Алгебра. Нерівності, системи нерівностей.

Ура!Ви потрапили на найпотужніший урок з вирішення нерівностей! Тут ви навчитеся вирішувати нерівності від найпростіших до найскладніших.

Після того, як ви подужаєте лінійні нерівності, ми навчимося використовувати метод інтервалів для вирішення будь-яких (!) нерівностей ступеня вище за першу (тобто метод інтервалів застосуємо для квадратних, кубічних і т.д. нерівностей, а також для дробово раціональних). чекає безліч докладних прикладів розв'язання нерівностей.

Дивіться безкоштовні відео-уроки на тему “Нерівності” на каналі Їжачку Зрозуміло.

Відео-уроки на каналі Їжачку Зрозуміло.

Зміст сторінки:

Нерівності

Що таке нерівність? Якщо взяти будь-яке рівняння і знак = поміняти на будь-який із знаків нерівності:

то вийде нерівність.

Лінійні нерівності

Лінійні нерівності - Це нерівності виду:

де a та b – будь-які числа, причому a ≠ 0, x – змінна.

Приклади лінійних нерівностей:

Вирішити лінійну нерівність – отримати вираз виду:

де c – кілька.

Останній крок у вирішенні нерівності – запис відповіді.

Сенс виколотої точки в тому, що сама точка у відповідь не входить.

• Якщо знак нерівності несуворий ≥ , ≤ , точка на осі буде жирний (зафарбованою), а дужка, що обіймає крапку – квадратний .

Сенс жирної точки в тому, що сама точка входить у відповідь.

• Дужка, яка обіймає знак нескінченності завжди кругла – не можемо ми осягнути неосяжне, хоч би як цього нам хотілося.

Таблиця числових проміжків

Алгоритм розв'язання лінійної нерівності

1. Розкрити дужки (якщо вони є), перенести ікси в ліву частину, числа в праву і навести подібні доданки. Повинна вийти нерівність одного з таких видів:

1. Нехай вийшла нерівність виду a x ≤ b. Щоб його вирішити, необхідно поділити ліву і праву частину нерівності на коефіцієнт a.

• Якщо a > 0 то нерівність набуває вигляду x ≤ b a .

• Якщо a < 0, то знак нерівності змінюється на протилежний , нерівність набуває вигляду x ≥ b a .

1. Записуємо відповідь відповідно до правил, зазначених у таблиці числових проміжків.

Приклади розв'язання лінійних нерівностей:

№1. Розв'язати нерівність 3 ( 2 − x ) > 18.

Рішення:

Розкриваємо дужки, переносимо ікси вліво, числа вправо, наводимо подібні доданки.

− 3 x > 18 − 6 − 3 x > 12 | ÷ ( − 3 )

№2. Вирішити нерівність 6 x + 4 ≥ 3 ( x + 1 ) − 14.

Рішення:

Розкриваємо дужки, переносимо ікси вліво, числа вправо, наводимо подібні доданки.

3 x ≥ − 15 | ÷ 3 Ділимо обидві частини нерівності на ( 3 ) – коефіцієнт, що стоїть перед x . Оскільки 3 > 0, знак нерівності після розподілу не змінюватиметься.

x ≥ − 15 3 ⇒ x ≥ − 5 Залишається записати відповідь (див. таблицю числових проміжків).

Особливі випадки (у 14 завданнях ОДЕ 2019 вони не зустрічалися, але знати їх корисно).

№1. Розв'язати нерівність 6 x − 1 ≤ 2 ( 3 x − 0,5 ).

Рішення:

Розкриваємо дужки, переносимо ікси вліво, числа вправо, наводимо подібні доданки.

Отримали правильну нерівність, яка залежить від змінної x . Виникає питання, які значення може набувати змінна x , щоб нерівність виконувалася? Будь-які! Яке значення ми не взяли, воно все одно скоротиться і результат нерівності буде вірним. Розглянемо три варіанти запису відповіді.

№2. Розв'язати нерівність x + 3 ( 2 − 3 x ) > − 4 ( 2 x − 12 ).

Рішення:

Розкриваємо дужки, переносимо ікси вліво, числа вправо, наводимо подібні доданки.

Отримали неправильну рівність, яка не залежить від змінної x . Які б значення ми не підставляли у вихідну нерівність, результат виявиться одним і тим самим – неправильна нерівність. За жодних значень x вихідне нерівність стане правильним. Ця нерівність не має рішень. Запишемо відповідь.

Квадратні нерівності

Квадратні нерівності – це нерівності виду: a x 2 + b x + c > 0 a x 2 + b x + c ≥ 0 a x 2 + b x + c < 0 a x 2 + b x + c ≤ 0 де a, b, c - деякі числа, причому a ≠ 0, x – змінна.

Існує універсальний метод розв'язання нерівностей ступеня вище за перший (квадратних, кубічних, біквадратних і т.д.) – метод інтервалів. Якщо його один раз як слід осмислити, то проблем із розв'язанням будь-яких нерівностей не виникне.

Для того, щоб застосовувати метод інтервалів для розв'язання квадратних нерівностей, треба вміти добре розв'язувати квадратні рівняння (див. урок 4).

Алгоритм розв'язання квадратної нерівності методом інтервалів

1. Розв'язати рівняння a x 2 + b x + c = 0 знайти коріння x 1 і x 2 .

1. Позначити на числовому прямому корені тричлена.

Якщо знак нерівності строгий > , < , точки будуть виколоті.

Якщо нерівний знак нерівний ≥ , ≤ , крапки будуть жирні (заштрихований).

1. Розставити символи на інтервалах.Для цього треба вибрати точку з будь-якого проміжку (у прикладі взята точка A) і підставити її значення у вираз a x 2 + b x + c замість x.

Якщо вийшла позитивна кількість, знак на інтервалі плюс. На решті інтервалів знаки чергуватимуть.

Крапки виколоті, якщо знак нерівності суворий.

Точки жирні, якщо знак нерівності несуворий.

Якщо вийшло негативне число, знак на інтервалі мінус. На решті інтервалів знаки чергуватимуть.

Крапки виколоті, якщо знак нерівності суворий.

Точки жирні, якщо знак нерівності несуворий.

Якщо знак нерівності > або ≥ у відповідь вибираємо інтервали зі знаком +.

Приклади розв'язання квадратних нерівностей:

№1. Розв'язати нерівність x 2 ≥ x + 12.

Рішення:

Наводимо нерівність до виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а потім розв'язуємо рівняння a x 2 + b x + c = 0.

D = b 2 − 4 a c = ( − 1 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 12 ) = 1 + 48 = 49

D > 0 ⇒ буде два різні дійсні корені

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 1 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 1 ± 7 2 = [ 1 + 7 2 = 8 2 = 4 1 − 7 2 = − 6 2 = − 3

Наносимо крапки на вісь x. Оскільки знак нерівності несуворий, крапки будуть жирними. Вибираємо точку з будь-якого інтервалу для перевірки знаку на інтервалі. Нехай це буде точка 6 . Підставляємо цю точку у вихідний вираз:

x 2 − x − 1 = 6 2 − 6 − 1 = 29 > 0

Це означає, що знак на інтервалі, де лежить точка 6 буде +.

Далі розставляємо знаки праворуч наліво. При переході через знайдені нульові точки знак змінюватиметься на протилежний.

У відповідь підуть два інтервали. У математиці для поєднання кількох інтервалів використовується знак поєднання: ∪ .

Крапки -3 і 4 будуть у квадратних дужках, оскільки вони жирні.

Відповідь: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ) ∪ [ 4 ; + ∞ ]

№2. Розв'язати нерівність − 3 x − 2 ≥ x 2 .

Рішення:

Наводимо нерівність до виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а потім розв'язуємо рівняння a x 2 + b x + c = 0.

D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 2 ) = 9 − 8 = 1

D > 0 ⇒ буде два різні дійсні корені

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 1 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 1 − 2 = [ 3 + 1 − 2 = 4 − 2 = − 2 3 − 1 − 2 = 2 − 2 = − 1

Наносимо крапки на вісь x. Оскільки знак нерівності несуворий, крапки будуть жирними. Вибираємо точку з будь-якого інтервалу для перевірки знаку на інтервалі. Нехай це буде точка 0. Підставляємо цю точку у вихідний вираз:

− x 2 − 3 x − 2 = − ( 0 ) 2 − 3 ⋅ 0 − 2 = − 2 < 0

Це означає, що знак на інтервалі, де лежить точка 0 буде − .

Далі розставляємо знаки праворуч наліво. При переході через знайдені нульові точки знак змінюватиметься на протилежний.

Оскільки знак нерівності ≥ вибираємо у відповідь інтервал зі знаком +.

Точки -2 та -1 будуть у квадратних дужках, оскільки вони жирні.

№3. Розв'язати нерівність 4 < x 2 + 3 x.

Рішення:

Наводимо нерівність до виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а потім розв'язуємо рівняння a x 2 + b x + c = 0.

D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 4 = 9 + 16 = 25

D > 0 ⇒ буде два різні дійсні корені

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 25 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 5 − 2 = [ 3 + 5 − 2 = 8 − 2 = − 4 3 − 5 − 2 = − 2 − 2 = 1

Наносимо крапки на вісь x. Так як знак нерівності суворий, точки будуть виколоти. Вибираємо точку з будь-якого інтервалу для перевірки знаку на інтервалі. Нехай це буде точка 2 . Підставляємо цю точку у вихідний вираз:

− x 2 − 3 x + 4 = − ( 2 ) 2 − 3 ⋅ 2 + 4 = − 6 < 0

Це означає, що знак на інтервалі, в якому лежить точка 2 буде -.

Далі розставляємо знаки праворуч наліво.При переході через знайдені нульові точки знак змінюватиметься на протилежний.

Крапки -4 і 1 будуть у круглих дужках, оскільки вони виколоті.

Відповідь: x ∈ ( − ∞ ; − 4 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

№4. Розв'язати нерівність x 2 − 5 x < 6.

Рішення:

Наводимо нерівність до виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а потім розв'язуємо рівняння a x 2 + b x + c = 0.

D = b 2 − 4 a c = ( − 5 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 25 + 25 = 49

D > 0 ⇒ буде два різні дійсні корені

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 5 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 5 ± 7 2 = [ 5 + 7 2 = 12 2 = 6 5 − 7 2 = − 2 2 = − 1

Наносимо крапки на вісь x. Так як знак нерівності суворий, точки будуть виколоти. Вибираємо точку з будь-якого інтервалу для перевірки знаку на інтервалі. Нехай це буде точка 10. Підставляємо цю точку у вихідний вираз:

x 2 − 5 x − 6 = 10 2 − 5 ⋅ 10 − 6 = 100 − 50 − 6 = 44 > 0

Це означає, що знак на інтервалі, де лежить точка 10 буде +.

Далі розставляємо знаки праворуч наліво. При переході через знайдені нульові точки знак змінюватиметься на протилежний.

Точки -1 і 6 будуть у круглих дужках, оскільки вони виколоті

№5. Розв'язати нерівність x 2 <4.

Рішення:

Переносимо 4 в ліву частину, розкладаємо вираз на множники ФСУ і знаходимо коріння рівняння.

( x − 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ [ x − 2 = 0 x + 2 = 0 [ x = 2 x = − 2

Наносимо крапки на вісь x. Так як знак нерівності суворий, точки будуть виколоти. Вибираємо точку з будь-якого інтервалу для перевірки знаку на інтервалі. Нехай це буде точка 3 . Підставляємо цю точку у вихідний вираз:

x 2 − 4 = 3 2 − 4 = 9 − 4 = 5 > 0

Це означає, що знак на інтервалі, де лежить точка 3 буде +.

Далі розставляємо знаки праворуч наліво.При переході через знайдені нульові точки знак змінюватиметься на протилежний.

Крапки -2 і 2 будуть у круглих дужках, оскільки вони виколоті.

№6. Розв'язати нерівність x 2 + x ≥0.

Рішення:

Виносимо загальний множник за дужку, знаходимо коріння рівняння x2+x=0.

x ( x + 1 ) = 0 ⇔ [ x = 0 x + 1 = 0 [ x = 0 x = − 1

Наносимо крапки на вісь x. Оскільки знак нерівності несуворий, крапки будуть жирними. Вибираємо точку з будь-якого інтервалу для перевірки знаку на інтервалі. Нехай це буде точка 1 . Підставляємо цю точку у вихідний вираз:

x 2 + x = 1 2 + 1 = 2 > 0

Це означає, що знак на інтервалі, де лежить точка 1 буде +.

Далі розставляємо знаки праворуч наліво. При переході через знайдені нульові точки знак змінюватиметься на протилежний.

Оскільки знак нерівності ≥ вибираємо у відповідь інтервали зі знаком +.

У відповідь підуть два інтервали. Крапки -1 і 0 будуть у квадратних дужках, оскільки вони жирні.

Відповідь: x ∈ ( − ∞ ; − 1 ) ∪ [ 0 ; + ∞ ]

Ось ми й познайомились із методом інтервалів. Він нам ще стане в нагоді при розв'язанні дробово раціональних нерівностей, мова про які піде нижче.

Дробно раціональні нерви

Дробно раціональна нерівність – це нерівність, у якому є дріб, у знаменнику якої стоїть змінна, тобто. нерівність одного з таких видів:

f ( x ) g ( x ) < 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0

Дробно раціональна нерівність не обов'язково одразу виглядає так. Іноді для приведення його до такого виду доводиться попрацювати (перенести доданки в ліву частину, привести до спільного знаменника).

Приклади дробово раціональних нерівностей:

x − 1 x + 3 < 0 3 ( x + 8 ) ≤ 5 x 2 − 1 x >0 x + 20 x ≥ x + 3

Як вирішувати ці дробово раціональні нерівності? Та все за допомогою того ж всемогутнього способу інтервалів.

Алгоритм розв'язання дрібно раціональних нерівностей:

1. Привести нерівність до одного з таких видів (залежно від знака у вихідній нерівності):

f ( x ) g ( x ) < 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0

1. Прирівняти чисельник дробу до нуля f(x) = 0. Знайти нулі чисельника .

1. Прирівняти знаменник дробу до нуля g(x) = 0. Знайти нулі знаменника .

У цьому пункті алгоритму ми робитимемо все те, що нам забороняли робити всі 9 років навчання у школі – прирівнювати знаменник дробу до нуля. Щоб якось виправдати свої буйні дії, отримані точки при нанесенні на вісь x завжди малюватимемо виколотими, незалежно від того, який знак нерівності.

Незалежно від знаку нерівності
при нанесенні на вісь x нулі знаменника завжди виколоті .

Якщо знак нерівності суворий ,
при нанесенні на вісь x нулі чисельника виколоті .

Якщо знак нерівності несуворий ,
при нанесенні на вісь x нулі чисельника жирні .

1. Розставити символи на інтервалах.

1. Вибрати відповідні інтервали та записати відповідь.

Приклади розв'язання дрібно раціональних нерівностей:

№1. Розв'язати нерівність x − 1 x + 3 > 0.

Рішення:

Вирішуватимемо цю нерівність відповідно до алгоритму.

1. Перший крок алгоритму вже виконано. Нерівність наведена до виду f(x)g(x) > 0.

1. Прирівнюємо чисельник до нуля f(x) = 0.

x = 1 – це нуль чисельника . Оскільки знак нерівності є суворим, нуль чисельника при нанесенні на вісь x буде виколотим. Запам'ятаємо це.

x = − 3 – це нуль знаменника . При нанесенні на вісь x точка буде завжди виколотою (Незалежно від знака нерівності) .

При нанесенні нулів чисельника звертаємо увагу на знак нерівності. У разі знак нерівності суворий, отже нулі чисельника будуть виколотими.Ну а нулі знаменника виколоти завжди.

Вибираємо точку з будь-якого інтервалу для перевірки знаку на інтервалі. Нехай це буде точка 2 . Підставляємо цю точку у вихідний вираз f(x)g(x): x − 1 x + 3 = 2 − 1 2 + 3 = 1 5 > 0,

Це означає, що знак на інтервалі, де лежить точка 2 буде +.

Далі розставляємо знаки праворуч наліво. При переході через знайдені нульові точки знак змінюватиметься на протилежний.

Оскільки знак нерівності > , вибираємо у відповідь інтервали зі знаком +.

У відповідь підуть два інтервали. Крапки -3 і 1 будуть у круглих дужках, тому що обидві вони виколоті.

Відповідь: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

№2. Розв'язати нерівність 3 (x + 8) ≤ 5.

Рішення:

Вирішуватимемо цю нерівність відповідно до алгоритму.

3 ( x + 8 ) − 5 \ x + 8 ≤ 0

3 x + 8 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0

x = − 37 5 = − 37 5 = − 7,4

x = − 7,4 - нуль чисельника . Оскільки знак нерівності несуворий, при нанесенні цієї точки на вісь x точка буде жирною.

x = − 8 – це нуль знаменника . При нанесенні на вісь x точка буде завжди виколотою (незалежно від знаку нерівності).

При нанесенні нулів чисельника звертаємо увагу на знак нерівності. В даному випадку знак нерівності несуворий, отже нулі чисельника будуть жирними. Ну а нулі знаменника виколоті завжди.

Вибираємо точку з будь-якого інтервалу для перевірки знаку на інтервалі. Нехай це буде точка 0. Підставляємо цю точку у вихідний вираз f(x)g(x):

− 5 x − 37 x + 8 = − 5 ⋅ 0 − 37 0 + 8 = − 37 8 < 0

Це означає, що знак на інтервалі, де лежить точка 0 буде -.

Далі розставляємо знаки праворуч наліво. При переході через знайдені нульові точки знак змінюватиметься на протилежний.

Оскільки знак нерівності ≤ вибираємо у відповідь інтервали зі знаком -.

У відповідь підуть два інтервали. Точка -8 буде в круглій дужці, оскільки вона виколота, точка -7,4 буде у квадратних дужках, оскільки вона жирна.

Відповідь: x ∈ ( − ∞ ; − 8 ) ∪ [ − 7,4 ; + ∞ )

№3. Розв'язати нерівність x 2 − 1 x > 0.

Рішення:

Вирішуватимемо цю нерівність відповідно до алгоритму.

1. Перший крок алгоритму вже виконано. Нерівність наведена до виду f(x)g(x) > 0.

1. Прирівняти чисельник до нуля f(x) = 0.

( x − 1 ) ( x + 1 ) = 0 ⇒ [ x − 1 = 0 x + 1 = 0 [ x = 1 x = − 1

x 1 = 1, x 2 = − 1 - нулі чисельника . Оскільки знак нерівності є суворим, при нанесенні цих точок на вісь x точки будуть виколотими.

x = 0 - це нуль знаменника . При нанесенні на вісь x точка буде завжди виколотою (незалежно від знаку нерівності).

При нанесенні нулів чисельника звертаємо увагу на знак нерівності. В даному випадку знак нерівності суворий, отже, нулі чисельника будуть виколотими. Ну а нулі знаменника і так виколоти завжди.

Вибираємо точку з будь-якого інтервалу для перевірки знаку на інтервалі. Нехай це буде точка 2 . Підставляємо цю точку у вихідний вираз f(x)g(x):

x 2 − 1 x = 2 2 − 1 2 = 4 − 1 2 = 3 2 > 0 Це означає, що знак на інтервалі, в якому лежить точка 2, буде +.

Далі розставляємо знаки праворуч наліво. При переході через знайдені нульові точки знак змінюватиметься на протилежний.

Оскільки знак нерівності > , вибираємо у відповідь інтервали зі знаком +.

У відповідь підуть два інтервали. Усі крапки будуть у круглих дужках, оскільки вони виколоті.

Відповідь: x ∈ ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

Системи нерівностей

Системою нерівностей називають дві нерівності з однією невідомою, які об'єднані у загальну систему фігурною дужкою.

Приклад системи нерівностей:

Алгоритм розв'язання системи нерівностей

1. Розв'язати першу нерівність системи, зобразити її графічно на осі x .

1. Розв'язати другу нерівність системи, зобразити її графічно на осі x .

1. Нанести рішення першої та другої нерівностей на вісь x .

1. Вибрати у відповідь ті ділянки, у яких розв'язання першої та другої нерівностей перетинаються. Записати відповідь.

Приклади розв'язування систем нерівностей:

№1. Розв'язати систему нерівностей < 2 x − 3 ≤ 5 7 − 3 x ≤ 1

Рішення:

Вирішуватимемо цю систему нерівностей відповідно до алгоритму.

2 x ≤ 8 | ÷ 2 , оскільки 2 > 0, знак нерівності після розподілу зберігається.

Точка 4 на графіці жирна, оскільки знак нерівності несуворий.

Графічна інтерпретація рішення:

Точка 2 на графіці жирна, оскільки знак нерівності несуворий.

Перетин рішень спостерігається на відрізку від 2 до 4 . Крапки 2 і 4 у відповіді буду у квадратних дужках, тому що обидві вони жирні.

№2. Розв'язати систему нерівностей < 2 x − 1 ≤ 5 1 < − 3 x − 2

Рішення:

Вирішуватимемо цю систему нерівностей відповідно до алгоритму.

2 x ≤ 6 | ÷ 2 , оскільки 2 > 0, знак нерівності після розподілу зберігається.

Точка 3 на графіку жирна, оскільки знак нерівності несуворий.

3 x < − 3 | ÷ 3 , оскільки 3 >0, знак нерівності після розподілу зберігається.

Графічна інтерпретація рішення:

Крапка -1 на графіку виколота, тому що знак нерівності строгий.

Перетин рішень спостерігається на лівій ділянці. Крапка -1 буде у відповіді у круглих дужках, оскільки вона виколота.

№3. Розв'язати систему нерівностей < 3 x + 1 ≤ 2 x x − 7 >5 − x

Рішення:

Вирішуватимемо цю систему нерівностей відповідно до алгоритму.

Графічна інтерпретація рішення:

2 x > 12 | ÷ 2 , оскільки 2 > 0, знак нерівності після розподілу зберігається.

Графічна інтерпретація рішення:

Перетинів рішень немає. Отже, у цієї системи нерівностей немає рішень.

№4. Розв'язати систему нерівностей < x + 4 >0 2 x + 3 ≤ x 2

Рішення:

Вирішуватимемо цю систему нерівностей відповідно до алгоритму.

Графічна інтерпретація розв'язання першої нерівності:

Вирішуємо методом інтервалів.

D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 3 = 4 + 12 = 16

D > 0 - два різних дійсних кореня.

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 2 ± 16 2 ⋅ ( − 1 ) = − 2 ± 4 − 2 = [ − 2 − 4 − 2 = − 6 − 2 = 3 − 2 + 4 − 2 = 2 − 2 = − 1

Наносимо крапки на вісь x та розставляємо знаки на інтервалах. Оскільки знак нерівності несуворий, обидві точки будуть заштриховані.

Графічна інтерпретація вирішення другої нерівності:

Перетин рішень спостерігається у двох інтервалах. Для того, щоб у відповіді поєднати два інтервали, використовується знак об'єднання ∪ .

Точка -4 буде в круглій дужці, оскільки вона виколота, а точки -1 і 3 у квадратних, оскільки вони жирні.

Відповідь: x ∈ ( − 4 ; − 1 ) ∪ [ 3 ; + ∞ ]

Вирішення лінійних нерівностей

Тема лінійних нерівностей складна, але з неї вдасться вирішувати складні математичні завдання. Давайте розглянемо лінійні нерівності та спробуємо з ними потоваришувати.

· Оновлено 29 жовтня 2024

Основні поняття

Алгебра не всім дається легко з першого разу. Щоб не заплутатися у всіх темах та правилах, важливо вивчати теми послідовно та потроху. Сьогодні дізнаємось, як вирішувати лінійні нерівності.

Нерівність — це вираз алгебри, в якому використовуються знаки ≠, , ≤, ≥.

Лінійні нерівності - Це нерівності виду:

де a та b — будь-які числа, a ≠ 0, x — невідома змінна. Як вирішуються нерівності розглянемо далі у статті.

Рішення — значення змінної, у якому нерівність стає правильним.

Розв'язати нерівність означає знайти всі значення змінної, коли він нерівність правильне.

Типи нерівностей

1. Суворі – використовують тільки більше (>) або менше (<):

• a < b це означає, що a менше, ніж b.
• a > b це означає, що a більше, ніж b.
• a > b і b < a означають те саме, тобто рівносильні.

1. Нестрогі — використовують порівняння ≥ (більше чи одно) або ≤ (менше чи одно):

• a ≤ b - це означає, що a менше або одно b.
• a ≥ b - це означає, що a більше або одно b.
• знаки ⩽ та ⩾ є протилежними.

1. Інші типи:

• a ≠ b - означає, що a не дорівнює b.
• a ≫ b - означає, що a набагато більше, ніж b.
• a ≪ b - означає, що a набагато менше, ніж b.
• знаки >> та

Для тих, хто хоче пов'язати своє життя з точними науками, Skysmart пропонує курс підготовки до ЄДІ з математики (профіль).

Яка професія тобі підходить? Дізнайся за 10 хвилин!

Отримай більше користі від Skysmart:

Лінійні нерівності: властивості та правила

Згадаймо властивості числових нерівностей:

1. Якщо а > b, то b <а. Також навпаки: а < b, то b > а.
   
2. Якщо а > b та b > c, то а > c. І якщо а < b і b < c, то а < c.
   
3. Якщо а > b, а + c > b+ c (і а – c > b – c).

Дві нерівності однакового сенсу можна почленно складати. Але важливо перевіряти ще раз через можливі винятки. Наприклад, якщо з 12 > 8 почленно відняти 3 > 2, отримаємо правильну відповідь 9 > 6. Якщо з 12 > 8 почленно відняти 7 > 2, то отримане буде неправильним.

З однієї нерівності можна почленно відняти інше протилежного сенсу, залишаючи знак того, з якого віднімали.

Обидві частини можна помножити чи розділити одне позитивне число (знак у своїй залишається тим самим).

Якщо ж > b, n — від'ємне число, то n а < nb і

Обидві частини можна помножити чи розділити одне негативне число, у своїй знак нерівності поміняти на протилежний.

Нерівності одного сенсу на безлічі позитивних чисел можна почленно перемножувати.

Наслідок цього правила або квадратний приклад: якщо а > b де а, b > 0, то а2 > b2, і якщо а < b, то а2 < b2. На безлічі позитивних чисел обидві частини можна звести у квадрат.

Розв'язанням нерівності з однією змінною називається значення змінної, яке трансформує їх у вірну числову нерівність.

Щоб спростити процес знаходження коренів нерівності, потрібно провести рівносильні перетворення — замінити цю нерівність більш простою. При цьому всі рішення мають бути збережені без виникнення стороннього коріння.

Властивості вище допоможуть нам використати такі правила.

Правила лінійних нерівностей

1. Будь-який член можна перенести з однієї частини до іншої з протилежним знаком. Знак нерівності у своїй не змінюється. 2x − 3 > 6 ⇒ 2x > 6 + 3 ⇒ 2x > 9.
2. Обидві частини можна помножити чи розділити одне позитивне число. Знак нерівності у своїй не змінюється. Помножимо обидві частини п'ять 2x > 9 ⇒ 10x > 45.
3. Обидві частини можна помножити чи розділити одне негативне число. Знак нерівності у своїй змінюється протилежний. Розділимо обидві частини на мінус два 2x > 9 ⇒ 2x : (–2) > 9 : (–2) ⇒ –x < –4,5.

Вирішення лінійних нерівностей

Лінійні нерівності з однією змінною x виглядають так:

де a та b - дійсні числа. А на місці х може бути звичайне число.

Рівносильні перетворення

Для розв'язання ax + b < 0 (≤, >, ≥) необхідно застосувати рівносильні перетворення нерівності. Розглянемо два випадки: коли коефіцієнт дорівнює і не дорівнює нулю.

Алгоритм рішення ax + b < 0 при a ≠ 0

• перенесемо число b у праву частину з протилежним знаком,
• отримаємо рівносильне: ax < −b;
• зробимо розподіл обох частин на число, що не дорівнює нулю.

Коли a позитивне, то знак нерівності залишається незмінним, якщо a — негативне, знак змінюється протилежний.

Розглянемо приклад: 4x + 16 ≤ 0.

Як вирішуємо: У разі a = 4 і b = 16, тобто коефіцієнт при x не дорівнює нулю. Застосуємо вищеописаний алгоритм.

• Перенесемо доданок 16 в іншу частину зі зміненим знаком: 4x ≤ −16.
• Зробимо поділ обох частин на 4. Не змінюємо знак, тому що 4 — позитивне число: 4x : 4 ≤ −16 : 4 ⇒ x ≤ −4.
• Нерівність x ≤ −4 є рівносильною. Тобто рішенням є будь-яке дійсне число, яке менше або 4.

Відповідь: x ≤ −4 або числовий проміжок (−∞, −4].

Числова нерівність виду b < 0 (≤, >, ≥) є правильною, коли вихідне має рішення за будь-якого значення. Неправильно тоді, коли вихідне немає рішень.

Розглянемо приклад: 0 * x + 5> 0.

Як вирішуємо:

• Ця нерівність 0 * x + 5 > 0 може набувати будь-якого значення x.
• Виходить правильна числова нерівність 5 > 0. Значить її розв'язком може бути будь-яке число.

Метод інтервалів

Метод інтервалів можна застосовувати для лінійних нерівностей, коли значення коефіцієнта x не дорівнює нулю.

Метод інтервалів полягає в наступному:

• вводимо функцію y = ax + b;
• шукаємо нулі для розбиття області визначення на проміжки;
• відзначаємо отримане коріння на координатній прямій;
• визначаємо знаки та відзначаємо їх на інтервалах.

Алгоритм рішення ax + b < 0 (≤, >, ≥) при a ≠ 0 з використанням методу інтервалів:

Якщо a ≠ 0, тоді рішенням буде єдине коріння — х₀;

• накреслимо координатну пряму із зображенням точки з координатою х₀, при суворій нерівності точку малюємо виколотою, при нестрогому — зафарбованою;
• визначимо знаки функції y = ax + b на проміжках.

Для цього знайдемо значення функції у точках на проміжку;

• якщо розв'язання нерівності зі знаками > або ≥ - додаємо штрихування над позитивним проміжком на координатній прямій, якщо < або ≤ - над негативним проміжком.

Розглянемо приклад: −6x + 12 > 0.

Як вирішуємо:

1. Відповідно до алгоритму, спочатку знайдемо корінь рівняння − 6x + 12 = 0, −6x = −12, x = 2. Зобразимо координатну пряму із зазначеною виколотою точкою, оскільки нерівність є суворою.
2. Визначимо знаки на проміжках. Щоб визначити на проміжку (−∞, 2), необхідно обчислити функцію y = −6x + 12 за х = 1. Виходить, що −6 * 1 + 12 = 6, 6 > 0. Знак на проміжку є позитивним. Визначаємо знак на проміжку (2, + ∞) , тоді підставляємо значення х = 3. Вийде, що −6 * 3 + 12 = − 6, − 6 < 0 . Знак на проміжку є негативним.
3. Штрихування зробимо над позитивним проміжком. За кресленням робимо висновок, що рішення має вигляд (−∞, 2) чи x < 2.

Графічний спосіб

Сенс графічного розв'язання нерівностей полягає в тому, щоб знайти проміжки, які необхідно зобразити на графіку.

Алгоритм рішення y = ax + b графічним способом

• під час рішення ax + b < 0 визначити проміжок, де графік зображений нижче за осю Ох;
• під час рішення ax + b ≤ 0 визначити проміжок, де графік зображується нижче Ох або збігається з віссю;
• під час рішення ax + b > 0 визначити проміжок, де графік зображується вище за Ох;
• під час рішення ax + b ≥ 0 визначити проміжок, де графік знаходиться вище за осю Ох або збігається.

Розглянемо приклад: −5 * x − √3 > 0.

Як вирішуємо

• Оскільки коефіцієнт при x негативний, дана пряма є меншою.
• Координати точки перетину з Ох дорівнюють (−√3 : 5; 0).
• Нерівність має знак >, отже треба звернути увагу до проміжок вище осі Ох.
• Тому відкритий числовий промінь (−∞, −√3 : 5) буде рішенням.

Лінійні нерівності в 8 класі - це маленька цегла, яка буде закладена в цілий фундамент знань. Ми віримо, що все вийде!