Похідна та диференціал функції

Похідна функції це одне з основних понять математики. Похідні вимірюють миттєву швидкість зміни у точці. Миттєва швидкість зміни функції у точці дорівнює нахилу дотичної лінії у цій точці. Швидкість зміни можна оцінити, обчисливши відношення зміни функції Δy зміну незалежної змінної Δx. У визначенні похідної це ставлення у межі при Δx → 0.

Наприклад, нахил прямий, що визначає швидкість її зміни, постійний на всьому її протязі. Похідна дозволяє дізнатися, який нахил параболи в конкретній точці, оскільки нахил параболи коливається.

Похідну від f(x) найчастіше позначають \(f'(x) або df/dx\) і вона визначається наступним чином:

Обережно! Якщо викладач виявить плагіат у роботі, не уникнути великих проблем (аж до відрахування). Якщо немає можливості написати самому, замовте тут.

Межа - це межа для h, що переходить у 0.

Знаходження похідної функції називається диференціюванням. Обчислюється нахил прямої, що проходить через f у точках x та x+h. Оскільки ми беремо межу для h рівним 0, ці точки лежатимуть нескінченно близько одна до одної; отже, це нахил функції у точці x. Ця межа не обов'язково існує. Якщо вона існує, то функція диференційована; якщо ні, то функція не диференційована.

Що таке диференціал

Диференціювання функції – це спосіб показати швидкість зміни функції у цій точці. Для речових функцій це нахил дотичної лінії у точці графіка.

Похідна y x визначається як зміна y порівняно зі зміною x, коли відстань між x0 і x1 стає нескінченно малим (нескінченно малим).Похідна часто записується як (dy/dx.)

Говорячи математичною мовою, якщо f - речова функція, a - точка в її області визначення, то похідна f в точці a визначається таким чином:

Відмінності

Диференціал та похідна тісно пов'язані один з одним. Диференціальні рівняння описують зв'язок між змінними та їх похідними. Знаходження похідної це процес диференціювання.

1. Основна відмінність між диференціалом та похідною полягає в тому, що похідна відноситься до швидкості зміни функції, а диференціал - до фактичної зміни функції.
2. Інший спосіб визначити похідні - розглянути співвідношення диференціалів функції та змінної.
3. Ще одна відмінність між диференціалом та похідною полягає в тому, що диференціал - це зміна змінної (dx). На відміну від цього, похідна це зміна функції (dy/dx) (dy/dx) (dx).
4. Похідна - це відношення диференціалів, оскільки функція є зв'язком між двома змінними. Диференціали показують фактичне зміна значення через лінійне відображення, тоді як похідні представляють те саме зміна через карту нахилу.

Як знайти похідну та диференціал функції

Обчислення похідної

Перший спосіб обчислити похідну функції - це просто обчислити її межу. Якщо вона існує, значить, у вас є похідна, інакше ви знаєте, що функція не диференційована.

Як функцію візьмемо f(x) = x2.

\((f(x+h)-f(x))/h = ((x+h)2 - x2)/h = (x2 + 2xh +h2 - x2)/h = 2x + h\)

Тепер нам потрібно взяти межу для h, щоб побачити 0:

Обчислення похідної функції може стати набагато простіше, якщо використовувати деякі властивості:

Правило суми: (af(x)+bg(x))' = af'(x) + bg'(x)

Правило квотування: (f(x)/g(x))' = (f'(x)g - f(x)g'(x))/g(x)2

Правило добутку: (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Правило ланцюжка: f(g(x))' = f'(g(x))g'(x)

Похідна зустрічається у багатьох математичних завданнях. Прикладом може бути знаходження дотичної лінії функції у певній точці. Щоб отримати нахил цієї лінії, знадобиться похідна для знаходження нахилу функції у цій точці.

Інше застосування - пошук екстремальних значень функції, тобто (локального) мінімуму чи максимуму функції. Оскільки у мінімумі функція перебуває у точці мінімуму, нахил переходить від негативного значення до позитивного. Тому похідна дорівнює нулю в мінімумі і навпаки: вона дорівнює нулю в максимумі.

Багато фізичних явищ описуються диференціальними рівняннями. У цих рівняннях є похідні, котрий іноді похідні вищого порядку (похідні похідних). Рішення цих рівнянь дозволяє багато дізнатися, наприклад, про динаміку рідин і газів.

Знання наступних правил полегшить розрахунок похідних.

Багаточлени

Багаточлен – це функція виду a₁ x n + a₂x n-1 + a₃ x n-2+. + a_nx + a_n+1.

Таким чином, багаточлен – це сума кількох членів виду axc. Тому за правилом суми, якщо ми маємо похідну кожного члена, ми можемо просто скласти їх, щоб отримати похідну многочлена. Цей випадок відомий і ми його отримали: d/dx x c = cx c-1

Тоді похідна багаточлена буде:₁ x n-1 + (n-1)a₂x n-2 + (n-2)a₃ x n-3+. + a_n

Експоненти та логарифми

Експоненційна функція ex має ту властивість, що її похідна дорівнює самій функції. Тому: d/dx e x = e x

Знайти похідну інших ступенів можна за допомогою ланцюгового правила.Наприклад, \(e2x^2\) — це функція виду f(g(x)), де f(x) = e x і g(x) = 2x 2 . \).

Якщо основою експоненційної функції не e, а інше число a, то похідна буде інший.

d/dx a x = x ln(a), де ln(a) — натуральний логарифм від a.

Похідна логарифма 1/x у разі натурального логарифму та 1/(x ln(a)) у разі логарифму з основою a.

Негативні та дробові числа

d/dx xc = cxc-1 виконується і в тому випадку, якщо c - від'ємне число, тому, наприклад:

Більше того, вона справедлива і при дрібному c. Це дозволяє нам обчислювати похідну, наприклад, квадратного кореня:

\(d/dx sqrt(x) = d/dx x1/2 = 1/2 x-1/2 = 1/2sqrt(x)\)

Гоніометричні функції

Синус, косинус та тангенс також мають похідну.

d/dx arcsin(x) = 1/sqrt(1-x2)

d/dx arccos(x) = -1/sqrt(1-x2)

Обчислення диференціалу

Припустимо, що існує функція f(x) = х2. отримаємо f'(x) = 6. Таким чином, нахил дотичної лінії при x = 3 дорівнює 6.

Різні формули диференціального обчислення використовуються для знаходження похідних різних типів функцій.

\(f'(x) = limh→0 f(x+h)-f(x) / h\)
Нижче наведено важливі формули диференціального обчислення для різних функцій:

d/dx ex = ex
d/dx ax = ax ln .a де a > 0, a ≠ 1
d/dx ln x = 1/x, x > 0
d/dx √x = 1/(2 √x)

d/dx sinhx = coshx
d/dx coshx = sin hx

d/dx tan hx = sec h2x
d/dx cot hx = -cosec h2x

d/dx sec hx = -sech hx tan hx
d/dx cosec hx = -cosec hx cot hx

d/dx sin x = cos x
d/dx cos x = -sin x
d/dx tan x = sec2 x , x ≠ (2n + 1) π / 2 , n ∈ I
d/dx cot x = - cosec2 x, x ≠ nπ, n ∈ I
d/dx sec x = sec x tan x, x ≠ (2n + 1) π / 2 , n ∈ I
d/dx cosec x = - cosec x cot x, x ≠ nπ, n ∈ I

Приклади розв'язання задач

Приклади диференціального обчислення:

Відомо, d(x n ) / dx = n x n-1
Отже f'(x) = dx 3 /dx

Знайдіть диференціал функції y = sin x - x cos x

Визначте похідну заданої функції: y' = (sin x - x cos x)' = cos x - (x' cos x + x (cos x)') = cos x - (cos x + x (-sinx)) = cos x - cos x + x sin x = x sin x.

Диференціал має такий вигляд: dy = y'dx – x sin x dx.

Диференціюючи обидві сторони, отримуємо:

f'(x) = 6x - 2, де f'(x) - похідна від f(x).

Обчисліть dy та Δy, якщо y = cos(x2+1)-x, також x змінює значення від x = 2 на x = 2.03.

Рішення: Спочатку обчислимо реальну зміну y, Δy.

Δy = cos((2.03) 2 +1)-2.03-(cos(2 2 +1)-2) = 0.083581127
Тепер матимемо формулу для dy.

dy=(-2xsin(x2+1)-1)dx
Далі, віднімемо x = 2 від x = 2.03, отримаємо Δx = 0.03.
Тому ми припускаємо, що dx?Δx=0.03.

dy = (-2(2)sin(2 2 +1)-1)(0.03) = 0.085070913
Ми бачимо, що насправді маємо Δy≈dy за умови, що ми зберігаємо значення Δx невеликим.

Приклади обчислення похідної:

Знайдіть похідну від x6+x3+2.

Отже, похідна x6+x3+2 = 6x5+3x2

Якщо f(x) = logx (logx), то f′(x) за x = e — це _____.

f '(x) = 1 / x - 1 / x log (logx) / (logx)2

Чому дорівнює диференціальний коефіцієнт ax + log x? sinx?

Нехай y = ax + log x. sinx

Диференціюючи по x, отримуємо

dy / dx = ax loge(a) + (1 / x) sin x + log x . cos x

Використовуючи визначення межі, знайдіть похідну функції f(x) = 3x + 2.

Запишіть збільшення функції: Δy = y(x+Δx)-y(x) = [3(x+Δx)+2] - [3x+2] = 3x+3Δx+2-3x-2 = 3Δx.

Коефіцієнт різниці дорівнює:

Тоді похідна має вигляд:

f'(x) = lim _Δx→0 Δy/Δx = lim _Δx→0 3 = 3.

Використовуючи визначення похідної, доведіть, що похідна константи дорівнює 0.

В даному випадку функція y(x) завжди дорівнює константі C. Тому ми можемо записати: y(x) = C, y(x+Δx) = C.

Приріст функції тотожно дорівнює нулю: Δy = y(x+Δx) - y(x) = C - C ≡ 0.

Підставляючи це у граничне визначення похідної, отримуємо:

y'(x) = lim _Δx→0 Δy/Δx = lim _Δx→0 y(x+Δx)-y(x) / Δx = lim _Δx→0 0/Δx = lim _Δx→0 =0.

Наскільки корисною була для вас стаття?

Як знайти диференціал функції

Докладно розібрано приклади обчислень диференціала функції першого, другого та третього порядків. Показано, як обчислювати диференціали вищих порядків за допомогою підстановки. Розібрано приклад знаходження наближеного значення функції з оцінкою похибки обчислення. Наводяться основні формули, що використовуються під час вирішення прикладів.

Приклад 1. Обчислення збільшення та диференціала функції

Знайти збільшення і його диференціал функції у точці x .
.

Знайдемо збільшення заданої функції у точці x .


;
.

Лінійна частина цього збільшення є диференціалом функції.
.
Зауважимо, що цей результат можна отримати, якщо знайти похідну та застосувати формулу .

Збільшення функції:
.
Диференціал:
.

Приклад 2. Знайти диференціал функції

Знайти диференціал функції у точці x.
.

Можна спочатку знайти похідну, і застосувати формулу. Але ми зробимо обчислення, застосовуючи властивості диференціалів.

Тут зручно обчислювати з кінця.
Застосуємо формулу.
;
.
Виносимо постійну знак диференціала.
.
Диференціал постійної дорівнює нулю.
.
Вводимо змінну і застосовуємо формулу диференціала суми і різниці.
.
Використовуємо інваріантність першого диференціала і обчислюємо більш простий диференціал від змінної t . Потім переходимо до змінної x

;
.
Обчислюємо диференціал твору.

;
.

Аналогічним чином знаходимо диференціал другого доданку, вводячи змінну
.
;

;
.

Застосовуючи формулу диференціала суми, знаходимо перший диференціал.

.

Приклад 3. Знайти перший, другий та третій диференціали

Знайти диференціали першого, другого та третього порядку функції
.

Рішення стандартним способом

Спочатку можна знайти похідні першого, другого і третього порядків: і , а потім застосувати формули . Але ми виконаємо обчислення, застосовуючи властивості диференціалів.

Представимо вихідну функцію як складну:
де .
Знайдемо диференціал, застосовуючи формулу.
;
(3.1.1) .

Перший диференціал має інваріантну форму під час заміни змінних. Тому знайдемо диференціал від простішої функції , і підставимо і (3.1.1) для :
.
Принагідно зауважимо, що звідси
(3.1.2) .
Згодом ми будемо застосовувати цю формулу. Отже ми знайшли перший диференціал.
(3.1.3) .

Знайдемо другий диференціал. Відповідно до загальним правилам, при цьому вважаємо, що у (3.1.3) є постійної, а – функція, залежить лише від однієї змінної x . При цьому диференціал незалежної змінної, що виникає, прирівнюємо до диференціала незалежної змінної першого диференціала (3.1.3).

Знаходимо диференціал від (3.1.3), вважаючи функцією від x , а – постійною.
Застосовуємо формулу.
(3.1.4) .
Обчислюємо диференціал твору, і використовуємо (3.1.2) та (3.1.4).
;
.
Виносимо постійні 3 та за знак диференціала.

.
Тим самим ми виявили диференціал другого порядку:
(3.1.5) .

У такий же спосіб знаходимо третій диференціал. Тобто, вважаємо що і, отже, - постійні, а (3.1.5) - функція, яка залежить тільки від x .
;
;

;
;

;
.

;
;
.
Зауважимо, що для ступенів диференціалів незалежної змінної прийнято опускати дужки. Тому дві останні формули можна записати так.
;
.

Рішення підстановкою

Тепер продемонструємо, що таке неінваріантність форми диференціалів другого та вищих порядків. Для цього ми зробимо заміну змінної
, і обчислимо диференціали, використовуючи лише змінну t. А потім перейдемо до змінної x і отримаємо остаточний результат.

Переходимо до змінної t за формулами:
де .
Перший диференціал має інваріантну форму:
.
Щоб його знайти, потрібно просто замість змінної x використовувати змінну t і застосувати визначення першого диференціала.
;
(3.2.1) .

Знайдемо другий диференціал. Визначення диференціалів другого та вищих порядків відрізняється від визначення диференціалу першого ладу. Якщо ми обчислюємо диференціал функції, яка залежить від змінної x , ми повинні знайти диференціал від першого диференціала, у якому є постоянной. Коли ми переходимо до змінної t, ми маємо вважати постійною саме, а не. Оскільки
,
то вже не буде постійною. У цьому таки виявляється неінваріантність форми диференціалів вищих порядків.

Отже, знаходимо другий диференціал, використовуючи змінну t. І тому обчислюємо диференціал від (3.2.1) вважаючи, що є функція від t .

;
(3.2.2) .

У такий же спосіб знаходимо диференціал третього порядку. І тому обчислюємо диференціал від (3.2.2) вважаючи, як і є функціями від t .


.
Обчислюємо похідну за змінною.
.
Остаточно маємо.
;
(3.2.3) .

Формули (3.2.1), (3.2.2) і (3.2.3) дають вирази диференціалів першого, другого і третього порядку змінної x , виражених через змінну t . Переходимо до зміною x , вважаючи, що є постійною.
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Підставляємо в (3.2.1), (3.2.2) та (3.2.3).
;
;

.

Приклад 4. Обчислити наближене значення диференціала

За допомогою диференціала обчислити наближене значення кубічного кореня.

Розглянемо функцію. Потрібно знайти її значення в точці.
Скористаємося тим, що ми можемо легко знайти значення при:
.
Введемо збільшення аргументу та функції:
;
.
Тоді;
;
(4.1) .
Таким чином, щоб визначити значень функції в точці , знаючи її значення в , потрібно знайти приріст при прирощенні аргументу .

Згідно з визначенням диференціалу,
(4.2) при .
Тобто при досить малому значенні збільшення аргументу, збільшення функції буде близьким до диференціала:
(4.3) .
Таким чином, для вирішення прикладу нам потрібно знайти диференціал функції в точці . Після цього, використовуючи (4.3), ми знайдемо наближене значення збільшення функції, і за формулою (4.1) – потрібне значення кореня.

Знаходимо похідну, та був диференціал функції у точці .
(4.4) ;
;
.
Наближене значення збільшення функції:
.
За формулою (4.1) знаходимо потрібне наближене значення кореня.
.

Застосовувати в прикладних задачах подібний метод наближених обчислень, як ми зробили в цьому прикладі, не можна, оскільки ми не знайшли похибку, з якої отримали значення кореня. За допомогою однієї лише формули (4.2) знайти похибку неможливо. Для її оцінки потрібне додаткове дослідження. Його можна виконати, застосовуючи теорію низки Тейлора.

Розкладемо функцію в ряд Тейлора, залишаючи тільки лінійне доданок по , і записавши залишковий член у формі Лагранжа:
(4.5) .
Точного значення невідомо. Але відомо, що воно укладено в інтервалі
(4.6) .
Це дозволяє зробити оцінку точності обчислення.

Похибка обчислення визначається останнім доданком (4.5):
.
Оцінимо цю величину. Використовуючи (4.4), знаходимо .
;
. Тоді
.
зростає зі зростанням. Ви можете знайти нижню межу її значення в інтервалі (4.6).
.
Звідси отримуємо оцінку похибки обчислень:
(4.7) .
За абсолютною величиною найбільша похибка становить
.
З (4.7) знаходимо, що значення числа укладено в межах
;
;
(4.8) .
Тому коректний результат розв'язання цього прикладу має вигляд (4.8). На практиці часто пишуть результат у зручнішій формі:
.
Точне значення кореня, округлене до 10-го знака після коми:
.
Як і слід очікувати, воно знаходиться у встановленому інтервалі (4.8).

Визначення та формули, що застосовуються при обчисленні диференціалів

Далі для довідок викладено основні формули, що використовуються у завданнях на знаходження диференціалу. Детальний виклад теоретичного матеріалу наводиться на сторінці Диференціал функції у точці.

Перший диференціал функції та його властивості

Диференціал функції у точці Нехай функція диференційована у певній точці.
Тоді її збільшення у цій точці можна як суми лінійної функції від збільшення її аргументу і нескінченно малої функції проти :
.
Диференціалом функції у точці називається головна лінійна частина збільшення функції, відповідна збільшення незалежної змінної :
.
Тобто це збільшення функції, в якому опущені доданки, що містять нескінченно малі величини в порівнянні з збільшенням аргументу.
Диференціал позначається як або , і є функцією двох змінних: і . Він також називається диференціалом першого порядку або першим диференціалом.
Диференціал незалежної змінної – це збільшення аргументу функції:
.
Він є незалежною змінною.

Диференціал функції має такі позначення:
;
;
;
.

Нехай функції та диференційовані в точці; C – постійна.
Тоді в цій точці
(1.3) (Диференціал суми функцій);
(1.4) (Диференціал твору);
(1.5) , При (диференціал приватного).
Постійний множник можна виносити з-під знаку диференціала:
(1.6) .

Нехай функцію можна як складну: .
При цьому функція має похідну у точці, а функція має похідну у точці.
Тоді диференціал першого порядку функції, виражений через змінну має ту ж форму, що і диференціал, виражений через змінну:
.
Цю ж формулу можна записати так:
.

Диференціали другого та вищих порядків

Диференціал n-го порядку функції у точці Нехай функція n разів диференційована у точці x .
Диференціалом n-го порядку функції у точці називається диференціал від диференціала - го порядку у цій точці за наступних обмеженнях.
1. Вважається, що диференціал - го порядку є функцією, яка залежить тільки від однієї змінної – аргументу функції . Тобто диференціал незалежної змінної сприймається як стала.
2. Приріст аргументу прирівнюється до збільшення аргументу диференціала-го порядку.
Диференціал n-го порядку також називають n-м диференціалом функції у точці. Він позначається одним із способів:
,
і визначається за формулою:
(2.4) .

Значення виразу залежить від контексту, у якому воно застосовується.
Якщо воно застосовується для обчислення n-го диференціала, то
.
Якщо це перший диференціал функції, то
.

Далі перелічені основні характеристики диференціалів вищих порядків. Тут - функції, що залежать від змінної; - Постійна.
Диференціал суми та різниці.
.
Винесення постійної за знак диференціалу.
.
Диференціал добутку двох функцій.

.
Як наслідок, диференціал добутку m функцій.
.
Підсумовування ведеться за всіма можливими цілими значеннями, сума яких дорівнює n, і кожне з яких укладено в межах.

Формулу Тейлора

можна висловити через диференціали вищих порядків
.
Тут - збільшення функції в точці.
Нагадаємо, що згідно з визначенням, диференціал незалежної змінної є її збільшенням
.

Нехай функцію можна як складну: .
При цьому функції і диференціюються n разів у точках і відповідно.
Тоді форма диференціала n - го порядку функції, вираженої через змінну не збігається з формою диференціала цього ж порядку, вираженого через змінну:
.

Використана література:
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.І. Чехлов, М.І. Шабунін. Збірник завдань із математичного аналізу. Том 1. Москва, Фізматліт, 2003.

Автор: Олег Одинцов. Опубліковано: 12-02-2023

Диференціали – це що таке? Як знайти диференціал функції?

Поряд із похідними функцій їх диференціали – це одні з базових понять диференціального обчислення, основного розділу математичного аналізу. Будучи нерозривно пов'язаними між собою, вони вже кілька століть активно використовуються при вирішенні практично всіх завдань, які виникали в процесі науково-технічної діяльності людини.

Виникнення поняття про диференціал

Вперше роз'яснив, що таке диференціал, один із творців (поряд з Ісааком Ньютоном) диференціального числення знаменитий німецький математик Готфрід Вільгельм Лейбніц. До цього математиками 17 ст. використовувалося дуже нечітке і розпливчасте уявлення про деяку нескінченно малу «неподільну» частину будь-якої відомої функції, що представляла дуже малу постійну величину, але не рівну нулю, менше якої значення функції бути просто не можуть. Звідси був лише один крок до введення уявлення про нескінченно малі прирощення аргументів функцій і відповідні їм прирощення самих функцій, що виражаються через похідні останніх. І цей крок було зроблено практично одночасно двома вищезгаданими великими вченими.

Виходячи з необхідності вирішення нагальних практичних завдань механіки, які ставила перед наукою бурхливо розвивається промисловість і техніка, Ньютон і Лейбніц створили загальні способи знаходження швидкості зміни функцій (насамперед стосовно механічної швидкості руху тіла за відомою траєкторією), що призвело до введення таких понять, як похідна та диференціал функції, а також знайшли алгоритм вирішення зворотного завдання, як за відомою (змінною) швидкістю знайти пройдений шлях, що призвело до появи поняття інтеграла.

У працях Лейбніца і Ньютона вперше з'явилося уявлення у тому, що диференціали - це пропорційні приростам аргументів Δх основні частини прирощень функцій Δу, які можуть бути успішно застосовані до обчислення значень останніх.Інакше кажучи, ними було відкрито, що збільшення функції може бути в будь-якій точці (всередині області її визначення) виражено через її похідну як Δу = y'(x) Δх + αΔх, де α Δх – залишковий член, що прагне до нуля при Δх→ 0, набагато швидше, ніж саме Δх.

Згідно з основоположниками матаналізу, диференціали – це якраз і є перші члени у виразах прирощень будь-яких функцій. Ще не маючи чітко сформульованого поняття межі послідовностей, вони інтуїтивно зрозуміли, що величина диференціала прагне похідної функції при Δх→0 - Δу/Δх→ y'(x).

На відміну від Ньютона, який був насамперед фізиком, і розглядав математичний апарат як допоміжний інструмент дослідження фізичних завдань, Лейбніц приділяв більшу увагу самому цьому інструментарію, включаючи систему наочних і зрозумілих позначень математичних величин. Саме він запропонував загальноприйняті позначення диференціалів функції dy = y'(x)dx, аргументу dx та похідної функції у вигляді їх відношення y'(x) = dy/dx.

Сучасне визначення

Що таке диференціал із погляду сучасної математики? Він був із поняттям збільшення змінної величини. Якщо змінна y набуває спочатку значення y = y₁, а потім y = y₂, то різниця y₂ ─ y₁ називається збільшенням величини y.

Приріст може бути позитивним. негативним та рівним нулю. Слово «прирощення» позначається Δ, запис Δу (читається «дельта ігрок») позначає збільшення величини y. так що Δу = y₂ ─ y₁.

Якщо величину Δу довільної функції y = f (x) можливо подати у вигляді Δу = A Δх + α, де A немає залежності від Δх, тобто.A = const при даному х, а доданок α при Δх→0 прагне до нього ще швидше, ніж саме Δх, тоді перший («головний») член, пропорційний Δх, і є для y = f (x) диференціалом, що позначається dy або df(x) (читається "де игрек", "де еф від ікс"). Тому диференціали – це «головні» лінійні щодо Δх складові прирощень функцій.

Механічне тлумачення

Нехай s = f (t) – відстань матеріальної точки, що прямолінійно рухається від початкового положення (t – час перебування в дорозі). Приріст Δs – це шлях точки за інтервал часу Δt, а диференціал ds = f' (t) Δt – це шлях, який точка пройшла б за той самий час Δt, якби вона зберегла швидкість f'(t), досягнуту на момент t . При нескінченно малому Δt уявний шлях ds відрізняється від істинного Δs на нескінченно малу величину, що має вищий порядок щодо Δt. Якщо швидкість момент t не дорівнює нулю, то ds дає наближену величину малого зміщення точки.

Геометрична інтерпретація

Нехай лінія L є графіком y = f(x). Тоді Δ х= MQ, Δу = QM' (див. рисунок нижче). Дотична MN розбиває відрізок Δу на дві частини QN і NM'. Перша пропорційна Δх і дорівнює QN = MQ∙tg (кута QMN) = Δх f '(x), тобто QN є диференціал dy.

Друга частина NM' дає різницю Δу ─ dy, при Δх→0 довжина NM' зменшується ще швидше, ніж збільшення аргументу, тобто у неї порядок трохи вище, ніж у Δх. У даному випадку, при f '(x) ≠ 0 (дотична не паралельна ОХ), відрізки QM'і QN еквівалентні; іншими словами NM 'зменшується швидше (порядок трохи її вище), ніж повне збільшення Δу = QM'. Це видно на малюнку (з наближенням M' до М відрізок NM' становить дедалі менший відсоток відрізка QM').

Отже, графічно диференціал довільної функції дорівнює величині збільшення ординати її дотичної.

Похідна та диференціал

Коефіцієнт A у першому доданку виразу прирощення функції дорівнює величині її похідної f '(x). Таким чином, має місце наступне співвідношення - dy = f'(x)Δх, або df(x) = f'(x)Δх.

Відомо, що збільшення незалежного аргументу дорівнює його диференціалу Δх = dx. Відповідно можна написати: f '(x) dx = dy.

Знаходження (іноді кажуть, «рішення») диференціалів виконується за тими самими правилами, що й для похідних. Перелік їх наведено нижче.

Що універсальніше: збільшення аргументу чи його диференціал

Тут потрібно зробити деякі пояснення. Подання величиною f '(x)Δх диференціала можливе при розгляді х як аргумент. Але функція може бути складною, де х може бути функцією деякого аргументу t. Тоді уявлення диференціала виразом f '(x)Δх, як правило, неможливе; окрім випадку лінійної залежності х = at + b.

Що ж до формули f '(x)dx= dy, то й у разі незалежного аргументу х (тоді dx = Δх), і у разі параметричної залежності х від t, вона представляє диференціал.

Наприклад, вираз 2 x Δх представляє для y = x 2 її диференціал, коли є аргумент. Покладемо тепер х = t 2 і вважатимемо t аргументом. Тоді y = x2 = t4.

Далі слідує (t + Δt) 2 = t 2 + 2tΔt + Δt 2 . Звідси Δх = 2tΔt + Δt2. Значить: 2xΔх = 2t 2 (2tΔt + Δt2).

Цей вираз не пропорційний Δt і тому тепер 2xΔх не є диференціалом. Його можна знайти з рівняння y = x2 = t4. Він виявляється дорівнює dy=4t 3 Δt.

Якщо ж взяти вираз 2xdx, воно представляє диференціал y = x 2 при будь-якому аргументі t. Дійсно, при х = t2 отримаємо dx = 2tΔt.

Значить 2xdx = 2t 2 2tΔt = 4t 3 Δt, тобто вирази диференціалів, записані через дві різні змінні, збіглися.

Заміна прирощень диференціалами

Якщо f '(x) ≠ 0, то Δу та dy еквівалентні (при Δх→0); при f '(x) = 0 (що означає dy = 0), вони не еквівалентні.

Наприклад, якщо y = x 2 то Δу = (x + Δх) 2 ─ x 2 = 2xΔх + Δх 2 , а dy = 2xΔх. Якщо х=3, то маємо Δу = 6Δх + Δх 2 та dy = 6Δх, які еквівалентні внаслідок Δх 2 →0, при х=0 величини Δу = Δх 2 та dy=0 не еквівалентні.

Цей факт, разом із простою структурою диференціала (тобто лінійності по відношенню до Δх), часто використовується в наближених обчисленнях, припущення, що Δу ≈ dy для малих Δх. Знайти диференціал функції, як правило, легше, ніж обчислити точне значення збільшення.

Наприклад, маємо металевий куб із ребром х=10,00 см. При нагріванні ребро подовжилося на Δх = 0,001 см. Наскільки збільшився об'єм V куба? Маємо V = х 2 так що dV = 3x 2 Δх = 3∙10 2 ∙0/01 = 3 (см 3 ). Збільшення обсягу ΔV еквівалентно диференціалу dV, так що ΔV = 3 см 3 . Повне обчислення дало б V =10,01 3 ─ 10 3 = 3,003001. Але в цьому результаті всі цифри, крім першої, ненадійні; отже, однаково, потрібно округлити його до 3 см 3 .

Очевидно, що такий підхід є корисним, тільки якщо можливо оцінити величину помилки, що привноситься при цьому.

Диференціал функції: приклади

Спробуємо знайти диференціал функції y = x 3 не знаходячи похідної. Дамо аргументу збільшення і визначимо Δу.

Δу = (Δх + x) 3 ─ x 3 = 3x 2 Δх + (3xΔх 2 + Δх 3).

Тут коефіцієнт A = 3x 2 не залежить від Δх, так що перший член пропорційний Δх, інший член 3xΔх 2 + Δх 3 при Δх→0 зменшується швидше, ніж приріст аргументу. Отже, член 3x 2 Δх є диференціал y = x 3:

dy=3x 2 Δх=3x 2 dx або d(x 3 ) = 3x 2 dx.

У цьому d(x 3 ) / dx = 3x 2 .

Знайдемо тепер dy функції y = 1/x через її похідну. Тоді d(1/x) / dx = ─1/х2. Тому dy = ─ Δх/х2.

Диференціали основних функцій алгебри наведені нижче.

Наближені обчислення із застосуванням диференціалу

Обчислити функцію f(x), а також її похідну f'(x) при x=a часто неважко, а ось зробити те саме в околиці точки x=a буває нелегко. Тоді на допомогу приходить наближений вираз

Воно дає наближене значення функції при малих збільшеннях через її диференціал f '(a)Δх.

Отже, дана формула дає наближений вираз для функції кінцевої точки деякої ділянки довжиною Δх у вигляді суми її значення в початковій точці цієї ділянки (x=a) і диференціала в тій же початковій точці. Похибка такого способу визначення значення функції ілюструє рисунок нижче.

Однак відомий і точний вираз значення функції для x=a+Δх, що дається формулою кінцевих прирощень (або, інакше, формулою Лагранжа)

де точка x = a+ ξ знаходиться на відрізку від x = a до x = a + Δх, хоча точне положення її невідоме. Точна формула дозволяє оцінювати похибку наближеної формули. Якщо ж у формулі Лагранжа покласти ξ = Δх /2, то хоч вона і перестає бути точною, але дає, як правило, набагато краще наближення, ніж вихідний вираз через диференціал.

Оцінка похибки формул за допомогою диференціала

Вимірювальні інструменти в принципі неточні, і привносять дані вимірювань, відповідні помилки. Їх характеризують граничною абсолютною похибкою, чи, коротше, граничною похибкою – позитивним числом, явно перевищує цю помилку за абсолютною величиною (чи крайньому разі рівним їй).Граничною відносною похибкою називають частки від її поділу на абсолютне значення виміряної величини.

Нехай точна формула y=f(x) використана для обчислення функції y, але значення x є результатом вимірювання і тому привносить у y помилку. Тоді, щоб знайти граничну абсолютну похибку │‌‌Δу│функції y використовують формулу

де │Δх│ є граничною похибкою аргументу. Величину │‌‌Δу│ слід округлити у бік збільшення, т.к. неточною є сама заміна обчислення збільшення обчислення диференціала.