Монако

Сама назва Монако звучить аристократично і викликає думки про розкішні віли, лімузини і старі європейські гроші. Це князівство розташоване на півдні Європи і межує з французьким департаментом Приморських Альп. Море, що омиває його береги, називається Лігурійським. Морські території поступово осушуються, і через це площа князівства зросла приблизно на 40 га на останні 20 років.

Монако визнано найменшим із 193 держав на планеті: його площа складає всього 2 квадратні кілометри. Для порівняння: на другому місці в рейтингу найкомпактніших країн знаходиться острівна тихоокеанська держава Науру, територія якої охоплює 21 квадратний кілометр. Інше наочне порівняння: площа Сокольницького парку в Москві приблизно в 3 рази більша, ніж князівства Монако. За густотою населення Монако визнано світовим лідером: тут проживає 18 679 осіб на один квадратний кілометр. Уродженців князівства заведено називати монегасками.

Монако. Автор фото - Марійка Ріпка.

Геракл та протекторати

Історія незалежного Монако розпочалася 8 січня 1297 року, коли князівство відокремилося від Генуї. Справи правління взяла династія Гримальді, чиї представники керують князівством досі.

Під керівництвом Генуезької республіки ці землі знаходилися недовго: колонія Генуї була закладена на території Монако в 1215, але не проіснувала і ста років. До цього на монакській території встигли пожити фінікійці, які прибули сюди у Х столітті до нашої ери, греки та моною.

Власне, з моною історики і пов'язують назву князівства. Нібито в VI столітті до нашої ери вони заснували тут колонію Монойкос - цей топонім походить від прикметника "самотній".Самотнім у міфології називали Геракла, який нібито брав участь у зведенні місцевого порту та дороги до нього. На дорозі на честь Геракла встановили численні вівтарі, а скелі на його славу спорудили храм.

Однак незалежність Монако зовсім не була безперервною. Іншого й не можна було очікувати, коли з усіх боків князівство оточували амбітні політичні суперники, а регіон постійно трясло то війнами, то революціями. В 1641 Монако перейшло під протекторат Франції, а в 1789 Франція анексувала цей ласий шматочок. Можливо, це пішло князівство тільки на користь: воно ввібрало в себе той незрівнянний французький шик, який став основною його неповторною чарівністю.

В 1815 створена Наполеоном Перша імперія впала, і Монако перейшло під протекторат Сардинського королівства. Протекторат протримався до 1860 року, а 1865 року сталася подія, чия історична значимість переважила всі попередні політичні колотнечі: у Монте-Карло відкрили казино. Водночас Монако уклали з французами митний союз, що стало потужним стимулом у розвиток економіки князівства.

Церква, Монако. Автор фото - Бернард Боніфассі.

Гроші Онассиса і землі, відібрані біля моря

Влада князів Гримальді залишалася необмеженою напрочуд довго: аж до 1911 року, доки не було прийнято першу конституцію. У ХХ столітті добробут Монако суттєво зріс завдяки інвестиціям Аристотеля Онассіса до місцевого порту та сфери розваг. Другою фігурою, яка відіграла ключову роль у розвиток князівства в цю епоху, став князь Реньє III. Його весілля з голлівудською актрисою Грейс Келлі у 1956 році стало однією з найгучніших світських подій сторіччя.

Нині князь (його звати Альбер II) залишається главою Монако, а державний устрій регулюється конституцією, яку востаннє оновлювали у 2002 році. До однопалатного парламенту, який називається Національною радою, входять лише 24 депутати. Уряд, який називається Державною радою, складається з 4 осіб. Його очолює громадянин Франції, якого спочатку подає на посаду французький уряд, а потім затверджує князь Монако.

Корінними монегасками є лише 21% жителів князівства. Крім них, тут мешкає 28% французів, 19% італійців, 7,5% британців. 82% населення сповідують католицизм, проте тут є і грецька православна громада, кількість парафіян у якій складає близько 120 осіб.

З часів розпаду Радянського Союзу Монако стабільно залучає до себе заможних росіян та громадян країн СНД — проте їм, поряд з іншими іммігрантами, доводиться сплачувати податки у повному обсязі. На корінних монегасків оподаткування не поширюється.

Монако, однойменна столиця князівства, та Монте-Карло зі своїм легендарним казино є найбільш популярними та знаменитими районами. Усього районів на просторі Монако одинадцять, при цьому два з них з'явилися нещодавно і спонтанно через відступ моря. Будівництво району Фонв'єї почалося в 1971 році, район Ле-Портьє поки що існує на стадії проекту.

Монте-Карло, Монако. Автор фото - Ангелін Верлаг.

Без ресурсів та податків

Монако. Автор фото – Іан.

Основним джерелом фінансових засобів для князівства передбачувано є гральний бізнес, а також зведення нових елітних резиденцій та туризму. Щодо несподіваної статті доходів виступають ЗМІ, які висвітлюють життя династії Гримальді. 55% доходів у скарбницю надходить від ПДВ.Власних ресурсів у князівства немає, тому воно повністю залежить від товарів, що імпортуються.

За даними на 2019 рік, мінімальний оклад у Монако становив 10 євро на годину або 1659 євро на місяць. Робочий тиждень триває 39 годин, а робочий місяць — 160 годин. Обсяг безробіття вбирається у 3%.

Податок із доходів тут не стягується. Усі інші податки тут теж досить низькі за європейськими та загальносвітовими мірками. Обсяг валютних резервів князівства сягає 2 мільярдів доларів, зовнішнього боргу немає.

Мільярдери з усього світу охоче довіряють банкам у Монако свої статки, проте тут є великий підводний камінь: якщо певні рахунки викликають підозри, банки мають право їх закрити. Якщо сумнівів у легальному статусі мільйонів немає, тоді банки гарантують повну таємницю і високу ставку за вкладами. З боку Євросоюзу регулярно звучать вимоги щодо посилення банківського та податкового законодавства, але до них наразі не прислухаються.

Опера та немовля в невагомості

У Монако їдуть не так заради визначних пам'яток, як заради самої атмосфери достатку, необмеженого бюджету, життя преміум-класу. Будь-який пост у соцмережі, опублікований з геолокацією Монако, викликає стільки ж захоплення, як фото на тлі Ейфелевої вежі чи Колізею.

По-справжньому давніх споруд у князівстві не збереглося. Тут важко знайти храм чи пам'ятник архітектури, зведений раніше XVII століття. Визначні пам'ятки, які датуються XIX століттям, уже вважаються "старими".

Любителям старовини слід відвідати насамперед Княжий палац, що зовні більше схожий на фортецю, та Кафедральний собор Святого Миколая, де поховані члени княжого прізвища.У каплиці Милосердя Божого можна помилуватися дерев'яною статею Христа, а в Старому місті Монако-Вілль — прогулятися мальовничим музеєм просто неба. Туристичний маршрут залишиться неповним без відвідування театру-фортеці Форт-Антуан та Палацу Юстиції. Посаду директора Океанографічного музею в Монако деякий час обіймав сам Жак-Ів-Кусто, тому експозиція там буде, безперечно, цікавою.

Кафедральний собор, Монако. Автор фото - Девід Барон.

Зал Гарньє, головний концертний зал князівства, було зведено за проектом того ж архітектора, що створював Паризьку оперу. Фонд князя П'єра щорічно видає премії музикантам, літераторам, творцям сучасного мистецтва. За принцеси Грейс у Монако відкрили Академію класичного танцю.

Казино Монте-Карло виконано у помпезному стилі бозар та прикрашене численними статуями, годинниками, баштами. Вдаватися до азартних розваг тут не обов'язково — можна просто помилуватися колосальними колонами з мармуру, пишнотою фресок, барельєфів і ліпнини, численними ярусами кришталевих люстр.

На фотографіях із Монако часто фігурують незвичайні скульптури. Туристи із задоволенням знімають корсиканку Девоту (святу покровительку князівства), що ширяє в невагомості біле немовля, реалістичного спрута, лінзу "Небесне дзеркало".

Свята Дівота, Монако. Автор фото – jlfg1961.

Мальовничі скульптури, фонтани та екзотичні рослини чекають на відвідувачів у Саду ЮНЕСКО, а в розарії Принцеси Грейс площею 5000 квадратних метрів цвітуть тисячі розкішних троянд. Планування Японського саду відповідає східним канонам і радує око колоритними озерами, струмками, камінням та валунами.

Заради здобуття вищої освіти монегаскам не обов'язково їхати за кордон — вони можуть здобути її в Міжнародному університеті Монако.

Гонки та феєрверки

Гран-Прі, Монако. Автор фото - niallosul.

Головною щорічною розважальною подією тут вважається травневе Гран-Прі "Формули-1". Гоночні боліди мчать прямо по звивистих вуличках, а спостерігають за цим не стільки любителі спорту, скільки світська публіка та богема. Гран-Прі має свій “молодший брат”, Ралі Монте-Карло, яке проводиться в січні. Це змагання менш високого рівня, але з менш видовищне і насичене емоціями.

Щорічно у січні можна помилуватися Міжнародним фестивалем цирку, на який з'їжджаються трупи з усієї планети. У травні проводиться фестиваль музики до кінофільмів, у рамках якого влаштовують і покази кіно, і музичні концерти. За кілька днів до Каннського кінофестивалю у Монако проводять Міжнародний фестиваль нових талантів.

Національним днем ​​Монако визнано 19 листопада річницю сходження на престол князя Реньє III. У вересні у князівстві організовують масштабне яхтове шоу, у жовтні – ярмарок “Фанфейр” біля порту Еркюль. У другій половині літа в небо злітають вогні Міжнародного фестивалю феєрверків, а наприкінці весни гості кружляють паркетом на Балу троянд, який заснувала особисто Грейс Келлі (на цьому заході традиційно збирають кошти на благодійність). Також навесні до Монако з'їжджаються поціновувачі мистецтва заради арт-фестивалю, а собаківники – заради виставки вихованців рідкісних порід.

Феіваль феєрверків, Монако. Автор фото - Денні Ліндон.

В обіймах люксу

Хоч би як парадоксально це звучало, туристам в Монако краще користуватися громадським транспортом, а не брати автомобіль в оренду.Розцінки в пунктах прокату зовсім не демократичні, штрафи за порушення правил надхмарні, а місця для паркування в перманентному дефіциті. У містах заборонено їздити на швидкості понад 50 км/год, на деяких вулицях дозволено рух на машинах лише з місцевими чи французькими номерами.

Натомість пішохідних зон у князівстві дуже багато. Всі історичні центри місцевих міст віддані пішоходам, і пересуватися ними можна з великим комфортом.

Мобільний зв'язок у Монако забезпечують французькі оператори. З wi fi у громадських місцях проблем не виникає.

Рівень злочинності у князівстві напрочуд низький. Почасти це вдається досягти завдяки тому, що поліцейські регулярно перевіряють у перехожих документи. Курити у громадських місцях заборонено, майже всі вулиці перебувають під відеоспостереженням 24/7.

Переважна більшість місцевих готелів належать до категорій 4* або 5*. Вартість проживання у “п'ятірках” починається від 500 євро з особи на добу, але воно того варте. Якість обслуговування на висоті, інтер'єри карколомні, інфраструктура чудова. За великої потреби заощадити можна знайти міні-готель, куди заселять за 150 євро на добу з одного постояльця. Як варіант, можна забронювати житло у французькому Муан-Сарту або італійському Кунео, звідки до Монако рукою подати, а ціни в рази дешевші.

Більшість пляжів князівства є приватними та належать готелям. Вони бездоганно доглянуті, посипані дрібною галькою або білим піском, на них обладнані кафе, душові, дитячі та спортивні майданчики. Єдиний громадський пляж називається Ларвотто-Біч і знаходиться на північний схід від столиці. Розміщена в морі сітка захищає купальників від сміття та медуз, а вхід у море цілком пологий – проте глибина починається вже за п'ять метрів від берега, тому відпускати дітей одних у воду не можна.

Ларвотто-Біч, Монако.Автор фото - Андреа Еіануді.

Національна кухня в Монако як така відсутня. Тут з рівним успіхом готують страви італійської та французької кухні, їдять багато свіжих овочів, сиру, маслин та оливків. Місцеві жителі часто їдять поза домом, причому на ресторанах заощаджувати не заведено. За аналогією з готельними зірками, закладам громадського харчування тут надають від 1 до 5 діамантів.

Можливості для люксового шопінгу у князівстві практично безмежні. Найзнаменитішими торговими точками визнані “Метрополь” у Монте-Карло та “Фоньвей” у Монако-Віллі. Поторгуватися в більш розслабленій обстановці можна на ринку Кондамін біля порту Еркюль, де на прилавках розкладають свіжі морепродукти та делікатеси. У середині дня багато магазинів закриваються на обідню перерву (зазвичай з 12 до 15 години).

Чайові в Монако заведено залишати щедрі - в середньому 15% від рахунку. Навіть якщо ви користуєтеся послугами звичайного носія, не пошкодуйте залишити йому 1 євро винагороди. Зрештою, ви знаходитесь в одному з небагатьох уцілілих у Європі оплотів справжнього аристократизму. Тут кожен має право хоча б на кілька годин приміряти роль блакитної крові.

Використання чисельного методу Монте-Карло для обчислення багатовимірних інтегралів

Ще в 1940-х роках Джон фон Нейман і Станіслав Улам винайшли моделювання Монте-Карло або чисельний метод Монте-Карло. Вони назвали його на честь відомого місця азартних ігор у Монако, оскільки цей метод має самі випадкові характеристики, що й гра в рулетку.

Методи Монте-Карло являють собою широкий клас обчислювальних алгоритмів, які покладаються на випадкову вибірку, що повторюється, для отримання чисельних результатів. Основна концепція полягає у використанні випадковості для вирішення проблем, які можуть бути детермінованими.Чисельний метод Монте-Карло використовує три класи завдань, такі як оптимізація, чисельне інтегрування та генерація результатів на основі розподілу ймовірностей.

Метод Монте-Карло використовується в реальному житті, наприклад, у завданнях, пов'язаних з фізикою, створенні штучного інтелекту, прогнозуванні погоди і так далі, а також має величезне застосування у фінансах, де числовий метод Монте-Карло використовується для розрахунку вартості акцій, прогнозування продажів , управління проектами та багато іншого. [1]

Основна перевага використання Монте-Карло полягає в тому, що цей метод забезпечує безліч можливих результатів та ймовірність кожного з великого пулу випадкових вибірок даних, однак метод залежить від припущень, і це іноді може бути складним завданням. Деякі інші переваги Монте-Карло: він вивчає поведінку системи без її побудови, забезпечує в цілому точні результати порівняно з аналітичними моделями, допомагає виявити несподіване явище і поведінку системи, а також виконати аналіз "що, якщо". [2]

У цій статті метод Монте-Карло використовуватиметься для апроксимації як одновимірних, і багатовимірних інтегралів.

Опис Методу

Як відомо, щоб обчислити. Інтеграл за графіком, нам потрібно обчислити площу під кривою. Давайте розглянемо графік функції, який виглядає як кола з радіусом, що дорівнює одиниці. Його площа дорівнює. Тепер, цю частину кола, ми помістимо в квадрат зі стороною, що дорівнює одиниці, і, відповідно, площею, що дорівнює одиниці. Використовуючи цю інформацію, ми можемо обчислити площу кола, яка

Тепер давайте оберемо кілька точок на нашому графіку, які знаходяться усередині квадрата. Примітка: вони не повинні бути всередині кола, просто всередині квадрата. Допустимо, ми використали 18 різних точок, де 14 з них знаходяться всередині кола, а інші 4 – лише всередині квадрата.Примітка: оскільки коло займає значну частину квадрата, логічно, що кількість точок у колі буде більшою, ніж кількість точок поза ним. Тепер, щоб обчислити площу коло, нам потрібно розділити кількість точок усередині кола (14) на загальну кількість точок (18).

що приблизно дорівнює. Цей метод апроксимації інтеграла називається Монте-Карло, та його формула: [3], [4]

Давайте згадаємо, що точки, які ми беремо - випадкові, тому, якщо ми використовуємо ту ж криву для обчислення її площі, ми можемо отримати трохи інший результат. І, як ми можемо підбити підсумок, більша кількість точок дасть нам більш точний результат.

Але що якщо нам потрібно апроксимувати багатовимірний інтеграл? Що, якщо форма нашої функції не така проста? Допустимо, нам потрібно обчислити обсяг сфери. Ми можемо зробити це, обчисливши потрійний інтеграл:

Ми збираємося інтегрувати за допомогою методу Монте-Карло.

Першим кроком буде вибір N – кількості випадкових точок для генерації та r – радіусу сфери. Наступним кроком буде генерація точок, значень щодо меж інтеграла, тому

Для кожної випадкової точки ми оцінимо підінтегральний вираз і після цього обчислимо середнє значення підінтегрального виразу, підсумовуючи всі значення, які ми отримали на попередньому кроці, поділені на N.

Тепер ми готові до нашого останнього кроку, де обчислюємо обсяг сфери. Помножимо остаточний результат попередньої частини на тривимірний обсяг, який можна обчислити як Обсяг наближення =

є остаточним наближенням потрійного інтеграла обсягу сфери з використанням чисельного методу Монте-Карло. [5]

Теорія та Похибка Методу

Інтеграція Монте-Карло для одновимірного інтеграла:

Де x_i - Випадково рівномірно розподілені точки всередині, а N - кількість цих точок.

З цього рівняння ми бачимо,

це просто середнє значення функції, а це означає, що ми можемо бути впевнені тільки в оцінці в межах стандартного відхилення середньої оцінки.

відхилення функції, як . Отже, це означає,

що похибка залежить від і зменшується в міру того, як

прагне до 0, тому, збільшуючи N, ми зменшуємо

похибка. Підсумовуючи, можна сказати, що похибка апроксимації з невеликою кількістю точок може бути великою і апроксимація дасть недостатньо точні результати, що робить метод Монте-Карло менш ефективним, ніж інші, наприклад, ніж правило Сімпсона.

Давайте розглянемо одновимірний простий інтеграл:

Обчислюючи його вручну, отримуємо

Тепер обчислимо його за допомогою чисельного інтегрування Сімпсона. Ступінь точності за правилом Сімпсона дорівнює 3, що означає, що наближення даного інтеграла матиме похибку.

Формула правила Сімпсона

Для нашого інтеграла з використанням Сімпсона маємо:

Число операцій для правила Сімпсона тут дорівнює 9.

Тепер давайте апроксимуємо той самий інтеграл за допомогою Монте-Карло. Ми виберемо 3 випадкові рівномірно розподілені точки на інтервалі [0, 1]. Скажімо, .

Кількість операцій тут також дорівнює 9. Як ми знаємо, Монте-Карло стає точнішим із зростанням, проте ми бачимо, що кількість операцій також збільшиться. Наприклад, для нас буде 12 операцій замість 9.

Абсолютна похибка під час використання правила Сімпсона становить , а під час використання Монте-Карло — . Кількість операцій, що використовуються однаково, тому очевидно, що правило Сімпсона дає краще наближення.

Отже, для одиночного інтеграла Монте-Карло — не найкращий метод, але як щодо багатовимірних інтегралів?

Інтеграція Монте-Карло для простору D:

Де - це D-мірний об'єм, x_i - Випадково і рівномірно розподілені точки в обсязі.

Тут можна назвати, що .

- Це оцінка стандартного відхилення функції,

оскільки . Таким чином, це означає, що похибка як і раніше

залежить від того, як у наближенні одиночного інтеграла.

Кількість операцій, а також похибка залишаються такими самими, як і при наближенні одиночного інтеграла.Для низки операцій нам все ще потрібно згенерувати крапок,

виконати оцінок функцій, виконати підсумовування, виконати обчислення

, розподіл та й множення та .

Що робить метод Монте-Карло набагато кращим за інших для багатовимірних інтегралів, так це те, що в інших методах час оцінки збільшується зі швидкістю, це відбувається через розбиття областей інтегрування. Наприклад, інтеграл:

для правила Сімпсона буде поділено як

І якщо ми продовжимо розбивати область інтегрування на точок у кожному з вимірів, то кількість оцінок, а значить і час розрахунку, зросте на . Для Монте-Карло кількість обчислень залишиться незмінною, і, отже, час розрахунку залишиться таким самим, як для одиночного інтеграла.

Підсумовуючи, для багатовимірних інтегралів Монте-Карло є корисним методом, який домінує з інших методів. [4]

Оригінальний код

import numpy as np N=1000 #Кількість точок для випадкової вибірки approximations = np.zeros(N) def f(x, y, z): #визначити функцію для інтегрування (тут функція в інтегралі для розрахунку обсягу сфери) return 1 def r (a_x, b_x, a_y, b_y, a_z, b_z): #Визначити функцію для генерації випадкових точок r=np.random.uniform(a_x, b_x) #Сгенерувати випадкові значення радіусу theta=np.random.uniform(a_y, b_y) #Сгенерувати випадкові значення кута це phi =np.random.uniform(a_z, b_z) #Сгенерувати випадкові значення кута return r, theta, phi def spherical_coordinates(r, theta, phi): #Визначити функцію для конвертації в сферичні координати x=r*np.sin(theta)*np.cos(phi) y=r *np.sin(theta)*np.sin(phi) z=r*np.cos(theta) return x, y, z for i in range (N): r, theta, phi = random_points(0, 5, 0, np.pi, 0, 2*np.pi) x, y, z = spherical_coordinates(r, theta, phi ) dV=r**2*np.sin(theta) #Залишився компонент від dV=r**2*sin(theta) dr dtheta dphi" approximations[i]=f(x, y, z)*dV #Обчислити підінтегральну функцію Monte_Carlo_Approximation=(np.sum(approximations)/N)*(5-0)*(np.pi-0)*(2 *np.pi-0) print ("Обсяг сфери підрахований за допомогою методу Монте-Карло full-width ">
Застосування
Ми обчислюватимемо потрійний інтеграл:
де E - половина сфери,    
Спочатку ми визначимо нашу функцію    
З опису завдання ми бачимо, що радіус сфери дорівнює 2, тому що в сферичних координатах , отже, тому, ми збираємося змінити наш оригінальний код і згенерувати випадкові значення для r від 0 до 2. Потім, оскільки ми працюємо тільки з половиною сфери, яка знаходиться там, де , наше значення буде  значення як і раніше  

Потім ми перетворимо наші координати x, y, z на сферичні координати, де



Ми оцінимо підінтегральні функції, потім обчислимо наближення інтеграла з допомогою чисельного методу Монте-Карло.
Наближення =
Ми також обчислимо інтеграл вручну та отримаємо точний результат, який дорівнює
У коді ми виведемо значення наближення, а також абсолютну похибку
import numpy as np N = 1000 approximations = np.zeros(N) .random.uniform(0, 2) theta=np.random.uniform(0, np.pi) phi=np.random.uniform(0, np.pi) x=r*np.sin(theta)*np.cos(phi) y=r*np.sin(theta)*np.sin(phi) z= r*np.cos(theta) dV=r**2*np.sin(theta) approximations[i]=f(x, y, z)*dV Monte_Carlo_Approximation.append(np.sum(approximations)/(i+1)*(2-0)*(np.pi-0)*(np.pi-0)) absolute_error=abs(Monte_Carlo_Approximation[N-1]- (128*np.pi)/15) print("Інтеграл, обчислений за допомогою методу Монте-Карло =", Monte_Carlo_Approximation[N-1]) print("Абсолютна похибка full-width ">
Перевірка
У першому тесті ми перевіримо, що похибка в інтегруванні Монте-Карло для
одиночних інтегралів залежить від  що означає, що, збільшуючи , ми будемо
наближатися дедалі ближче до фактичного результату, тому абсолютна похибка зменшуватиметься.
Дріб   означає  тому ми побудуємо лінію   салатового кольору.
Інтеграл для прикладу візьмемо.
Тепер давайте обчислимо наближення інтеграла за допомогою Монте-Карло та обчислимо абсолютну похибку. Ми зробимо 9 різних наближень, перше буде з 50 точками, друге зі 100 тощо до 50000. Ми також запустимо апроксимацію з кожною кількістю точок по 30 разів і обчислимо середню абсолютну похибку. Оскільки інтегрування Монте-Карло залежить від випадково згенерованих точок, іноді поведінка абсолютної похибки може залежати від «кращих» або «гірших» точок, що згенерували, тому ми хочемо переконатися, що ми запускаємо код для апроксимації для кожної кількості точок кілька разів, а потім будуємо графік середнього значення.
Середня абсолютна похибка для точок 50, 100, 500, 1000, 2000, 2500, 5000, 10000, 50000 буде відображена рожевим кольором.
Як бачимо, салатова і рожева лінії здаються паралельними (знову ж, вони ідеально паралельні, оскільки Монте-Карло залежить від випадково згенерованих точок).
Отже, аналізуючи графік, можна дійти невтішного висновку, що чисельний метод інтегрування
Монте-Карло для одиночних інтегралів має швидкість збіжності  .
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt nb_N=9 N_val = np.array([50, 100, 500, 1000, 2000, 2500, 5000, 10000, 50000os]=n) nb_sample = 30 error=np.zeros((nb_N, nb_sample)) average_error = np.zeros(nb_N) def f(x): return x**5 Monte_Carlo_Approximation= np.zeros(nb_N) for j in range (nb_sample): x=np.random.uniform(0, 1, N_val[i]) approximations=f(x) Monte_Carlo_Approximation[i]=((np.sum(approximations)/(N_val[i]))*(1-0) ) absolute_error=np.abs(Monte_Carlo_Approximation[i]-(1/6)) error[i, j]=absolute_error average_error[i]=np.mean(error[i]) plt.loglog(N_val, average_error, color='deeppink', marker='o', label='Абсолютна Похибка') plt.loglog(N_val , N_val**(-1/2), color='lime', label='N^(-1/2)') plt.xlabel("Кількість крапок") plt.ylabel("Абсолютна Похибка") plt.title('Графік Східності') plt.legend() plt.show()
Тепер, щоб переконатися, що похибка має однакову швидкість збіжності як багатовимірних, так одиночних інтегралів у наближенні Монте-Карло, ми побудуємо графік збіжності для багатовимірного інтеграла.
Розглянутий інтеграл - де - це вся сфера з радіусом
Ми виконаємо наближення Монте-Карло для 9 різних кількостей точок, 50, 100, 500, 1000, 2000, 2500, 5000, 10000, 50000. І для кожного набору точок ми запустимо наближення 30 разів, обчислимо абсолютну похибку кожного з цих наборів.
Оскільки ми намагаємося довести, що швидкість збіжності, ми намалюємо
лінію блакитним кольором, а середню абсолютну похибку помаранчевим.
Як бачимо, блакитна і помаранчева лінії здаються паралельними (знову ж, вони ідеально паралельні, оскільки Монте-Карло залежить від випадково згенерованих точок). Таким чином, аналізуючи графік, ми можемо підбити підсумок, що чисельний метод інтегрування Монте-Карло як для одномірних, так і для багатовимірних.
інтегралів має швидкість збіжності
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt nb_N=9 N_val = np.array([50, 100, 500, 1000, 2000, 2500, 5000, 10000, 50000]) n error=np.zeros((nb_N, nb_sample)) approximations=np.zeros(nb_N) average_error = np.zeros(nb_N) Monte_Carlo_Approximation= np.zeros(nb_N) f(x, y, z): return x** 3*y**2*z def random_points_N(a_x, b_x, a_y, b_y, a_z, b_z, N): r=np.random.uniform(a_x, b_x, N) theta=np.random.uniform(a_y, b_y, N) phi=np.random .uniform(a_z, b_z, N) return r, theta, phi def random_points(a_x, b_x, a_y, b_y, a_z, b_z): r=np.random.uniform(a_x, b_x) theta=np.random.uniform(a_y, b_y) phi=np.random.uniform(a_ , b_z) return r, theta, phi def spherical_coordinates(r, theta, phi): x=r*np.sin(theta)*np.cos(phi) y=r*np.sin(theta)*np.sin(phi) z=r*np.cos (theta) return x, y, z for i in range (nb_N): for j in range (nb_sample): r, theta, phi = random_points_N(0, 5, 0, np.pi, 0, 2*np.pi, N_val[i]) x, y, z = spherical_coordinates(r, theta, phi) dV=r**2*np.sin( theta) approximations=f(x, y, z)*dV Monte_Carlo_Approximation[i]=((np.sum(approximations)/(N_val[i]))*(5-0)*(np.pi-0)*(2*np.pi-0)) absolute_error=np. abs(Monte_Carlo_Approximation[i]-((500*np.pi)/3)) error[i, j]=absolute_error average_error[i]=np.mean(error[i]) plt.loglog(N_val, average_error, color='orangered', marker='o', label='Абсолютна Похибка') plt.loglog(N_val , 10e3*N_val**(-1/2), color='cyan', label='N^(-1/2)') plt.xlabel("Кількість крапок") plt.ylabel("Абсолютна Похибка") plt.title('Графік Східності') plt.legend() plt.show()
Висновок
Метод Монте-Карло є дієвим методом обчислення багатовимірних інтегралів.Він легкий у застосуванні, а також його похибка може бути зменшена за рахунок збільшення кількості вибірки.
Як і будь-який метод, у Монте-Карло є свої мінуси. Наприклад, при роботі з невеликою кількістю інформації, дисперсія надто висока, і в таких випадках краще звернутися до інших методів.
Список літератури

https://en.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo_method
What is Monte Carlo Simulation? by Amazon Web Service
Вимірювання сфери кола та кулі кулі за допомогою Monte Carlo Simulation by Iraqi Journal of Statistical Science (14) 2008 (p.p. [48-62])
William&Mary College Physics Textbook Chapter 1: Numerical Integration Methods
Montecarlo Methods to Efficently Compute Volume of Solids by Kamil Czapla, Mariusz Pleszczyński