадковим або механічним способом.Цей метод гарантує, що одиниці різних груп (шарів) включаються у вибірку пропорційно їх чисельності у генеральній сукупності.

Особлива форма складання вибірки передбачає серійний, чи гніздовий, відбір, у якому порядку випадкової чи механічної вибірки вибирають не одиниці, а певні райони, серії (гнізда), у яких проводиться суцільне спостереження.

Особливості обстежуваних об'єктів визначають два методи відбору одиниць - у вибіркову сукупність - повторний (відбір за схемою повернутої кулі) і безповторний (відбір за схемою неповернутої кулі). При повторному відборі кожна одиниця або серія, що потрапила у вибірку, повертається в генеральну сукупність і має шанс вдруге потрапити у вибірку. При цьому ймовірність попадання у вибіркову сукупність усіх одиниць генеральної сукупності залишається однаковою. Безповторний відбір означає, що кожна відібрана одиниця (або серія) не повертається в генеральну сукупність і не може зазнати вторинної реєстрації, а тому для решти одиниць можливість потрапити у вибірку збільшується.

Безповторний відбір дає більш точні результати в порівнянні з повторним, так як при тому самому обсязі вибірки спостереження охоплює більше одиниць генеральної сукупності. Тому він знаходить ширше застосування у статистичній практиці. І лише тоді, коли безповторний відбір провести не можна, використовується повторна вибірка (при обстеженні споживчого попиту, пасажирообороту тощо. п.).

Читайте також: